Дискретное преобразование Фурье Объект исследования

Дискретное преобразование Фурье

• Объект исследования преобразование Фурье. • Предмет исследования дискретное преобразование Фурье. • Целью исследования является исследование, систематизация, обобщение знаний о ДПФ и его применение в различных областях науки и техники. • Перед началом работы были поставлены следующие задачи: • рассмотреть и проанализировать библиографические источники по данной теме; • рассмотреть такие понятия как: преобразования Фурье, дискретное преобразование Фурье (прямое и обратное), быстрое преобразование Фурье; • выявить целесообразность использования дискретного преобразования Фурье, указать области его применения; • разработать алгоритм дискретного и быстрого преобразования Фурье.

Очень большое и интересное понятие • Начнем с простого • Базис- это набор некоторых элементов ((b 1. . . bn), такие, что любой другой элемент выражается через них: • a = a 1 b 1 +. . . + anbn • Возьмем трехмерное пространство

Элементы (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1) являются базисом • (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) • (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0). • как можно произвольный элемент разложить в базис • (a, b, c)(x, y, z) = ax + by + cz;

v 1, v 2 и v 3 выполняется следующее: v 1(v 2 + v 3) = v 1 v 2 + v 1 v 3 • Если v 1 v 2 = 0, то эти элементы ортогональны • b 1 b 2 = 0 b 1 b 3 = 0 b 2 b 3 = 0 • допустим наш элемент раскладывается в базис вот так: v = x b 1 + y b 2 + z b 3 • Как узнать x, y и z? • vb 1 = (x b 1 + y b 2 + z b 3) b 1 = x b 1 b 1 • vb 2 = (x b 1 + y b 2 + z b 3) b 2 = y b 2 b 2 • vb 3 = (x b 1 + y b 2 + z b 3) b 3 = z b 3 b 3

Поэтому коэффициенты мы можем явно найти: • x = vb 1 / b 1 b 1 y = vb 2 / b 2 b 2 z = vb 3 / b 3 b 3 • Звук-это повторение одной и той же последовательности из n элементов.

Определим базисы:

В случае, если n - четно. То есть n = 2 k. Базис:

Таким образом, каждый сигнал (a 1. . . an) раскладывается в таком базисе: (a 1. . . an) = f 1 b 1 +. . . + fn bn; • Значит, каждый периодический сигнал имеет два представления: одно - это (a 1. . . an), а другое - это (f 1 . . . fn). Переход от одного к другому и есть преобразование Фурье. • (a 1. . . an) -> (f 1. . . fn) Прямое преобразование Фурье. • (f 1. . . fn) -> (a 1. . . an) Обратное преобразование Фурье. • Самое замечательное, что построенный базис ортогональный, относительно вот такого вот скалярного произведения: • (c 1. . . cn)(d 1. . . dn) = c 1 d 1 +. . . + cndn

Жан Батист Жозеф Фурье • Преобразование Фурье вычисляется всякий раз, когда мы слышим звук. • Преобразование Фурье стало мощным инструментом, применяемым в различных научных областях. • Интересовался теплотой • В 1807 французский математик и физик Жан Батист Жозеф Фурье представил во Французский Институт (Institut de France) доклад о синусоидальном представлении температурных распределений.

В чем суть? • Вернувшись во Францию, Фурье сосредоточился на математических исследованиях, став профессором анализа в Политехнической школе, но в 1802 году вернулся на службу к Наполеону. Фурье был назначен префектом департамента Изер. Пытаясь устранить руины, оставшиеся после революционных событий 1789 года, он возглавил строительство французского участка дороги на Турин и осушил 80 000 км 2 малярийных болот. В этот же период он вывел уравнение, описывающее распространение тепла в твёрдом теле. К 1807 году Фурье изобрёл и метод решения этого уравнения: преобразование Фурье.

• Солнечный луч, разложенный на спектр, является физическим аналогом математических преобразований (вверху). Интенсивность солнечного луча, входящего в призму, постоянно меняется во времени (внизу).

Преобразование Фурье может представить сигнал, изменяющийся во времени, в виде зависимости частоты и амплитуды, но оно даёт также информацию о фазе.

Фурье установил, что вторая гармоника затухает в 4 раза быстрее, чем первая, а гармоники более высоких порядков затухают с ещё большей скоростью.

Лагранж, Лаплас, Лежандр, Био и Пуассон • Леонард Эйлер также считал идеи Фурье ошибочными, хотя к тому времени сам пришёл к выводу, что некоторые функции можно представить суммой синусоид

Вопрос о сходимости рядов Фурье снова возник в конце XIX века в связи с попытками предсказания интенсивности приливов и отливов. • Лорд Кельвин

Преобразование Фурье — это функция, представляющая амплитуду и фазу, соответствующие каждой частоте. • Преобразование можно получить двумя различными математическими методами, один из которых применяется, когда исходная функция непрерывна, а другой — когда она состоит из множества отдельных дискретных измерений. • Если эта функция получена из значений с определёнными дискретными интервалами, её можно разбить на ряд синусоидальных функций с дискретными частотами — от самой низкой, главной частоты и далее с частотами, вдвое, втрое и т. д. выше главной. Такая сумма синусоид называется рядом Фурье.

Дискретное преобразование Фурье • Превращает свертку в поточечное изображение • Набор {fk} и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора {xk}. В качестве точек zk обычно выбирают корни n-й степени из единицы: • .

Матричное представление • м

Дискретное преобразование Фурье • Семейство преобразований Фурье (преобразование Фурье, ряды Фурье, дискретные ряды Фурье и дискретное преобразование Фурье) • Единственный член этого семейства, который имеет отношение к цифровой обработке сигналов, – это дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое оперирует дискретной по времени выборкой периодического сигнала во временной области. • Фундаментальное уравнение для получения N-точечного ДПФ выглядит следующим образом:

2. 1. 1 Прямое дискретное преобразование Фурье • Прямое преобразование:

Обратное дискретное преобразование Фурье

Повторение сигнала во времени. Дискретное преобразование Фурье • Графически процесс повторения сигнала во времени представлен на рисунке 2. • Рисунок 2: Повторение сигнала во времени • Рисунок 3: Повторение сигнала с минимальным периодом

окончательное выражение для ДПФ:

Базовые операции и показывают,

Быстрое преобразование Фурье. • Основным назначением алгоритма БПФ является разложение сложных негармонических сигналов на несколько гармонических чистых сигналов, частот.

Разновидности преобразования Фурье • 1. Многомерное преобразование Фурье • Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве , определяется формулой • Здесь и — векторы пространства , — их скалярное произведение. Обратное преобразование в этом случае задается формулой

2 Ряды Фурье • Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой периодической функции имеем

форма двойной спирали ДНК была открыта в 1962 году с использованием дифракции рентгеновских лучей в сочетании с анализом Фурье.

КЕЛЬВИН сказал: • «Теорема Фурье не только является одним из самых изящных результатов современного анализа , но и дает нам незаменимый инструмент в исследовании самых трудных вопросов современной физики»