ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ЛЕКЦИЯ 4 Факультет компьютерной инженерии и управления, кафедра АПВТ, ХНУРЭ Харьковский национальный университет радиоэлектроники, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, е-mail: ri@kture. kharkov. ua 1
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Тема: Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Цель лекции – изучить свойства бинарных отношений, способы их задания для применения в задачах компьютерной инженерии Содержание: • Определение бинарного отношения • Способы задания бинарных отношений • Свойства бинарных отношений • Бинарное отношение эквивалентности • Классы эквивалентности • Применение в задачах компьютерной инженерии ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 2
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Литература • Горбатов В. А. Основы дискретной математики. М. : Высш. шк. , 1986. 10 -14 с. • Лавров И. А. , Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 224 с. • Кузнецов О. П. , Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера. М. : Энергия, 1980. 344 с. • Богомолов А. М. , Сперанский Д. В. Аналитические методы в задачах контроля и анализа дискретных устройств. Саратов: Изд-во Саратовкого ун-та, 1986. 240 с. • Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. С. -П. , 2001. С. 4 -24. • Хаханов В. І. , Хаханова І. В. , Кулак Е. М. , Чумаченко С. В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001. 12 -16 с. ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 3
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Термины Базовые понятия: § множество § подмножество § упорядоченная пара § вектор § декартово произведение § декартова степень § отношение ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua Ключевые слова: § бинарное отношение § матрица смежности § граф § фактор-множество § рефлексивность § симметричность § транзитвность § отношение эквивалентности 4
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Определение бинарного отношения Множества n n Def: бинарным (двухместным) отношением на множестве M называется подмножество декартова квадрата множества М: R 2 М 2 n=2 – степень отношения (бинарное) ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua Декартово произведение A B Декартов квадрат A 2 Бинарное отношение R 2 A 2 5
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Способы задания бинарных отношений. 1 1. Матрица смежности Пример Def: матрица смежности бинарного отношения на множестве А={а 1, а 2, а 3, …¾, an} – это таблица размера n n, в которой элемент cij , определяется следующим образом: Дано: А={а, b}, R 2={(a, a), (b, a)} A 2 ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua Матрица смежности бинарного отношения R 2 представляется так: 6
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Способы задания бинарных отношений. 2 2. Граф Пример Def: граф – это совокупность множества V с заданным на нем отношением U V 2: G=<V, U> V – носитель графа (множество вершин), U – сигнатура графа (множество ребер или дуг). Дано: А={а, b}, R 2={(a, a), (b, a)} A 2 Граф бинарного отношения R 2 изображается так: a ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua b 7
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Пример: информационный обмен между устройствами ЭВМ V={a, b, c, d, e}, Т V 2 a – устройство ввода; b – процессор; c – устройство управления; d – запоминающее устройство; e – устройство вывода. ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 8
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Историческая справка § Американский математик § Доктор физико-математических наук § Член Национальной Академии наук США § Профессор Принстонского университета в США с 1933 § Член Комиссии по атомной энергии США с 1954 § Директор Бюро по проектированию ЭВМ (1945 -1955) ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua Джон фон Нейман 9
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Способы задания бинарных отношений. 3 Пример 3. Фактор-множество Def: окрестность единичного a b c d e радиуса элемента ai A : {b, c, d}{c, d, e}{a, b, d, e}{b, c, а}{c} O(ai)={ aj | (ai, aj) R A 2, aj A } § Верхняя строка – элементы множества À Def: фактор-множество A/R § Нижняя – совокупность (или A|R) множества À по окрестностей единичного отношению R A 2 есть радиуса элементов ai совокупность окрестностей единичного радиуса A/R = { O(ai) | ai A } ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 10
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Свойства бинарных отношений. 1 2. Симметричность 1. Рефлексивность § R A 2 – рефлексивно, если § R A 2 – симметрично, если ai, aj A : (ai, aj) R ai A (ai, ai) R A 2 (aj, ai) R A 2 § матрица смежности имеет § матрица смежности единичную главную симметрична относительно диагональ: главной диагонали: § в графе – петли: ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua § в графе – симметрично направленные дуги: 11
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Свойства бинарных отношений. 2 3. Транзитивность § R A 2 – транзитивно, если ai, aj, ak A : (ai, aj) R, (aj, ak) R (ai, ak) R A 2 § в графе – транзитивно замыкающая дуга: ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua Дополнительные свойства: § антирефлексивность § нерефлексивность § антисимметричность § нетранзитивность Пример 12
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Бинарное отношение эквивалентности § Граф § Рефлексивность: x x § Симметричность: x y y x § Транзитивность: x y, y z x z § Пример Бинарное отношение эквивалентности R~ = § Обозначение: R~ Рефлексивность + Симметричность + Транзитивность ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 13
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Разбиение множества § Def: разбиение Г множества А – семейство непустых попарно непересекающихся подмножеств, объединение которых совпадает с А § Свойства Г В(А) § Ki Ã: Ki § Ki, Kj Г: Ki Kj = § ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua § Пример Для трехэлементного множества A={a, b, c} разбиениями являются § Г 1={ {a, b, c} } § Г 2={ {a}, {b}, {c} } § Г 3={ {a}, {b, c} } § Г 4={ {b}, {a, c} } § Г 5={ {c}, {a, b} } 14
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Процедура построения разбиения множества § Пусть на множестве А задано отношение эквивалентности R~ § Выберем элемент a 1 A и образуем подмножество (класс) K 1 A, состоящий из элемента а 1 и всех элементов, эквивалентных ему: § Выберем элемент a 2 A, а 2 а 1, и образуем подмножество (класс) K 2 A, состоящий из элемента а 2 и всех элементов, эквивалентных ему: § Таким образом, получаем систему классов, объединение которых совпадает с множеством А ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 15
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Классы эквивалентности Построенная система классов обладает следующими свойствами: § образует разбиение § любые два элемента из одного класса эквивалентны § любые два элемента из разных классов не эквивалентны ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua Def: класс эквивалентности [à] элемента à [a]={ x | x a, x A } § Свойства классов эквивалентности: § a [a] § b [a] [b]=[a] § [a] [b]= , [a] [b] [a]=[b] § 16
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Матрица бинарного отношения эквивалентности Матрицу бинарного отношения эквивалентности можно представить в блочно-диагональном виде, где каждая подматрица, состоящая из единиц, соответствует классу эквивалентности ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 17
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Выводы. 1 n n n При исследовании возникает задача выбора существенных свойств, деталей, признаков моделируемого объекта. Отношение эквивалентности, с одной стороны, отождествляет второстепенные, несущественные признаки и свойства, и, с другой – выделяет в качестве представителей классов эквивалентности основные свойства. Понятия "отношение эквивалентности", "фактормножество", "классы эквивалентности" используются при построении математической модели некоторой реально функционирующей сложной системы. Модель есть некоторое фактор-множество элементов моделируемого объекта относительно некоторого отношения эквивалентности, заданного на исходной системе. ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 18
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Выводы. 2 Если моделируемый объект представлен в виде композиции элементов некоторого базисного множества, то вопрос о соотношении модели и ее прообраза разрешается на основе информации об элементах, на которых вводится отношение эквивалентности - либо это сами элементы базисного множества, либо некоторые подмножества элементов, либо подмножества подмножеств элементов. n Множество + ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua Отношение = Модель 19
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Сентябрь, 2006 Тест-вопросы 1. Какое из отношений является бинарным: а) R M 3; б) R M 2; в) R=M 2. 2. Если матрица, описывающая бинарное отношение, содержит на главной диагонали нули и единицы, то отношение: а) рефлексивно; б) антирефлексивно; в) не рефлексивно. 3. Если все вершины графа, описывающего отношение, имеют петли, то отношение: ХНУРЭ, факультет КИУ, а) рефлексивно; б)кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua антирефлексивно; 4. Если в графе, описывающем отношение, имеется хотя бы одна пара вершин, соединенных одной дугой, является ли данное отношение симметричным? а) да; б) нет. 5. Классы эквивалентности: а) попарно пересекаются; б) попарно не пересекаются. 6. Верно ли, что любые два элемента из одного класса 20 эквивалентности
Скачать презентацию ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
(ДМ) - Lect4.ppt