Дисперсионный анализ Метод Монте-Карло Теория игр Выполнил

Дисперсионный анализ Метод Монте-Карло Теория игр Выполнил : Малев П. С. ИСи. Т , 4 курс, группа Б 345

Дисперсионный анализ Однофакторный Двухфакторный Многофакторный

Основные понятия дисперсионного анализа Факторы – любые воздействия или состояния, определяющие ту или иную величину наблюдаемого признака Результативные признаки – наблюдаемые признаки, которые испытывают влияние изучаемых факторов Варианты – отдельные значения результативного признака

Факторы Организованные(контролируемые, основные) Случайные(неконтролируемые, остальные)

Статистические комплексы (таблицы) Равномерные – с одинаковым числом значений в каждой клетке комбинационной таблицы Пропорциональные – число значений в различных клетках комбинационной таблицы различно, но соблюдена единая для всего комплекса пропорциональность между ними Непропорциональные – распределение значений по клеткам таблицы различно

Общая дисперсия равна сумме дисперсий, вызванной организованными факторами(факториальной дисперсии) и дисперсии, вызванной случайными факторами(остаточной дисперсии)

Со = С ф+ С с Со - общая дисперсия Сф - факториальная дисперсия Сс - случайная дисперсия

Общая дисперсия: Факториальная дисперсия: Случайная дисперсия: Где Х – отдельное значение результативного признака Хс – общая средняя арифметическая всего комплекса Хф – групповая средняя

Когда измеряется влияние нескольких факторов (в многофакторном комплексе), сумма дисперсий каждого из учитываемых факторов и случайной дисперсии должна быть равна общей дисперсии: Со = Сф1 + Сф2 + Сф3 + … + Сфn + Сc

Доля участия отдельных факторов в формировании результативного признака определяется из отношения групповых дисперсий к общей (в процентах):

Метод Монте-Карло Ме тод Мо нте-Ка рло (методы Монте. Карло, ММК) — общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи.

Алгоритм Бюффона для определения числа Пи Случайные величины использовались для решения различных прикладных задач достаточно давно. Примером может служить способ определения числа Пи, который был предложен Бюффоном еще в 1777 году. Суть метода была в бросании иглы длиной L на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии r друг от друга.

Интегрирование методом Монте-Карло Предположим, необходимо взять интеграл от некоторой функции. Воспользуемся неформальным геометрическим описанием интеграла и будем понимать его как площадь под графиком этой функции. Для определения этой площади можно воспользоваться одним из обычных численных методов интегрирования: разбить отрезок на подотрезки, подсчитать площадь под графиком функции на каждом из них и сложить. Предположим, что для функции, представленной на рисунке 2, достаточно разбиения на 25 отрезков и, следовательно, вычисления 25 значений функции. Представим теперь, мы имеем дело с -мерной функцией. Тогда нам необходимо отрезков и столько же вычислений значения функции. При размерности функции больше 10 задача становится огромной. Поскольку пространства большой размерности встречаются, в частности, в задачах теории струн, а также многих других физических задачах, где имеются системы со многими степенями свободы, необходимо иметь метод решения, вычислительная сложность которого бы не столь сильно зависела от размерности. Именно таким свойством обладает метод Монте-Карло.

Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования Предположим, требуется вычислить определённый интеграл Рассмотрим случайную величину u , равномерно распределён ную на отрезке интегрирования [a, b]. Тогда также будет случайной величиной f(u), причём её математическое ожидание выражается как

Геометрический алгоритм Монте. Карло интегрирования 1. 2. 3. 4. Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм: ограничим функцию прямоугольником (n-мерным параллелепипедом в случае многих измерений), площадь которого Spar можно легко вычислить; любая сторона прямоугольника содержит хотя бы 1 точку графика функции, но не пересекает его; «набросаем» в этот прямоугольник (параллелепипед) некоторое количество точек ( N штук), координаты которых будем выбирать случайным образом; определим число точек ( K штук), которые попадут под график функции; площадь области, ограниченной функцией и осями координат, S даётся выражением S=Spar K/N Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным. Численное интегрирование функции методом Монте-Карло

Использование выборки по значимости При том же количестве случайных точек, точность вычислений можно увеличить, приблизив область, ограничивающую искомую функцию, к самой функции. Для этого необходимо использовать случайные величины с распределением, форма которого максимально близка к форме интегрируемой функции. На этом основан один из методов улучшения сходимости в вычислениях методом Монте-Карло: выборка по значимости.

Теория игр Джон Нэш — математик, нобелевский лауреат

Теория игр Тео рия игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках

Представление игр 1. 2. 3. 4. 5. Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму. Характеризующие признаки игры как математической модели ситуации: наличие нескольких участников; неопределенность поведения участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких вариантов действий; различие (несовпадение) интересов участников; взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех участников; наличие правил поведения, известных всем участникам.

Экстенсивная форма Игры в экстенсивной, или расширенной, форме представляются в виде ориентированного дерева, где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной. На рисунке слева — игра для двух игроков. Игрок 1 ходит первым и выбирает стратегию F или U. Игрок 2 анализирует свою позицию и решает — выбрать стратегию A или R. Скорее всего первый игрок выберет U, а второй — A (для каждого из них это оптимальные стратегии); тогда они получат соответственно 8 и 2 очка. Игра «Ультиматум» в экстенсивной форме

Нормальная форма В нормальной, или стратегической, форме игра описывается платёжной матрицей. Каждая сторона (точнее, измерение) матрицы — это игрок, строки определяют стратегии первого игрока, а столбцы — второго. На пересечении двух стратегий можно увидеть выигрыши, которые получат игроки. В примере справа, если игрок 1 выбирает первую стратегию, а второй игрок — вторую стратегию, то на пересечении мы видим (− 1, − 1), это значит, что в результате хода оба игрока потеряли по одному очку. Игроки выбирали стратегии с максимальным для себя результатом, но проиграли, из-за незнания хода другого игрока. Обычно в нормальной форме представляются игры, в которых ходы делаются одновременно, или хотя бы полагается, что все игроки не знают о том, что делают другие участники.

Типы игр Кооперативные и некооперативные Симметричные и несимметричные С нулевой суммой и с ненулевой суммой Параллельные и последовательные С полной или неполной информацией Игры с бесконечным числом шагов Дискретные и непрерывные игры Метаигры

Спасибо за внимание!