ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ СТРУКТУРЫ РЕШЕТКИ ИЗОМОРФИЗМ СИСТЕМАТИЗАЦИЯ

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ СТРУКТУРЫ (РЕШЕТКИ). ИЗОМОРФИЗМ. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ВВЕДЕННЫХ ПОНЯТИЙ ЛЕКЦИЯ 6 Факультет компьютерной инженерии и управления, кафедра АПВТ, ХНУРЭ Лектор – д. т. н. , проф. Хаханов В. И. Харьковский национальный университет радиоэлектроники, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, е-mail: ri@kture. kharkov. ua 1

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Тема: Структуры (решетки). Изоморфизм Цель лекции – изучить свойства структур, выявить взаимосвязи между введенными понятиями Содержание: • Определение структуры • Подрешетка, интервал, сравнимые элементы, структурные ноль и единица • Дедекиндовы (модулярные) решетки • Дистрибутивные решетки • Изоморфизм множеств, алгебр • Алгебраические системы. Модели • Схема взаимосвязей между понятиями ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua 2

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Литература • Горбатов В. А. Основы дискретной математики. М. : Высш. шк. , 1986. 12 -14 с. • Лавров И. А. , Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М. : Наука, 1984. С. 4 -10. • Хаханов В. І. , Хаханова І. В. , Кулак Е. М. , Чумаченко С. В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001. 23 -25 с. • Дискретная математика: Гипертекстовые учебные материалы (электронный учебник) / В. И. Хаханов, С. В. Чумаченко. 2004. http/…/10. 13. 20. 100/nserv/library/ education/Чумаченко/Дискретная математика/ Дистанционный_учебник/index. htm. ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua 3

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Термины Базовые понятия: § множество, § подмножество, § бинарное отношение, упорядоченное множество, § операции (объединение, пересечение), § законы (ассоциативный, коммутативный, элиминации), § алгебра ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua Ключевые слова: § структура (решетка), § дедекиндова (модулярная) решетка, § дистрибутивная решетка, § подрешетка, изоморфизм 4

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Определение структуры n n n n Def: Решетка – частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет единственные точную верхнюю (sup) и точную нижнюю (inf) грани Решетка (структура) – это алгебраическая система , для элементов которой справедливы законы: x x=x, x x=x; x y=y x, x y=y x; x (x y)=x, и x, y M ! sup{x, y}=x y, inf{x, y}=x y Рассматриваемая система не является решеткой, если не существуют супремум или инфимум, либо они не единственны Структуры иллюстрируются диаграммами ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua 5

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Примеры n 1. Любое линейно упорядоченное множество является решеткой: < R, > n n n Н 2. Множество всех подмножеств данного множества (булеан), упорядоченное по включению 3. Диаграммы А и В не являются структурами Почему? ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua А z t x В q y p 6

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Решетка как универсальная алгебра § § § n Решетка – универсальная алгебра с двумя бинарными операциями , (+, • ; , ), удовлетворяющими свойствам: x x=x, x x=x; x y=y x, x y=y x; x (x y)=x, x (x y)=x; x (y z)=(x y) z, x (y z)=(x y) z x, y M: x y ! sup{x, y}=x y=y, inf{x, y}=x y=x Понятие решетки относится к середине XIX в. Впервые его ввел немецкий математик Дедекинд. Термин «решетка» принадлежит американскому ученому Гаррету Биркгофу из Принстонского университета. ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua 7

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Определения n n Def: Подрешетка M´: M´ M: x, y M´ sup{x, y} M´, inf{x, y} M´ Def: Интервал I=[ma, mb] – подрешетка M´ с наименьшим элементом ma и наибольшим элементом mb: I=[ ma, mb ]={ m M´ | ma m mb } n Def: Нулевой и единичный элементы в решетке называются структурными нулем и единицей. Def: дополнительные элементы n x y=1, x y=0 х – дополнение элемента у в решетке : x=y, y=x n n n Def: два элемента, обладающие общим дополнением в решетке, называются связанными Def: два элемента в структуре сравнимы, если в диаграмме их можно соединить путем из стрелок ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua 8

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Пример {a, b, c, d} M M´ {a, b, c} {a, c, d} {a, b, d} {a, c} {b, c} {a, d} {a, b} {a} {b} {c} {b, c, d} {b, d} {c, d} {d} ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua 9

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Time-Out ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua 10

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Дедекиндовы (модулярные) решетки Def: дедекиндова (модулярная) решетка x, y, z H, y z: (y x) z=y (x z) 5 Критерий дедекиндовости решетки: решетка Н дедекиндова Hm H Пояснение: 2, 3, 4 Hm, 3 4 (3 2) 4 5 4 4 ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua 3 (2 4) 3 1 3 Hm 4 2 3 1 11

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Историческая справка § § § § § Немецкий математик Член Берлинской, парижской и Римской Академий наук Родился в Брауншвейге Учился в Геттингенском университете Профессор Высшей технической школы в Брауншвейге Дал теоретико-множественное обоснование теории действительных чисел Ввел теоретико-множественное понятие отображения Разработал основы теории структур С его именем связаны многочисленные математические утверждения и термины: кольцо, поле, структура, сечение, функция ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua Дедекинд Рихард Юлиус Вильгельм (XIX-XXвв. ) 12

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Дистрибутивные решетки Def: дистрибутивная решетка x, y, z H (x y) z=(x z) (y z) Критерий дистрибутивности решетки: решетка H дистрибутивная Hm H , Hg H Пояснение: 2, 3, 4 Hm Hg 2 5 3 4 1 (2 3) 4 5 4 4 ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua (2 4) (3 4) 1 13

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Изоморфизм множеств n n Def: множества M и M* изоморфны, если Def: упорядоченные множества M и M* изоморфны, если между ними существует изоморфизм, сохраняющий порядок ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua 14

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Изоморфизм алгебр. 1 n n n Понятие изоморфизма является одним из важных в математике Любые две алгебры, образованные множествами одинаковой мощности, изоморфны (операции одинаковы, отображение – взаимно-однозначное соответствие множеств-носителей) Суть изоморфизма можно выразить следующим образом: если алгебры А и А* изоморфны, то элементы и операции в алгебре А* можно переименовать так, что А* совпадает с А ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua 15

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Изоморфизм алгебр. 2 Любое эквивалентное соотношение в алгебре А сохраняется и в любой изоморфной ей алгебре А*, что позволяет автоматически распространять такие соотношения в алгебре А на все изоморфные ей алгебры n n n Указанные обстоятельства дают возможность рассматривать объекты с точностью до изоморфизма, т. е. рассматривать только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме В частности, изоморфизм сохраняет ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua 16

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Выводы n Структура – от латинского: расположение, строение. Чтобы определить структуру, задают отношения, в которых находятся элементы множества (тúповая характеристика структуры), а затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют определенным условиям – аксиомам структуры. Операции Множества Отношения Алгебры Решетки Модели Алгебраические системы ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua 17

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Выводы: схема взаимосвязей между понятиями Множества Декартово произведение A B Декартова n степень A + Операции, законы = A k = < N k, S k> Изоморфизм Классификация Соответствия + Свойства = соответствий G A B Отношения Rn An Операции, = Ar = < N r , Sr > + законы Бинарное отношение R 2 A 2 Операции, R + законы = Структуры R~ Декартов 2 квадрат A AB Дедекиндовы Дистрибутивные ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua 18

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Тест-вопросы 1. Решетка определяется на: а) произвольном множестве; б) линейно упорядоченном множестве; в) частично упорядоченном множестве; г) неупорядоченном множестве? 2. Какой из законов не обязательно присутствует в определении решетки: а) коммутативный; б) дистрибутивный; в) элиминации; г) ассоциативный? 3. Какой закон в дополнение к обязательным определяет решетку как булеву алгебру: а) дистрибутивный; б) коммутативный; в) элиминации; г) ассоциативный? ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua 19

Структуры (решетки). Изоморфизм 2011 Тест-вопросы 4. Какие из элементов структуры Н сравнимы: а) {a} и {a, c}; б) {a} и {c}; в) {b} и {a, b, c}; г) никакая пара не является 5. Определить результаты выполнения операций над сравнимой? элементами структуры Н: Н а) {a}∩{a, c}; б) {a}U{c}; в) {b}∩{a, b, c}; 6. Обосновать, является ли решетка Н дедекиндовой и дистрибутивной? ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, ri@kture. kharkov. ua 20