ДИЗЪЮНКЦИЯ ПРЕДИКАТОВ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5 ДИЗЪЮНКЦИЕЙ предикатов заданных

ДИЗЪЮНКЦИЯ ПРЕДИКАТОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. ДИЗЪЮНКЦИЕЙ предикатов, заданных на множестве Х, называется предикат А(х) В(х), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х из множества Х (х Х), при которых хотя бы один из предикатов А(х) и В(х) обращается в истинное высказывание.

ПРИМЕР. Предикаты А(х) «х>4» и В(х) «х<7» заданы на множестве Х={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Множество истинности предиката А(х) – ТА ={5, 6, 7, 8, 9, 10}. Множество истинности предиката В(х) — ТВ ={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Множество истинности предиката А(х) В(х), по определению, есть множество Т А(х) В(х) ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Можно заметить, что множеством истинности дизъюнкции предикатов является объединение множеств ТА и Т В , т. е. Т А В =ТА ТВ . Докажем это предположение.

1). Сначала докажем, что множество Т А В является подмножеством множества ТА ТВ (Т А В ТА ТВ ). Пусть x = a – произвольный элемент из множества ТА В, т. е. а ТА В. Следовательно, А(а) В(а) – «и» высказывания. По определению, А(а) В(а) – «и» только тогда, когда А(а) – «и» или В(а) – «и. »

Если А(а) – и, то а ТА, если В(а) - и , то а ТВ. Т. к. А(а) В(а) – и, то а ТА или а ТВ –, это значит, что а ТА ТВ. а - произвольный элемент из ТА В , следовательно, все элементы множества ТА В принадлежат множеству ТА ТВ , т. е. ТА В ТА ТВ , ч. т. д.

2). Докажем, что множество ТА ТВ является подмножеством множества Т А В (ТА ТВ Т А В ). Пусть х = в – произвольный элемент из ТА ТВ, в ТА ТВ , по определению, в ТА или в ТВ А(в) – «и» или В(в)- «и» А(в) В В(в)- «и» в ТА В .

Следовательно , если в ТА ТВ , то в ТА В . т. к. Т. К. в – произвольный элемент из ТА ТВ, то ТА ТВ Т А В , ч. т. д.

Из пунктов 1 и 2 по определению равных множеств следует справедливость равенства Т А В = ТА ТВ Заметим, что полученное правило справедливо и для предикатов, содержащих более одной переменной.

ПРИМЕР. Предикаты: А(х)— «х-делитель числа 15» и В(х) - «х –делитель числа 16» . Множество истинности А(х)- ТА ={1, 3, 5, 15 }, множество истинности В(х) —ТВ ={1, 2, 4, 8, 16}. Множество истинности дизъюнкции предикатов Т А В = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 15, 16}.

ОТРИЦАНИЕ ПРЕДИКАТА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. ОТРИЦАНИЕМ предиката А(х), заданного на множестве Х, называется предикат А(х) ( « не А(х) » ), определенный на том же множестве и истинный при тех и только тех значениях переменной х из множества Х ( х Х), при которых предикат А(х) обращается в ложное высказывание.

ПРИМЕР. Предикат А(х)- « х — четное число » . Отрицание предиката : А(х) «х - нечетное число» . Пусть область определения предиката А(х) - Х={х, х N, х <10}. Множество истинности предиката ТА ={2, 4, 6, 8}.

Множество истинности предиката А(х) - все нечетные числа, меньшие 10: ТА = {1, 3, 5, 7, 9}. Из примера видно, что ТА = Х ТА = ТА т. е. множество истинности предиката « не А(х) » является дополнением к множеству истинности предиката А(х). Х = ТА

ВЫСКАЗЫВАНИЯ С КВАНТОРАМИ

КВАНТОР – общее название для логических операций, которые по предикату Р(х) строят высказывание, характеризующее область истинности предиката Р(х). В математической логике наиболее употребительны квантор всеобщности ( х), квантор существования ( х) и квантор единственности существования ( ! х).

Выражение «для всех х» ( «для любого х» , «для каждого х» ) называется квантором общности и обозначается х. Выражение «существует такое х» ( «для некоторых х» , «хотя бы для одного х» , «найдется такое х» ) называется квантором существования и обозначается х.

Высказывание, полученное из предиката Р(х) при помощи квантора общности, записывается в виде ( х Х) Р(х) Высказывание, полученное из предиката Р(х) при помощи квантора существования, записывается в виде ( х Х) Р(х) Высказывание «существует одно и только одно х X, для которого истинно Р(х) обозначают ( !х X) Р(х)

Для того чтобы получить высказывание из многоместного предиката надо связать кванторами каждую переменную. Например, если Р (х, у) – двухместный предикат, то ( х Х)( у Y) Р(х, у) – высказывание. ПРИМЕР. Задан предикат Р(х, у): «х>у» . Для получения высказывания надо связать кванторами обе переменные: например, ( Х)( у ) х>у или ( у )( х ) х>у.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСТИННОСТИ ВЫСКАЗЫВАНИЯ С КВАНТОРАМИ ИСТИННОСТЬ высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Чтобы убедиться в ложности таких высказываний (опровергнуть их) достаточно привести контрпример. .

Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Для опровержения такого высказывания необходимо провести доказательство. Для чего нужны кванторы?

ВЫВОД. ПРЕДИКАТ обращается в ВЫСКАЗЫВАНИЕ двумя способами : 1). По определению, подставив вместо переменных их конкретные значения из области определения предиката; 2). Связать кванторами переменные, содержащиеся в предикате. Если предикат содержит несколько переменных, необходимо связать квантором каждую переменную.

Отрицание высказываний, содержащих кванторы.

ПРИМЕР. Пусть дано высказывание А: « Любые четные числа кратны 3» . Высказывание А : « Не любые четные числа кратны 3» или высказывание А : «Неверно, что любые четные числа кратны 3» , другими словами это можно сказать так: «существуют (есть) четные числа не кратные 3» . 8, 10, …

Для построения отрицания высказываний с кванторами надо: 1) квантор общности заменить на квантор существования, а квантор существования на квантор общности; 2) предложение, стоящее после квантора, заменить его отрицанием. ( х Х) А(х) = ( х Х) А (х) ( х Х) А(х) = ( х Х)А (х). Таким образом, получаем две равносильности. Или перед данным высказыванием ставят слова: «неверно, что» .

Это правило сохраняется и в том случае, если высказывание содержит не один, а несколько кванторов, например: ( х Х)( х Y) А(х, y) = ( х Х) ( х Y) А (х, y) Для построения отрицания полезны следующие формулы: А(х) В(х) = А(х) В(х) , А(х) В(х)=А(х) В(х)

Отношение логического следования и равносильности на множестве предикатов

Рассмотрим два предиката А (х) и В (х). Пусть А (х) – «х : 6» ; В (х) – «х: 3» . Образуем импликацию предикатов «Если х : 6, то х : 3» . Множества истинности предикатов А(х) – ТА= {6, 12, 18, …}; В(х) – ТВ = {3, 6, 9, 12, 15, 18, … }. Из того, что «х: 6» всегда следует, что «х : 3» .

В этом случае говорят, что предикат В(х) логически следует из предиката А(х), а предикаты А(х) и В(х) находятся в отношении логического следования.

В этом случае множество истинности импликации таких предикатов совпадает с ее областью определения Т А В = Х. Отношение логического следования обозначается всегда А(х) => В (х).

Предикат А(х) называют достаточным условием для В(х), а предикат В(х) называют необходимым условием для предиката А(х). Это возможно тогда и только тогда, когда ТА ТВ. .

Пример. Предложение «х: 6» => «х: 3» в этом случае читают так: чтобы «х: 3» – достаточно , чтобы «х: 6» , а чтобы «х: 6» необходимо, чтобы «х: 3» .

Логическое следование: достат. необход. А(х) => B(x), TА ТВ

Пример: Предложение «х: 4» => «х: 2» в этом случае читают так: чтобы «х: 2» – достаточно , чтобы «х: 4» , а для того чтобы «х: 4» необходимо, чтобы «х: 2» .

Если из А(х) следует В(х) и из В(х) следует А(х), то предикаты А(х) и В(х) называют равносильными или эквивалентными и записывают А(х) В(х). Это возможно тогда и только тогда, когда ТА= ТВ.

В этом случае А(х) является необходимым и достаточным условием для В(х), а В(х) – необходимым и достаточным условием для А(х). При этом А(х) => В(х) и В(х) =>А (х). ПРИМЕР. А(х)- «число х делится на 9» , В(х)- «сумма цифр числа х делится на 9» . А(х) В(х)

СТРОЕНИЕ ТЕОРЕМЫ. ВИДЫ ТЕОРЕМ Отношение логического следования позволяет уточнить понятие , называемое ТЕОРЕМОЙ.

Теорема –это предложение (утверждение), истинность которого может быть доказана. Теоремы часто формулируются в виде импликаций: если А(х), то В(х) для каждого х, т. е. ( х х)А(х) => В(х).

( х х)А(х) => В(х). Чаще всего ее записывают так А => В (1) Для всякой теоремы (1) можно сформулировать предложение: «Если В, то А» - обратное данному. Но не всегда это предложение является теоремой.

Пример. «Если углы вертикальные, то они равные» . Обратное предложение: « Если углы равны, то они вертикальные» . или «Если четырехугольник – прямоугольник, то в нем диагонали равны» . Обратное: не верно. Какой пример?

Но если обратное предложение – истинно, то оно наз. обратной теоремой. Например: Т 1: « Если треугольник прямоуг. , то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» Обратное: « Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, то треуг. – прямоуг. » Это -истина, поэтому оно наз. Теоремой, обратной данной.

Если в теореме Для всякой теоремы « Если А , то В» можно сформулировать предложение: « Если не А, то не В» . (если А, то В) Это предложение наз. Противоположным данному. Всегда ли оно будет теоремой? Пример. В том случае, если предложение является теоремой, то его наз. теоремой, противоположной данной. Если

Итак, если для теоремы «Если А, то В» сформулировать предложение , обратное или противоположное ей, то их надо доказывать и только тогда они будут наз. теоремой, обратной или противоположной данной. , если их истинность будет доказана

Для всякой теоремы « Если А, то В» можно сформулировать предложение « Если не В, то не А» «Если В, то А» - обратным противоположному. «Если углы -вертикальные, то они равны» и « если углы не равны, то они и не вертикальные» . Эти предложения всегда истинны, т. е всегда теорема. ( А В В А). Эту равносильность наз. законом контрапозиции

Примеры: 1. Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпедикулярны. 2. Если каждое слагаемое - четное число, то и сумма - четная.

Это предложение наз. Противоположным данному. Всегда ли оно будет теоремой? Пример. В том случае, если предложение является теоремой, то его наз. теоремой, противоположной данной. Итак, если для теоремы «Если А, то В» сформулировать предложение , обратное или противоположное ей, то их надо доказывать и только тогда они будут наз. теоремой, обратной или противоположной данной.