ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ CООТВЕТСТВИЯ. ФУНКЦИИ. ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 2 Факультет компьютерной инженерии и управления, кафедра АПВТ, ХНУРЭ Харьковский национальный университет радиоэлектроники, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, е-mail: ri@kture. kharkov. ua 1
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Тема: Соответствия. Функции. Отображения Цель лекции – ознакомиться и овладеть понятием «соответствие» , изучить свойства соответствий для применения в задачах компьютерной инженерии Содержание: • Понятие упорядоченной пары и вектора • Декартово произведение множеств • Определение соответствия • Свойства соответствий • Взаимно-однозначное соответствие • Функции • Отображения • Примеры применения в теории кодирования и задачах диагностирования ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 2
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Литература • Горбатов В. А. Основы дискретной математики. М. : Высш. шк. , 1986. С. 9 -12. • Тевяшев А. Д. , Гусарова И. Г. Основы дискретной математики в примерах и задачах. Харьков: ХТУРЭ, 2001. С. 11 -17. • Лавров И. А. , Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 4 -10 с. • Кузнецов О. П. , Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера. М. : Энергия, 1980. 344 с. • Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. С. -П. , 2001. С. 4 -24. • Хаханов В. І. , Хаханова І. В. , Кулак Е. М. , Чумаченко С. В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001. 87 с. • Хаханов В. И. , Чумаченко С. В. Дискретная математика. Электронный учебник. ХНУРЭ: Электронная библиотека кафедры АПВТ (ауд. 320) NSERVLibraryЧумаченкоДискретная математика. . . ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 3
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Термины Базовые понятия: § множество § упорядоченная пара § подмножество ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua Ключевые слова: § декартово (прямое) произведение множеств § соответствие § всюду определенность § сюръективность § инъективность § функциональность § биекция (взаимная однозначность) 4
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Основные понятия: упорядоченная пара, вектор • а очк Т Множество Упорядоченная пара Информация Упорядоченная пара является одним из первичных понятий в теории множеств n Под упорядоченной парой следует понимать двухэлементное упорядоченное множество n Вектор (кортеж) представляет собой упорядоченный набор элементов х = (х1, х2, …, хn), где хi – координаты (компоненты) § Длина (размерность) вектора определяется количеством его координат n ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 5
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Проекция вектора на ось Два вектора x, y одинаковой размерности равны, если их соответствующие компоненты равны: x=y i xi=yi Def: проекцией вектора х=(х1, х2, …, хn) на i-ю ось называется его i-й компонент Pr i x = хi Def: пусть V – множество векторов одинаковой длины, тогда проекцией множества V на i-ю ось называется множество проекций всех векторов из V: ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 6
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Пример ы n Координаты точки плоскости образуют упорядоченную пару n Дано множество V векторов размерности 3: V = { (a, b, c), (c, b, d), (b, b, d) } Найти проекции множества V на оси ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua Pr 1 V={a, c, b} Pr 2 V={b} Pr 3 V={c, d} 7
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Декартово (прямое) произведение множеств 1 n Def: прямое (декартово) произведение множеств A и B есть множество всех упорядоченных пар (a, b) таких, что a A, b B: A B={ (a, b) | a A, b B } n Примеры 1. Декартово произведение множеств А={1, 2}, B={3, 4, 5} есть А B = { (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5) } 2. A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B={a, b, c, d, e, f, g, h} А В – обозначение клеток шахматной доски ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 8
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Декартово (прямое) произведение множеств 2 n n Декарту принадлежит координатное представление точек плоскости Множество точек плоскости R R=R 2 есть множество пар вида (a, b), a R, b R : R 2={(a, b) | a R, b R} Декартов квадрат (А=В): А А=А 2={(a, b) | a А, b А} Рене Декарт XVI-XVII вв. Def: прямое произведение n множеств А 1 А 2 ¾ Аn ={(а 1, а 2, …… , аn)| ai Аi , i=1, n} n Мощность декартова произведения множеств: | А 1 А 2 … Аn | = |А 1 | • |А 2| • ¾ • |Аn| n ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 9
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Соответствия n Def: соответствие – подмножество декартова произведения двух множеств: G A B n А – область определения (множество отправления) соответствия G : Pr 1 G={ x | (x, y) G } n В – область значений (множество прибытия) соответствия G : Pr 2 G={ y | (x, y) G } ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 10
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Образы и прообразы n n n Def: множество всех элементов y B, соответствующих элементу x A, называется образом элемента х в множестве B при соответствии G. Def: множество всех элементов x A, которым соответствует элемент y B, называется прообразом элемента y в множестве A при соответствии G. Пример А={1, 2, 3}, B={e, f, g} G={(1, e), (2, e)} A B G прообразы ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 11
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Time Out ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 12
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Свойства соответствий. 1 § Всюду определенность: Pr 1 G = A G G § Сюръективность: Pr 2 G = В Пример Схема G G Пример ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua Схема 13
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Свойства соответствий. 2 § Инъективность: A 1. 2. 3. B h G • e. . f. g Приме р § Функциональность: G Схема (контрпример) G Пример ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua Схема (контрпример) 14
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Взаимно-однозначное соответствие (биекция). Функция. Отображение Всюду Биекция = + Sur + In + Функциональность определенность n n Соответствие взаимно-однозначно (биективно), если оно Функция – функциональное соответствие x – аргумент, y – значение функции n Отображение – всюду определенная функция ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 15
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Пример Соответствие G={ (x, y) | y = exp x } R R § всюду определено: Pr 1 G = (- ; ) = R § не sur: Pr 2 G = (0; ) R § in: образ имеет единственный прообраз § функционально: каждому прообразу соответствует единственный образ y § не является bi § функция, так как функционально § отображение, так как всюду определено и функционально 1 0 ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua x 16
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Применение в задачах теории кодирования Виды кодирования: § Они обладают всеми свойствами взаимно§ кодирование букв азбукой однозначного соответствия, Морзе кроме сюръективности § представление чисел в § Единственность образа и системах счисления прообраза в кодировании § секретные шифры гарантирует однозначность § входящие и исходящие шифровки и дешифровки номера в деловой переписке § Отсутствие сюръективности означает, что не каждый код являются соответствиями имеет смысл. Например, между кодируемыми кодирование телефонов объектами и шестизначными номерами не присваиваемыми им кодами сюръективно ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 17
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Применение в задачах диагностирования При диагностировании микросхем полупроводниковой памяти работу дешифратора адреса можно представить в виде графа адресной дешифрации, показывающего Граф адресной дешифрации: соответствие между а – случай исправной схемы; адресами и элементами б – случай с неисправностью памяти ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 18
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Выводы n n n Соответствие представляет собой произвольное подмножество декартова произведения двух множеств Если множества имеют одинаковое количество элементов, то между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие Классификация соответствий применяется в задачах компьютерной инженерии и управления ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua Множества Декартово произведение A B, A 1 A 2 … An Соответствие G A B 19
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Тест-вопросы. 1 1. Могут ли повторяться компоненты вектора? а) да; б) нет. 2. Длина вектора определяется: а) числом различных элементов; б) числом координат. ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 3. Какое из cоответствий называется взаимнооднозначным: а) сюръективное, инъективное и функциональное? б) сюръективное и инъективное? в) всюду определенное, сюръективное, инъективное и функциональное? 20
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Тест-вопросы. 2 4. Является ли отображение биективным, если оно сюръективно и инъективно? а) да; б) нет. ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 5. Отображение А в В это: а) частично определенная функция; б) всюду определенная функция; в) сюръективное соответствие; г) инъективное соответствие. 21
Соответствия. Функции. Отображения Cентябрь, 2006 Тест-вопросы. 3 8. Верно ли: |Аn| = |A|n ? 6. Верно ли: A, B A B=B A ? а) да; б) нет. 9. Соответствие является 7. Указать проекцию подмножеством множества A={(3, 3, 5), (3, 3, 6), а) объединения двух (3, 5, 5), (3, 5, 6), (8, 3, 5), (8, 3, 6), множеств; б) пересечения двух (8, 5, 5), (8, 5, 6)} множеств; на третью ось в) теоретико-множественной а) Pr. A={3, 8}, разности двух множеств; б) Pr. A={3, 5}, г) декартова произведения в) Pr. A={5, 6}. нескольких множеств; д) декартова произведения двух множеств. ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 22
Скачать презентацию ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ CООТВЕТСТВИЯ ФУНКЦИИ ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ
(ДМ) - Lect2.ppt