Дискретный анализ Теория множеств Логика Теория графов. Литература

Дискретный анализ Теория множеств Логика Теория графов

Литература Общая 1. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. 2000, 304 с. 2. Донской В. И. Дискретная математика. 2000. 3. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. Серия: Высшая математика. М.: Высшая школа. 2000 4. Москинова Г. И. Дискретная математика. Математика для менеджеров в примерах и упражнениях: Учебное пособие. М.: ИК Логос. 2000. 5. Акимов О. Е. Дискретная математика. Логика, группы, графы. Серия: Технический университет. М.: Лаборатория Базовых Знаний. 2001. 6. Иванов Б. Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. Серия: Технический университет. М.: Лаборатория Базовых Знаний. 2001 г, 285 с.

Литература Теория множеств 1. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. Учебное пособие для втузов. М.: Энергия. 1972, 376 с. 2. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. М.: Энергоатомиздат, 1988. 480 с. 3. Основы кибернетики. Математические основы кибернетики. Под ред. проф. К.А.Пупкова. М: Высшая школа. 1974. 413 с.

Литература Логика 4. Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. 1997. 5. Савельев А.Я. Арифметические и логические основы цифровых автоматов: Учебник. - М.: Высш. школа, 1980. - 255 с., ил. 6. Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов: Учебник. - М.: Высш. школа, 1989. - 273 с., ил. Теория автоматов / Ю.Г.Карпов - СПб.: Питер, 2002. - 224 с.

Литература Теория графов 7. Зыков А.А. Основы теории графов. 1987. 384 с. 8. Оре О. Теория графов. М: Наука, 1980. 336с 9. Цой С., Цхай С.М. Прикладная теория графов. Алма-Ата: Наука, 1971.500 c. 10. Лекции по теории графов / Емеличев В.А. и др. - М.: Наука, 1990. - 384 с.

Теория множеств Множества Операции над множествами Упорядоченные множества Соответствия Отображения и функции Отношения

Множества. Основные понятия Множество - совокупность определенных, вполне различаемых объектов, рассматриваемых как целое. Элемент множества - отдельный объект множества. Пустое множество  - множество не содержащее элементов. Универсальное множество (универсум) U - множество содержащее все возможные элементы в рамках заданного рассмотрения Мощность множества |M| - количество элементов множества

Способы задания множеств Перечисление элементов М = {a1, a2, a3, …, ak} M9 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Выделение определяющего свойства M = {x | P(x)} M9 = {n | n & n < 10} Определение порождающей процедуры M = {x | x = f} M9 = {n | for n from 1 to 9 write n}

Парадокс Рассела Множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента: Y = {X | X  X} Если множество Y существует, то YY ? Пусть YY , тогда YY (по определению). Пусть YY, тогда YY (по определению). Получаем логическое противоречие. Пути устранения этого противоречия: Вид характеристического предиката: P(x) = xA & Q(x) = { xA | Q(x)} (для Y универсум не задан, Y - не множество) Теория типов. Объекты имеют тип 0, множества -1, множества множеств - 2 и т.д. (Y - не имеет типа, Y - не множество) Функция вычисления элементов множества. (способ вычисления XX не задан, Y - не множество )

Сравнение множеств Два множества равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов Свойства: для любых трех множеств X, Y, Z верно рефлексивность X = X; (идемпотентность) коммутативность X = Y  Y = X; транзитивность (X = Y) & (Y = Z)  X = Z. Множество X является подмножеством множества Y, если любой элемент множества X принадлежит и множеству Y. XY, если xX и xY; XY, если XY и XY Свойства: рефлексивность X  X транзитивность XY & Y Z, XZ свойства 0 и 1 YU

Границы множества Если множество конечно и состоит из элементов, сравнимых между собой, то существуют наибольший и наименьший элементы такого множества. Если множество бесконечно и состоит из элементов, сравнимых между собой, то существуют границы этого множества: верхняя и нижняя. S = {xR| a

Теорема о границах Если ВА, то inf В  inf А; sup В  sup А. Доказательство: Пусть b'B и b' = inf B; т.к. ВА  b'А. Пусть a'A и a' = inf A; при этом если a' = b', то b' = a'=inf А; а если a'  b', то b' = inf B > a'=inf А. Пусть b"B и b" = sup B; т.к. ВА  b"А. Пусть a"A и a" = sup A; при этом если b" = a", то a"=sup А = b"=sup B; а если b"  a", то a"=sup А > b". A B a' b' b" a"

Операции над множествами Объединение AB = {x |xA  xB} Пересечение AB = {x |xA & xB} Разность AB = {x |xA & xB} Симметрическая разность A/B = (AB)(AB ) = {x | (xA & xB)  (xA & xB)} Дополнение = {x | x  A} = UA, где U - некоторый универсум.

Объединение Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Свойства рефлексивность А  А = A коммутативность А  В = В  А ассоциативность А  (ВС) = (АВ)  С = А  В  С свойство 0 А   = А свойство 1 А  U = U А В

Пересечение Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В. Свойства рефлексивность А  А = A коммутативность А  В = В  А ассоциативность А  (ВС) = (АВ)  С = А  В  С свойство 0 А   =  свойство 1 А  U = А А В АВ

Разность Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Свойства свойство 0 А  = А  А =  свойство 1 А U =  U А = А В А В

Симметрическая разность Симметрической разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат объединению множеств А и В, и не принадлежат их пересечению. Свойства коммутативность А / В = В / А ассоциативность А / (В/С) = (А/В) / С = А / В / С свойство 0 А /  = А свойство 1 А / U = А В

Дополнение Дополнением множества А до универсального множества называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат универсальному множеству, и не принадлежат множеству А. Свойства А  = U А  =  инволютивность = А U A

Разбиения и покрытия Система множеств X={X1, X2, …,Xn} называется разбиением множества М, если она удовлетворяет условиям: любое множество системы есть подмножество множества М: XiX : XiM, 1in; любые два множества системы являются непересекающимися: XiX, XjX : ij  XiXj= объединение всех множеств системы дает множество М:

Булеан Множество всех подмножеств множества М называется булеаном и обозначается 2М: 2М = {A | A  M} M = {a, b, c} 2M = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c},{a, b, c}} M1 = {{c}, {a, c}, {b, c},{a, b, c}} M2 = {, {a}, {b}, {a, b}}

Теорема Для конечного множества М |2M| = 2|M|. Доказательство: Если |M|=0, то М= и 2 = {}. |2|= |{}| =1 = 20 =2||. Пусть для любого множества М |M|

Алгебра подмножеств Алгебра = <Базовое множество, Операции> Результат применения любой операции к элементам базового множества также является элементом базового множества Алгебра подмножеств AM = <2U, {, ,, }> Множество всех подмножеств универсума с операциями объединения, пересечения , разности и дополнения образует алгебру подмножеств множества U.

Законы теории множеств Дистрибутивный A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Закон поглощения (A  B)  A = A (A  B)  A = A Законы де Моргана Выражение для разности A B = A 

Метод доказательства законов алгебры подмножеств Обозначим алгебраическое выражение над множествами А, В, С как Е(А,В,С). Результат выполнения операций данного выражения есть некоторое множество Е. Пусть Е1 и Е2 два выражения над А,В,С. Чтобы доказать, что Е1=Е2, достаточно показать, что Е1Е2 и Е2Е1. Чтобы доказать, что Е1Е2, нужно убедиться, что из хЕ1 следует хЕ2; и, аналогично, для Е2Е1 – что из хЕ2  хЕ1.

U Пример доказательства A B = A  E1= A B, E2= A  . xE1  [по определению разности] xA & xB, если xB, но xU, значит x , и в то же время xA, следовательно, x A  = E2, значит E1 E2. xE2  [по определению пересечения] xA & x , если x , но xU, значит xB, и в то же время xA, следовательно, x A В = E1, значит E2 E1. Так как, было показано, что E1 E2 & E2 E1,  E1= E2. Тождество доказано.  А А В В U В А В A 

Структурированное множество Кортеж - последовательность элементов, или совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Элементы данной совокупности называются компонентами кортежа. Обозначение: (а1, а2, …, аn) - кортеж длины n с компонентами а1, …, аn. ( ) =  - пустой кортеж. Примеры: множество слов во фразе; (x,y) - координаты точки на плоскости; запись в таблице базы данных. Отличие от обычного множества: кортеж может содержать одинаковые по значению компоненты, например, точка с координатой (5,5).

Вектор. Гиперпространство. Вектор (точка пространства) - кортеж, элементами которого являются вещественные числа. Пространство, определяемое n-мерными векторами, называют n-мерным пространством (пространством n измерений) или гиперпространством.

Проекция вектора Если кортеж (а1,а2) рассматривать как вектор, проведенный из начала координат в данную точку (а1,а2), то компоненты а1, а2 будут проекциями вектора на оси координат. ПрХ(а1,а2) = а1. ПрY(а1,а2) = а2. Если а = (а1, а2, …,аn) - вектор гиперпространства, то Прi a = аi, i= 1, 2, …,n; Прi,j,…,k a = (аi, аj, …, аk), где i, j, …,k номера осей, такие что, 1  i < j < … < k  n; Пр a = .

Прямое произведение множеств Прямым (декартовым) произведением множеств А и В, называется множество АВ, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая - В. АВ = {(a,b) | aA & bB}. А1А2...Аn = {(a1,a2,…,an) | aiAi , i=1, 2, …, n}. Свойства: декартово произведение не коммутативно: АВ  BA. декартово произведение есть пустое множество, если один из сомножителей - пустое множество: АВ =   A=   B= .

Степень множества Степенью множества А называется его прямое произведение самого на себя: Аn = AA... A. Соответственно, А0 = {}; А1 = A; А2 = AA; Аn = AAn-1. Теорема: |A  B| = |A||B|. Доказательство: 1-й компонент кортежа (а,b) можно выбрать |A| способами, 2-й компонент - |B| способами. Таким образом, имеется всего |A||B| различных кортежей (a,b). . Следствие: | Аn | = |A|n.

Проекция множества Пусть А - множество, состоящее из кортежей длины n, тогда проекцией множества А называют множество проекций кортежей из А. (операция проекции может применяться только к таким множествам, элементами которых являются кортежи одинаковой длины). Если А = XY, то Пр1А = Х, Пр2А = Y. Если А  XY, то Пр1А  Х, Пр2А  Y.

Соответствия Соответствие - это множество пар вида (a,b), образующихся при сопоставлении заданным образом элементов множества А элементам множества В, и сами сопоставляемые множества А и В. q = (A, B, Q), QAB. ПрАQ  A называется областью определения соответствия, или источником соответствия. ПрВQ  В называется областью значений соответствия, или приемником. Множество пар Q, определяющих соответствие, называется графиком соответствия.

В виде описания в соответствии с определением А={красный, желтый, зеленый}; B={стоять, идти}; Q={(красный, стоять),(зеленый, идти)} Графически В виде матрицы B Способы задания соответствия А

Обратное соответствие Соответствие, обозначаемое как q-1 = (B, A,Q-1), где Q-1 BA, является обратным для соответствия q=(A,B,Q), где QAB, и получается, если данное соответствие q рассматривать в обратном направлении. Пример: А={красный, желтый, зеленый}; B={стоять, идти}; Q={(красный, стоять),(зеленый, идти)}. Q-1={(стоять, красный),(идти, зеленый)}. Свойства: (q-1)-1 = q.

Композиция соответствий Композиция соответствий - это операция с 3-мя множествами А, В, С, на которых заданы два соответствия q = (A, B, Q), где QAB и р = (В, С, Р), где Р BC, причем область значений первого соответствия q совпадает с областью определения второго р Пр2Q = Пр1Р. Обозначение: q(p) = (A, C, QP), QP  A  C.

Ядро соответствия Ядро соответствия q образует соответствие o, получаемое в результате композиции прямого и обратного соответствия q: o = q°q-1. Пример: M={a,b}; A = 2M = {, {a},{b},{a, b}}; B={0, 1, 2}. q = (A, B, Q), Q = {(X,k) | XM & |X| = k} q°q-1 = (A, A, O), O = {(,), ({a},{a}), ({a},{b}), ({b},{b}), ({a, b},{a, b})}

Отображения Полностью определенное на множестве источнике соответствие q(A,B,Q) (где множество А - есть область определения данного соответствия q) называется отображением множества А в множество В. Обозначения Г: А  В = (А,В,Г), где ГАВ, ПрАГ = А или (А,В,Г), ГАВ | aA  bB Каждому элементу xA отображение Г ставит в соответствие подмножество Г(x)  В, которое называют образом элемента x. Пусть XA; xX, Г(x)В – образ элемента х, тогда Г(Х) = – образ множества Х

Отображения Отображение i : XX называется тождественным, если I(x) = x для всех хХ, и обозначается как idX или как 1Х. Свойство: Для любого отображения Г : XY имеет место 1Y  g = g  1X = g. Отображение Г : XY называется инъекцией, если для любых 2-х x1,x2X из равенства Г(x1)=Г(x2) следует x1=x2. Отображение Г : XY называется сюръекцией, если для каждого yY существует такой xX, что y=Г(x). Отображение Г : XY называется биекцией, если оно одновременно является инъекцией и сюръекцией.

Примеры

Свойства отображений Если Х1А и Х2А, то Г(Х1Х2) = Г(Х1)  Г(Х2). Доказательство:

Свойства отображений Если Х1А и Х2А, то Г(Х1Х2) = Г(Х1)  Г(Х2) – верно только в случае однозначного отображения. Доказательство: Разобьем множества Х1 и Х2 на 2 мн-ва Х1=А0 А1 и Х2=А0 А2, где А0 = Х1Х2, А1=Х1Х2, А2=Х2Х1. {А0, А1, А2} – есть разбиение множества Х1  Х2.

Частный случай отображения Отображение вида Г: А  А является частным случаем отображения Г: А  В, при А=В, представляет собой отображение множества А в себя самого и определяется парой (А, Г), где ГА2. Композицией 2-х отображений вида Г:АА и :АА называется отображение Г, определяемое как (Г)(х) = Г((х)). Если Г=, то Г2(х)=Г(Г(х)), Г3(х)=Г(Г2(х)), … Гn(х)=Г(Гn-1(х)); Г0(х)=Г(Г-1(х))=(ГГ-1)(х)=x Пример: А – множество людей; Г(А) – множество детей; Г2(А) – множество внуков; Г3(А) – множество правнуков; Г-1(А) – множество родителей; Г-2(А) – множество ???;

Функции Однозначное отображение f:XY называется функцией. Однозначность означает, что для любых пар (x1,y1)f и (x2,y2)f из x1 = x2 следует y1 = y2. Если YR, то функция f называется функцией с вещественными значениями. Для любых пар (x,y)f y = f(x). Формальное определение f = { (x,y)XY | y = f(x) } f – множество пар (x,y), определяющих соответствие f(x) – обозначение элемента yY, соответствующего данному xX

Способы задания функций Перечисление пар (х,у) Формула преобразования х в у График функции

Функции многих переменных Если в выражении f:XY Х=UV, то имеем функцию 2-х переменных f(u,v), где uU, vV. Или формально f = { (u,v,y)UVY | y = f(u,v) } Функция n переменных f = { (x1,x2,…,xn,y)X1X2…XnY | y = f(x1,x2,…,xn) }

Операции над функциями Обратная функция f-1: Y  X Композиция функций если f: XY, g: YZ, то f g: XZ z = (f g)(x) = g(f(x))

Функционал Функционал устанавливает зависимость между множеством чисел и некоторым множеством функций (т.е. это зависимость числа от функции) Например, определенный интеграл число функция

Оператор Оператор устанавливает соответствие между двумя множествами функций, каждой функции одного множества ставится в соответствие определенная функция другого множества. Оператор дифференцирования

Отношения Термин «отношение» обозначает некоторые виды соответствий, заданные на одном множестве. Если задано соответствие (Х,R), то о элементе уR(х) говорят, что он находится в отношении R к элементу х: у R х. Отношением называется пара множеств (Х,R), где RХn. Элементами множества Хn являются упорядоченные n-ки, и такое отношение называют n-арным или n-местным; множество упорядоченных пар элементов называют бинарным, упорядоченных троек - тернарным.

Отношения Если R  A2 - отношение, заданное на множестве А, то Обратное отношение R-1={(a,b) | (b,a)R} Дополнение отношения R ={(a,b) | (a,b)R} Тождественное отношение I = {(a,a) | aA} Универсальное отношение U= {(a,b) | aA & bA} [U = A2] Ядро отношения O = R° R-1

Свойства отношений Рефлексивность х R х - истинно ; Антирефлексивность х R х - ложно; Симметричность х R у  у R х ; Антисимметричность (х R у)&(у R х)  x=y ; Несимметричность (полнота, или линейность) Если (х R у) – истинно, то (у R х) – ложно; Транзитивность (х R у)&(у R z)  x R z .

Теорема о свойствах отношений Если RAA - отношение на множестве А, то тогда R - рефлексивно  I  R; R - антирефлексивно  R  I = ; R - симметрично  R = R-1; R - антисимметрично  R  R-1  I; R - несимметрично (полно)  R  I  R-1 = U; R - транзитивно  R ° R  R;

Замыкание отношений Пусть R и R' - отношения на множестве А. Отношение R' называется замыканием R относительно свойства С, если оно: обладает свойством C: C(R'); содержит отношение R: R  R'; является наименьшим: C(R'') & RR''  R'R'' . Примеры: Транзитивное замыкание R - отношение Рефлексивное транзитивное замыкание R - ( R0 = I, R1 = R, R2 = RR, …, Rn = Rn-1  R)

Отношение эквивалентности Отношение является отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Элементы множества рассматриваются как эквивалентные тогда, когда любой из этих элементов при некотором рассмотрении может быть заменен другим. Например, на множестве студентов – отношение «быть в одной группе» или «быть на одном курсе»; на множестве целых чисел – «иметь одинаковый остаток при делении на число n».

Классы эквивалентности Если на множестве Х определено отношение эквивалентности, то подмножество элементов, эквивалентных некоторому элементу хХ, называют классом эквивалентности. {Aj X | j = 1n} – множество классов эквивалентности для множества Х. Так как все элементы одного класса эквивалентности эквивалентны между собой, то всякий элемент хХ может находиться только в одном классе. Х будет являться объединением непересекающихся множеств Аj, так что полная система классов {Aj X | j = 1n} – есть разбиение множества Х. Каждому отношению эквивалентности на множестве Х соответствует некоторое разбиение множества Х на классы эквивалентности Aj.

Отношения порядка Отношения порядка определяют порядок расположения элементов множества. Отношение является отношением нестрого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно (, , , ). Отношение является отношением строго порядка, если оно антирефлексивно, несимметрично и транзитивно (<,, >,,). Множество Х называется упорядоченным, если сравнимы между собой любые 2 его элемента, то есть для них имеет место x < y или x = y или x > y

Отношение доминирования Между элементами множества Х имеет место отношение доминирования, если эти элементы обладают следующими свойствами: Антирефлексивность (никакой элемент не может доминировать над самим собой). Несимметричность (в каждой паре элементов только один из них может доминировать над другим).

Понятия высшей алгебры Арифметические действия (сложение, умножение, разность), введенные для вещественных чисел, были распространены на другие объекты математики: комплексные числа, вектора, матрицы и пр. Правила выполнения этих действий различны для разных объектов, но эти действия имеют общие свойства, на основе которых вводятся понятия группы, кольца и поля.

Полугруппы Говорят, что на множестве Х задана алгебраическая операция , если каждой упорядоченной паре (а, b)Х2 однозначным образом поставлен в соответствие определенный элемент сХ этого множества Х, с = а  b. Алгебраическая операция ассоциативна, если для любых 3-х элементов а, b, и с множества Х выполняется соотношение (а  b)  с = а  (b  с). Множество Х с заданной на нем ассоциативной операцией  называется полугруппой.

i = Группы Полугруппа называется группой, если В множестве Х существует хотя бы 1 элемент е такой, что для любого элемента а данного множества Х имеет место а  е = е  а = а И для любого элемента а данного множества Х всегда найдется в этом множестве Х хотя бы 1 элемент а-1Х такой, что а  а-1 = а-1 а = е Если операция  – умножение, то элемент е называется единицей группы, а элемент – а-1 обратным элементом а. Если операция  – сложение, то элемент е называется нулем группы ( 0 ), а элемент – а-1 противоположным элементом ( -а ). Группа называется конечной, если Х – конечное множество. Примеры: ({N, 0}, +); ({xN | mod2(x) = 0}, +); ({xR | x  0}, ×); ({1, -1, i, -i}, ×)

Кольца Кольцом называется множество Х с определенными на нем 2-мя алгебраическими операциями [сложением ( + ) и умножением ( * )], причем Операция сложения коммутативна ( а+b = b+а ) Операция умножения связана с операцией сложения дистрибутивным законом a*(b + c) = a*b + a*c (a+b)*c = a*c + b*c Например, ({N,0},{+,*}); (R,{+,*}); ({R,i},{+,*}).

Поля Кольцо, в котором для любого отличного от нуля элемента а и любого элемента b существует ровно 1 элемент х такой, что а*х = b, называется полем. х = а / b – частное от деления а на b. Например, полями являются кольца вещественных и комплексных чисел.