Скачать презентацию Дискретные случайные величины и их числовые характеристики Скачать презентацию Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Дискретные случайные величины.ppt

  • Количество слайдов: 23

Дискретные случайные величины и их числовые характеристики Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Понятие случайной величины Величина называется случайной, если в результате испытания она принимает лишь одно Понятие случайной величины Величина называется случайной, если в результате испытания она принимает лишь одно из возможных значений, зависящее от случайных причин. n Обозначение: Х, Y, Z… n Примеры: n ¨ Число очков, выпавших на игральной кости; ¨ Число бракованных изделий в партии; ¨ Число детей, родившихся в течение суток; ¨ Дальность полета артиллерийского снаряда; ¨ Наружный диаметр трубы

Понятие случайной величины n Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является закон ее распределения. Понятие случайной величины n Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является закон ее распределения. n Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Дискретная СВ Случайная величина называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечно или счётно Дискретная СВ Случайная величина называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечно или счётно (т. е. их можно занумеровать натуральными числами). n Непрерывной называют случайную величину, множество значений которой есть интервал числовой оси (бесконечное несчётное множество). n

Способы задания ДСВ n Таблицей – рядом распределения n Формулой: Графически – многоугольником или Способы задания ДСВ n Таблицей – рядом распределения n Формулой: Графически – многоугольником или полигоном распределения вероятностей n

Задача 1 n n n Партия из 8 изделий содержит 5 стандартных. Наудачу отбираются Задача 1 n n n Партия из 8 изделий содержит 5 стандартных. Наудачу отбираются 3 изделия. Составить закон распределения числа стандартных изделий среди отобранных. Пусть Х - число стандартных деталей в выборке. Х может принимать 4 возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятность нахождения k стандартных изделий среди трех отобранных определяется формулой

Задача 1 n Варьируя значения k от 0 до 3, вычисляем вероятности: Проверка: n Задача 1 n Варьируя значения k от 0 до 3, вычисляем вероятности: Проверка: n Строим ряд распределения: n

Числовые характеристики дискретных случайных величин Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики СВ Закон распределения полностью описывает дискретную случайную величину. Но часто достаточно знать Числовые характеристики СВ Закон распределения полностью описывает дискретную случайную величину. Но часто достаточно знать лишь ее некоторые обобщенные характеристики. К ним относятся n математическое ожидание, n дисперсия, n среднее квадратичное отклонение.

Математическое ожидание n Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее Математическое ожидание n Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на их вероятности: где n Математическое ожидание называют также ожидаемым значением случайной величины, средним значением случайной величины.

Свойства математического ожидания Свойства математического ожидания

n Случайная величина Х задана рядом распределения. Задача 2 Х 2 5 8 19 n Случайная величина Х задана рядом распределения. Задача 2 Х 2 5 8 19 Найдите ее математическое ожидание. 0, Р 0, 2 0, 4 0, 1 3

Дисперсия СВ Отклонением СВ от ее математического ожидания называется случайная величина n Теорема. n Дисперсия СВ Отклонением СВ от ее математического ожидания называется случайная величина n Теорема. n Отклонение не может служить мерой рассеяния возможных значений случайной величины относительно математического ожидания. n Такой характеристикой является дисперсия. n

Дисперсия СВ n Дисперсией или рассеянием случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее Дисперсия СВ n Дисперсией или рассеянием случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения :

Свойства дисперсии Свойства дисперсии

Задача 3 Х 2 5 8 19 Случайная величина Х Р 0, 2 0, Задача 3 Х 2 5 8 19 Случайная величина Х Р 0, 2 0, 3 0, 4 0, 1 задана рядом распределения. Найдите ее дисперсию. n 1 способ – по определению: n По задаче 2 n Построим ряд распределения для квадрата отклонения (Х-МХ)2 (2 -7)2=25 (5 -7)2=4 (8 -7)2=1 (19 -7)2=12 n Р 0, 2 0, 3 0, 4 0, 1

Задача 3 n n 2 способ – по формуле Построим ряд распределения Х 2: Задача 3 n n 2 способ – по формуле Построим ряд распределения Х 2: 2 n 4 25 64 361 Р n Х 0, 2 0, 3 0, 4 0, 1 По задаче 2 Вычислим дисперсию по формуле:

Среднее квадратичное отклонение СВ n Средним квадратичным отклонением или стандартом случайной величины называется арифметическое Среднее квадратичное отклонение СВ n Средним квадратичным отклонением или стандартом случайной величины называется арифметическое значение квадратного корня из ее дисперсии: n Стандарт является характеристикой рассеяния СВ

Основные законы распределения дискретных случайных величин Основные законы распределения дискретных случайных величин

Равномерное распределение Х 2 … n Р n 1 1/n … 1/n Числовые характеристики: Равномерное распределение Х 2 … n Р n 1 1/n … 1/n Числовые характеристики:

Распределение Бернулли Х 0 Р n 1 р q Числовые характеристики: Распределение Бернулли Х 0 Р n 1 р q Числовые характеристики:

Биномиальное распределение n n n Случайная величина называется распределенной по биномиальному закону с параметрами Биномиальное распределение n n n Случайная величина называется распределенной по биномиальному закону с параметрами n и p, если может принимать лишь значения 0, 1, …, n c вероятностями , где Проведем n опытов. Рассмотрим событие A, которое происходит в каждом опыте с вероятностью p. Число успехов в этой серии опытов и есть значение случайной величины X. Числовые характеристики:

Распределение Пуассона n Случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона (закон редких явлений) с Распределение Пуассона n Случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона (закон редких явлений) с параметром λ>0, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, … (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями n Числовые характеристики: