Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Понятие случайной величины Величина называется случайной, если в результате испытания она принимает лишь одно из возможных значений, зависящее от случайных причин. n Обозначение: Х, Y, Z… n Примеры: n ¨ Число очков, выпавших на игральной кости; ¨ Число бракованных изделий в партии; ¨ Число детей, родившихся в течение суток; ¨ Дальность полета артиллерийского снаряда; ¨ Наружный диаметр трубы

Понятие случайной величины n Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является закон ее распределения. n Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Дискретная СВ Случайная величина называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечно или счётно (т. е. их можно занумеровать натуральными числами). n Непрерывной называют случайную величину, множество значений которой есть интервал числовой оси (бесконечное несчётное множество). n

Способы задания ДСВ n Таблицей – рядом распределения n Формулой: Графически – многоугольником или полигоном распределения вероятностей n

Задача 1 n n n Партия из 8 изделий содержит 5 стандартных. Наудачу отбираются 3 изделия. Составить закон распределения числа стандартных изделий среди отобранных. Пусть Х - число стандартных деталей в выборке. Х может принимать 4 возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятность нахождения k стандартных изделий среди трех отобранных определяется формулой

Задача 1 n Варьируя значения k от 0 до 3, вычисляем вероятности: Проверка: n Строим ряд распределения: n

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики СВ Закон распределения полностью описывает дискретную случайную величину. Но часто достаточно знать лишь ее некоторые обобщенные характеристики. К ним относятся n математическое ожидание, n дисперсия, n среднее квадратичное отклонение.

Математическое ожидание n Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на их вероятности: где n Математическое ожидание называют также ожидаемым значением случайной величины, средним значением случайной величины.

Свойства математического ожидания

n Случайная величина Х задана рядом распределения. Задача 2 Х 2 5 8 19 Найдите ее математическое ожидание. 0, Р 0, 2 0, 4 0, 1 3

Дисперсия СВ Отклонением СВ от ее математического ожидания называется случайная величина n Теорема. n Отклонение не может служить мерой рассеяния возможных значений случайной величины относительно математического ожидания. n Такой характеристикой является дисперсия. n

Дисперсия СВ n Дисперсией или рассеянием случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения :

Свойства дисперсии

Задача 3 Х 2 5 8 19 Случайная величина Х Р 0, 2 0, 3 0, 4 0, 1 задана рядом распределения. Найдите ее дисперсию. n 1 способ – по определению: n По задаче 2 n Построим ряд распределения для квадрата отклонения (Х-МХ)2 (2 -7)2=25 (5 -7)2=4 (8 -7)2=1 (19 -7)2=12 n Р 0, 2 0, 3 0, 4 0, 1

Задача 3 n n 2 способ – по формуле Построим ряд распределения Х 2: 2 n 4 25 64 361 Р n Х 0, 2 0, 3 0, 4 0, 1 По задаче 2 Вычислим дисперсию по формуле:

Среднее квадратичное отклонение СВ n Средним квадратичным отклонением или стандартом случайной величины называется арифметическое значение квадратного корня из ее дисперсии: n Стандарт является характеристикой рассеяния СВ

Основные законы распределения дискретных случайных величин

Равномерное распределение Х 2 … n Р n 1 1/n … 1/n Числовые характеристики:

Распределение Бернулли Х 0 Р n 1 р q Числовые характеристики:

Биномиальное распределение n n n Случайная величина называется распределенной по биномиальному закону с параметрами n и p, если может принимать лишь значения 0, 1, …, n c вероятностями , где Проведем n опытов. Рассмотрим событие A, которое происходит в каждом опыте с вероятностью p. Число успехов в этой серии опытов и есть значение случайной величины X. Числовые характеристики:

Распределение Пуассона n Случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона (закон редких явлений) с параметром λ>0, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, … (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями n Числовые характеристики: