ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнениения Tallinn University of Technology IAY

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнениения Tallinn University of Technology IAY 0010 (Aleksander Sudnitson)

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнение 1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Системы счисления Ø Система счисления (СС) это символический способ представления чисел. Ø Системы счисления делятся на: • непозиционные; • позиционные: § однородные; § смешанные. Ø В рамках данного упражнения основное внимание уделено однородным позиционным СС (2 -ичной, 8 -ричной, 16 -ричной). 3

Десятичная СС 4

Двенадцатиричная СС 5

Шестидесятиричная СС 6

Позиционные СС Ø СС называется позиционной, если значение каждой цифры зависит от её положения в числе. Ø Основание СС совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления. Ø Если количество используемых цифр равно N, то система счисления называется N-арной. Ø Произвольное число Х в N-арной СС: ХN = an×Nn + an-1×Nn-1 +. . . + a 1×N 1 + a 0×N 0 7

Бинарная (двоичная) СС Ø Бинарная (двоичная) СС – это позиционная система счисления с основанием « 2» . Ø Множество используемых цифр: {0, 1}. Ø Число 33710 в двоичной СС: 1010100012 = 1× 28 + 1× 26 + 1× 24 + 1× 20 Ø В основном применяется в вычислительной технике (наиболее простая реализация). 8

Бинарный поиск Ø Загадайте число от 0 до 15 (например 11). Ø Задав 4 раза вопрос «Загаданное число больше или равно S? » можно отгадать число (и одновременно найти его представление в бинарной системе). Ø Каждый ответ на вопрос даёт значение одного разряда бинарного представления загаданного числа (начиная с самого старшего). Ø Ответ ДА соответствует « 1» , ответ НЕТ – « 0» . 9

Бинарный поиск Ø Числа S можно подбирать используя соответствующее бинарное дерево поиска. (11>8) 8 4 1 6 3 (11<12) НЕТ 12 2 5 10 7 9 (11>10) ДА 14 11 ДА 13 15 (11=11) ДА Ответ: 1110 = 10112 10

Преобразование делением Ø На каждом шаге частное, полученное в результате предыдущего шага, делится на « 2» (изначально делится само число). Ø Остаток от каждого деления даёт значение одного разряда бинарного представления преобразовываемого числа (начиная с самого младшего). Ø Деление продолжается до тех пор пока частное не будет равно « 0» . Ø Алгоритм применим для переводе в систему с любым основанием. 11

Преобразование делением Шаг 1: 11 / 2 Шаг 2: частное = 5; остаток = 1. 5/2 Шаг 3: частное = 2; остаток = 1. 2/2 Шаг 4: частное = 1; остаток = 0. 1/2 частное = 0; остаток = 1. Ответ: 1110 = 10112 12

8 -ричная и 16 -ричная СС Ø Восьмеричная СС – это позиционная система счисления с основанием « 8» . Ø Множество используемых цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ø Шестнадцатиричная СС – это позиционная система счисления с основанием « 16» . Ø Множество используемых цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}. Ø Число 33710 в 8 -ричной и 16 -ричной СС: 33710 = 5218 = 15116 13

Преобразование в 8 -ричную СС Ø Для преобразования из двоичной СС в 8 ричную необходимо объединить цифры бинарного числа в группы по три начиная с наименьшего разряда. Ø Затем каждая группа заменяется на соответствующую цифру из 8 -ричной СС. Ø Обратное преобразование происходит путём замены 8 -ричных цифр на соответствующие бинарные группы. 14

Преобразование в 8 -ричную СС Ø Переведём число 1010100012 (33710) из двоичной в 8 -ричную СС: 101010001 5 2 1 Ответ: 1010100012 = 5218 Ø Переведём число 5218 (33710) из 8 -ричной обратно в двоичную СС: 521 101 010 001 Ответ: 5218 = 1010100012 15

Преобразование в 16 -ричную СС Ø Для преобразования из двоичной СС в 16 -ричную необходимо объединить цифры бинарного числа в группы по четыре начиная с наименьшего разряда. Ø Затем каждая группа заменяется на соответствующую цифру из 16 -ричной СС. Ø Обратное преобразование происходит путём замены 16 -ричных цифр на соответствующие бинарные группы. 16

Преобразование в 16 -ричную СС Ø Переведём число 1010100012 (33710) из двоичной в 16 -ричную СС: 101010001 1 5 1 Ответ: 1010100012 = 15116 Ø Переведём число 15116 (33710) из 16 -ричной обратно в двоичную СС: 1 151 0101 0001 Ответ: 15116 = 1010100012 17

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнение 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Элементы множеств и подмножества Ø Верны ли следующие высказывания: {2} {1, 2, 3, 4, 5} Нет. Почему? {2} {1, 2, 3, 4, 5} Да. {1, 2, 3} {1, 2, 3, {1, 2, 3}} Да. = { } Нет. Почему? 19

Способы задания множеств Ø Перечислите элементы множества: {x | x – целое число и х2 < 100} {-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Ø Подберите ограничительное свойство: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} {x | x – натуральное число кратное 3, которое меньше 25} {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . . } {x | x – квадрат натурального числа} 20

Мощность множеств Ø Чему равна мощность множества: |A|=4 А = {1, 2, 3, {1, 2, 3}} A = {{ , { }}} |A|=1 A = { , { }, a, b, {a, b}, {a, b}}} |A|=6 Ø Чему равна мощность степенного множества: А = {a, b, c, d} P(A) = { , {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}} | P(A) | = 2 | A | = 16 21

Операции над множествами Ø Опишите результирующие множества: А = { х | x – играет в футбол } В = { х | x – играет в теннис } A В = { х | x – играет в футбол или теннис } ¬(A) = { х | x – не играет в футбол } ¬(В) = { х | x – не играет в теннис } A В = { х | x – играет только в футбол } В А = { х | x – играет только в теннис } A В = { х | x – играет только в футбол или только в теннис } 22

Операции над множествами Ø Чему равны результирующие множества: А = { 1, 2, 4, 6, 7 } В = { 2, 3, 4, 5, 6 } Е = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A В = { 2, 4, 6 } A В = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ¬(A) = { 0, 3, 5, 8, 9 } ¬(В) = { 0, 1, 7, 8, 9 } A В = { 1, 7 } В А = { 3, 5 } A В = { 1, 3, 5, 7 } 23

Диаграммы Венна Ø Докажите закон дистрибутивности используя диаграммы Венна: А (В С) = (А В) (А С) 24

Диаграммы Венна Ø Представьте в виде формулы выделенное множество: ((А В) (А С) (B С)) 25

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнение 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Диаграммы Венна Ø Представьте в виде формулы выделенное множество: ((А В) С) (А В С) 27

Правила элиминации ØAB=А B ØA B = [ (A B ) (B A ) ] = = (А B ) (B A ) = = (A B ) 28

Применение правил элиминации Ø Примените правила элиминации к формуле: ((А В) С) (А В С) = [= ((А В) (В А)) С) (А В С) =] = (((А B) (B A)) C) (А В С) Ø В любой формуле можно избавиться от операций вычитания и перейти к формуле, в которой встречаются только дополнение, объединение и пересечение (перейти в базис {пересечение, объединение, дополнение}). 29

Совершенная нормальная форма = (((А B) (B A)) C) (А В С) = = (А В С) = Здесь мы применили закон дистрибутивности относительно . 30

Законы Де Моргана A B = A B A B = A B А 1 А 2 … Аn = А 1 А 2 … Аn ( i I Ai ) = i I ( Ai ) I = { 1, 2, . . . , n} дополнение к пересечению множеств равно объединению их дополнений; n дополнение к объединению множеств равно пересечению их дополнений; n 31

Переход к формуле в базисе { , ¬ } ØПримените закон Де Моргана и закон двойного дополнения для перехода в базис {пересечение, дополнение}: (А В С) (А В С) = = (А В С) 32

Переход к формуле в базисе { , ¬ } ØПримените закон Де Моргана и закон двойного дополнения для перехода в базис {объединение, дополнение}: (А В С) (А В С) = = (А В С) (А В С) 33

Вывод Ø В любой формуле можно перейти из базиса {пересечение, объединение, дополнение} к базису {пересечение, дополнение} или {объединение, дополнение}. 34

Диаграмма Венна для 3 множеств (1) (2) (3) (4) A B C (5) (6) (7) (8) Е A B C 35

Построение формулы см. слайд № 5 (соверш. норм. форма) (1) (7) (3) (А В С) (1) (3) (7) 36

Представление множества (А В С) ( В С) = = (А В С) 37

Алгебраические преобразования ØПокажем равносильность этих формул (см. предыдущий слайд) путём алгебраических преобразований: (А В С) = = (А В С) ((А A ) (В С)) = = (А В С) (( E (В С)) = =(А В С) ( В С) 38

Виды соответствий Даны соответствия P A B и Q B C. A = { a, b, c } B = { d, f } C = { x, y, z } P = { < a, d >, < a, f >, < b, d >, < c, f >} Q = { < d, x >, < f, z > } Является ли соответствие P всюду определённым функцией Является ли соответствие Q функцией сюръекцией инъекцией биекцией ? ? ? 39

Виды соответствий a P d b c f Является ли соответствие P всюду определённым - ДА Является ли соответствие P функцией ------- НЕТ 40

Виды соответствий Q d x y f z Является ли соответствие Q функцией --- ДА сюръекцией- НЕТ инъекцией --- ДА биекцией ---- НЕТ 41

Композиция соответствий Найти композицию соответствий P и Q. R = P ◦ Q R a d b c x y f z R = { < a, x >, < b, x >, < a, z >, < c, z >} 42

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнение 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Сведение к ограниченному базису Представить формулу ( B C ) (C A B ) в базисе {пересечение, объединение, дополнение} Решение: ( B C ) (C A B ) = = ( (B C) ) (C A B ) 44

Сведение к нормальной форме ( (B C) ) (C A B ) = = ( (B C) ) (C A B) = закон Де. Моргана = ( (B C C) ) ( (B C A) ) ( (B C B) ) = дистрибу- тивность = (B C ) ( (B C A) ) (B C ) = идемпотентность, противоречие = ( (B C ) (A B C) ) поглощение 45

Переход к базису { , ¬ } и { , ¬ } Применяем законы Де Моргана и закон двойного дополнения (B C ) (A B C) = = (B C ) (A B C) = = (B C ) (A B C) 46

Диаграмма Венна ( (B C ) (A B C) ) B A C 47

Транзитивное замыкание a d b e c a b f d c e f 48

Отношение эквивалентности Дано разбиение: {{ a, b }, { c, d, e }, { f }} Задать соответствующее отношение эквивалентности. a b d c e f { < a, b >, < b, a >, < a, a >, < b, b >, < c, d >, < d, c >, < c, e >, < e, c >, < d, e >, < e, d >, < c, c >, < d, d >, < e, e >, < f, f > } 49

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнение 5. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ

Сведение к ограниченному базису От исходной формулы ( ( x 1 x 2 ) x 1 x 3 ) x 2 перейти к формуле в булевском базисе (конъюнкция, дизъюнкция и отрицание) ( ( x 1 x 2 ) x 1 x 3 ) x 2 = = ( x 1 x 2 ) x 2 = = ( ( x 1 x 2 ) = = x 1 x 2 x 2 = = x 1 x 2 51

Проверка через таблицы x 1 x 2 x 3 ( ( x 1 x 2 ) x 1 x 3 ) x 2 0 0 1 1 0 1 0 1 ( ( 0 0 ) 0&0 ) 0 = 1 ( ( 0 0 ) 0&1 ) 0 = 1 ( ( 0 1 ) 0&0 ) 1 = 0 ( ( 0 1 ) 0&1 ) 1 = 0 ( ( 1 0 ) 1&0 ) 0 = 0 ( ( 1 0 ) 1&1 ) 0 = 0 ( ( 1 1 ) 1&0 ) 1 = 0 ( ( 1 1 ) 1&1 ) 1 = 0 x 1 x 2 1 1 0 0 0 52

Переход к Карте Карно Представить рассматриваемую функцию в x 1 x 2 форме карт карно x 3 0 00 10 11 01 m 000 m 110 m 010 1 m 001 m 111 m 011 x 3 x 1 1 0 0 0 x 2 x 3 x 2 53

Сведение к нормальной форме закон ( (x 2 & x 3) ) & (x 3 & x 1 & x 2 )= Де. Моргана = ( (x 2 & x 3) ) &(x 3 x 1 x 2)= = ( (x 2 & x 3) ) ( (x 2 & x 3 & x 1) ) ( (x 2 & x 3 & x 2) ) = дистрибу- тивность = (x 2 & x 3 ) ( (x 2 & x 3 & x 1) ) (x 2 & x 3 ) = идемпотентность, противоречие = ( (x 2 & x 3 ) (x 1 & x 2 & x 3) ) поглощение 54

Переход к базису { &, ¬ } и { , ¬ } Применяем законы Де Моргана и закон двойного отрицания (x 2 & x 3 ) (x 1 & x 2 & x 3) = = (x 2 & x 3 ) (x 1 & x 2 & x 3) = = (x 2 & x 3 ) & (x 1 & x 2 & x 3) (x 2 & x 3 ) (x 1 & x 2 & x 3) = = (x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3) 55

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнение 6. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ

Переход к Совершенной КНФ От исходной формулы ( x 2 x 1 x 3 ) путём алгебраических преобразований перейти к СКНФ x 1 x 3 x 2 = = ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 2 ) = = ( x 1 x 2 0) ( x 3 x 2 ) = = ( ( x 1 x 2 ) ( x 3 )) ( x 3 x 2 ) = = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 ) = = ( x 1 x 2 x 3 ) (( x 1 ) ( x 2 x 3 ) ) = = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) 57

Переход к Совершенной КНФ От исходной формулы ( x 1 ~x 2 ) x 3 путём алгебраических преобразований перейти к СКНФ ( x 1 x 2 ) x 3 = = ( x 1 x 3 ) ( x 2 x 3 ) = = ( x 1 x 2 x 3 ) См. предыдущий слайд 58

Сведение к ограниченному базису Функция задана формулой ( x 1 x 2 ) x 3 , в которой используются операции { , , }. Перейти к формуле в базисе «штрих Шеффера» { }. ( x 1 x 2 ) x 3 = = ( ( x 1 x 2 ) ) x 3 = = ( ( x 1 x 2) ( x 1 x 2 ) ) x 3 = = (x 1 ( x 2 )) (( x 1 ) x 2 ) x 3 = = ( x 1 ( x 2 )) (( x 1 ) x 2 ) x 3 = = ( ( x 1 ( x 2 ) ) ( ( x 1 ) x 2 ) ) x 3 Дом. задание: представить заданную функцию формулой в базисе «стрелка Пирса» { }. 59

Сведение к ограниченному базису Представить функцию x 1 x 2 формулой в базисе «стрелка Пирса» { }. Решение 1. x 1 x 2 = = x 1 x 2 = = ( x 1 x 2 ) = = ( x 1 x 2 ) = = =(( ( x 1 ) ( x 2 ) ) ( x 1 x 2 ) ) = = (( ( x 1 ) ( x 2 ) ) ( x 1 x 2 ) ) 60

Сведение к ограниченному базису Представить функцию x 1 x 2 формулой в базисе «стрелка Пирса» { }. Решение 2. x 1 x 2 = = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 ) = =( ( x 1 x 2) ( x 1 x 2) ) = = ( ( x 1 x 2) ( x 1 x 2 ) ) = = (( x 1) x 2 ) ( (x 1 ( x 2 )) 61

Построение логической схемы Реализовать данную функцию в базисе 2 х входного элемента И-НЕ. 62

Построение логической схемы x 1 & & x 2 x 3 & y & x 4 63

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнение 7. МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Минимальная КНФ Функция задана посредством ДНФ. Найти МКНФ. x 1 x 3 x 1 x 2 x 1’ x 2 x 3’ Путь решения: перейти к карте Карно (импликанту-эл. конъюнкции из ДНФ соответствует единичный блок на Карте Карно) и найти МКНФ методом карт Карно. 65

Решение x 1 0 1 1 0 x 1 x 3 x 1 x 2 x 1’ x 2 x 3’ 0 1 1 0 x 3 x 2 x 1 0 0 1 1 0 x 3 ( x 2 x 3 ) ( x 1 x 3’ ) x 2 66

Все простые имликанты и сокр. ДНФ Найти (перечислить) все простые импликанты. Построить сокращённую ДНФ и минимальную ДНФ. x 1 x x ’, x x 2 0 0 1 1 0 3 1 2 1 3 Сокращённая ДНФ: x 3 x 2 x 3’ x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 0 0 1 1 0 Минимальная ДНФ: 1 x 2 x 3’ x 1 x 3 67

Метод Мак. Класки -МДНФ Булева функция (частичная) задана картой Карно. x 1 - 0 1 0 0 1 - 1 x 3 x 2 Найти все простые импликанты, доопределяя данную частичную булеву функцию и применяя метод Мак. Класки. Указать их на карте Карно отметив соответствующие «единичные» блоки. Представить МДНФ. 68

Решение x 1 - 0 1 0 0 1 - 1 x 3 x 2 1 1 0 0 М 1 = 1 0 1 М 0 = 0 1 0 0 1 М- = 0 0 0 1 1 1 69

Решение - МДНФ 1 1 0 М 1 = 1 0 1 1 М- = 0 0 0 1 1 1 Склеивание 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 - 1 1 Поглощение 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 МДНФ: x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 x 1 - 0 1 0 0 1 - 1 x 3 x 2 1 1 1 - 1 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 исключается при решении задачи покрытия 70

Метод Мак. Класки -МКНФ Булева функция (частичная) задана картой Карно. x 1 - 0 1 0 0 1 - 1 x 3 x 2 Найти все простые имплиценты доопределяя данную частичную булеву функцию и применяя метод Мак. Класки. Указать их на карте Карно отметив соответствующие «нулевые» блоки. Представить МКНФ. 71

Решение - МКНФ М 0 = 1 0 0 0 1 М- = 0 0 0 1 1 1 Склеивание 1 0 0 - 0 0 0 1 1 1 Поглощение 1 0 0 0 1 1 1 x 1 - 0 1 0 0 1 - 1 x 3 x 2 - 0 0 0 - МКНФ: (x 2 x 3 ) (x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) x 2 x 3 x 1 x 2 исключается при решении задачи покрытия 72

Метод Мак. Класки -МДНФ Булева функция (частичная) задана картой Карно. x 1 0 0 - 0 1 - 1 Найти МДНФ. 0 x 3 x 2 М 1 = 1 0 1 1 М- = 1 1 0 1 1 1 73

Решение - МДНФ Склеивание и поглощение 1 0 1 1 - 1 1 0 1 1 1 Задача покрытия x 1 0 0 - 0 0 1 - 1 x 3 x 2 1 0 1 1 1 - 1 1 0 - 1 1 0 1 1 1 - 0 0 МДНФ: x 1 x 3 x 2 x 3 74

Сокращённая и минимальная ДНФ Функция задана картой Карно. x 1 0 1 x 4 1 1 1 0 0 1 1 x 3 x 2 Найти сокращённую ДНФ и минимальную (кратчайшую) ДНФ 75

Сокращённая и минимальная ДНФ Функция задана картой Карно. Найти сокращённую ДНФ и минимальную (кратчайшую) ДНФ x 1 0 1 0 0 1 1 0 1 x 4 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 x 2 x 3 x 4 x 3 x 2 Сокр. ДНФ: x 1 x 4’ x 2 x 4 x 1 x 2’ x 3 x 4’ x 1’ x 2’ x 3 x 1’ x 3 x 4 Мин. ДНФ: x 1 x 4’ x 2 x 4 x 1’ x 2’ x 3 76

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнение 8. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКИНА (REED-MULLER)

Алгебра Жегалкина (Reed-Muller) Ø Алгебра логических функций в базисе {&, } называется алгеброй Жегалкина. Ø Свойства операций & и : x y=y x (операция , как и &, коммутативна) x (y z) = x y x z (дистрибутивность & относительно ) x x=0 (чётное число термов может быть сокращено) x 0=x (нуль-термы могут быть сокращены) Ø Справедливо: x y=xy xy x=x 1 x y = x & y = (x 1) (y 1) 1 = x y x y 78

Полином Жегалкина (Reed-Muller) Ø Полином Жегалкина определяется как полином по модулю два попарно различных положительных элементарных конъюнкций (содержат только положительные литералы). P(x 1…xn) = a 0 a 1 x 1 a 2 x 2 . . . anxn a 12 x 1 x 2 a 13 x 1 x 3 . . . a 1. . . nx 1. . . xn, где a 0…a 1…n {0, 1} Ø Примеры полиномов Жегалкина: P=A B C P = A BC AD P = 1 A ABD 79

Полином Жегалкина (Reed-Muller) Ø Число попарно различных конъюнкций равно 2 n, где n - общее число переменных. Отсюда число различных полиномов Жегалкина от n 2 n переменных равно 2. Ø Число различных полиномов Жегалкина совпадает с числом всех булевых функций от n переменных. Ø В виде полинома Жегалкина можно представить любую булеву функцию, причём для каждой функции соответствующий полином будет являться единственным (каноническое представление). 80

Преобразование в полином Жегалкина Ø Когда исходная формула – СДНФ, мы можем выполнить эквивалентное преобразование, заменив знаки дизъюнкции на знаки . Ø СДНФ состоит из взаимно ортогональных конъюнкций: при любом наборе аргументов значение ИСТИНА может принять не более чем одна из них. Ø Если x&y=0, то говорят, что x ортогональна y. Ø В общем случае: x y=xy x y Ø Но если x ортогональна y, то: x y = x y x y = 0 x y = x y 81

Преобразование в полином Жегалкина Ø Функция задана посредством ДНФ: x 1 x 2 Ø Если принять, что f = x 1 x 2 и g = x 1 x 2, то здесь мы имеем как раз тот самый случай, когда f&g=0 (действительно, x 1 x 2 = 0 ). x 1 x 2 = = x 1 x 2 (x 1 1) (x 2 1) = = x 1 x 2 x 1 1 1 = = 0 x 1 x 2 1 = = x 1 x 2 1 82

Преобразование в полином Жегалкина Ø Полином Жегалкина можно строить из произвольной ДНФ, если предварительно ортоганализировать её. Ø Функция задана посредством ДНФ: x 2 x 3 x 1 x 2 Ø Наиболее просто провести ортоганализацию с использованием карт Карно. x 1 0 0 1 1 0 0 0 1 x 2 0 x 3 0 1 1 0 0 0 1 x 3 x 2 83

Преобразование в полином Жегалкина Ø Выразить представленную картой функцию полиномом Жегалкина. Карно x 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 x 3 1 0 0 0 x 4 x 2 x 1 x 4 x 1 x 2 x 4 x 2 x 3 x 4 = = x 1 x 2 x 4 x 2 x 3 x 4 x 1 x 4 x 2 x 4 x 1 x 2 x 1 x 2 84