Дискретная математика Раздел Анализ и синтез дискретных систем

Дискретная математика Раздел: Анализ и синтез дискретных систем Томский государственный университет (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 1/20

Анализ и синтез дискретных систем Теория ДНФ и синтез комбинационных логических сетей Дискретные устройства Через входные полюсы (входы) некоторого технического устройства осуществляется воздействие окружающей среды на устройство (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 2/20

Анализ и синтез дискретных систем Теория ДНФ и синтез комбинационных логических сетей Дискретные устройства Через входные полюсы (входы) некоторого технического устройства осуществляется воздействие окружающей среды на устройство Через выходные полюсы (выходы) наблюдается реакция устройства на входные воздействия. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 2/20

Анализ и синтез дискретных систем Теория ДНФ и синтез комбинационных логических сетей Дискретные устройства Через входные полюсы (входы) некоторого технического устройства осуществляется воздействие окружающей среды на устройство Через выходные полюсы (выходы) наблюдается реакция устройства на входные воздействия. Поступление сигналов и их наблюдение выполняются в определенные моменты времени. Поведение устройства вне этих моментов времени не рассматривается. Такие устройства принято называть дискретными. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 2/20

Анализ и синтез дискретных систем Теория ДНФ и синтез комбинационных логических сетей Дискретные устройства Через входные полюсы (входы) некоторого технического устройства осуществляется воздействие окружающей среды на устройство Через выходные полюсы (выходы) наблюдается реакция устройства на входные воздействия. Поступление сигналов и их наблюдение выполняются в определенные моменты времени. Поведение устройства вне этих моментов времени не рассматривается. Такие устройства принято называть дискретными. Если реакция устройства в момент времени t зависит только от входного воздействия в момент времени t, то устройство называют комбинационным. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 2/20

Анализ и синтез дискретных систем Теория ДНФ и синтез комбинационных логических сетей Дискретные устройства Через входные полюсы (входы) некоторого технического устройства осуществляется воздействие окружающей среды на устройство Через выходные полюсы (выходы) наблюдается реакция устройства на входные воздействия. Поступление сигналов и их наблюдение выполняются в определенные моменты времени. Поведение устройства вне этих моментов времени не рассматривается. Такие устройства принято называть дискретными. Если реакция устройства в момент времени t зависит только от входного воздействия в момент времени t, то устройство называют комбинационным. Если реакция устройства в момент времени t зависит не только от входного воздействия в момент времени t, но и от воздействий, поступавших на устройство ранее, то устройство называется последовательностным или устройством с памятью. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 2/20

Анализ и синтез дискретных систем Теория ДНФ и синтез комбинационных логических сетей Комбинационные логические сети (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 3/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические элементы Логический элемент (вентиль) Логический элемент – это объект, который характеризуется множеством полюсов и множеством операторов. Операторами элемента могут быть булевы функции. Имея k входных полюсов и v выходных полюсов, элемент реализует систему из v булевых функций от k переменных. Каждому состоянию сигналов на входах, соответствует строго определенные сигналы на выходе. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 4/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические элементы НЕ (NOT) (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 5/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические элементы НЕ (NOT) Исключающее ИЛИ (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 5/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические элементы И (AND) (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 5/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические элементы И (AND) НЕ-И (NAND) (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 5/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические элементы ИЛИ (OR) (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 5/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические элементы ИЛИ (OR) НЕ-ИЛИ(NOR) (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 5/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Комбинационные логические сети Структура комбинационного дискретного устройства описывается логической сетью, показывающей, из каких элементов дискретное устройство состоит и как они связаны между собой. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 6/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Комбинационные логические сети Структура комбинационного дискретного устройства описывается логической сетью, показывающей, из каких элементов дискретное устройство состоит и как они связаны между собой. Логическая сеть Логической сетью называется совокупность элементов, связанных между собой путем отожествления (соединения) некоторых полюсов элементов. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 6/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Комбинационные логические сети Структура комбинационного дискретного устройства описывается логической сетью, показывающей, из каких элементов дискретное устройство состоит и как они связаны между собой. Логическая сеть Логической сетью называется совокупность элементов, связанных между собой путем отожествления (соединения) некоторых полюсов элементов. Логические сети Комбинационные сети (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 6/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Комбинационные логические сети Структура комбинационного дискретного устройства описывается логической сетью, показывающей, из каких элементов дискретное устройство состоит и как они связаны между собой. Логическая сеть Логической сетью называется совокупность элементов, связанных между собой путем отожествления (соединения) некоторых полюсов элементов. Логические сети Комбинационные сети (ТГУ) Последовательностные сети Анализ и синтез дискретных систем 6/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Комбинационные логические сети Комбинационная логическая сеть (комбинационная схема) 1. Всякий элемент e есть комбинационная схема. Полюсами этой схемы являются полюсы элемента e. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 7/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Комбинационные логические сети Комбинационная логическая сеть (комбинационная схема) 1. Всякий элемент e есть комбинационная схема. Полюсами этой схемы являются полюсы элемента e. 2. Если S – комбинационная схема, e – элемент, не содержащийся в S, то результат включения e в S, обозначенный через S', есть также комбинационная схема. При включении входные полюсы элемента e отождествляются с полюсами схемы S так, что каждый полюс элемента e отождествляется не более чем с одним полюсом схемы S. Полюсами схемы S' являются полюсы схемы S, выходные полюсы элемента e и те входные полюсы этого элемента, которые не отождествлены с полюсами схемы S. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 7/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Комбинационные логические сети Комбинационная логическая сеть (комбинационная схема) 1. Всякий элемент e есть комбинационная схема. Полюсами этой схемы являются полюсы элемента e. 2. Если S – комбинационная схема, e – элемент, не содержащийся в S, то результат включения e в S, обозначенный через S', есть также комбинационная схема. При включении входные полюсы элемента e отождествляются с полюсами схемы S так, что каждый полюс элемента e отождествляется не более чем с одним полюсом схемы S. Полюсами схемы S' являются полюсы схемы S, выходные полюсы элемента e и те входные полюсы этого элемента, которые не отождествлены с полюсами схемы S. 3. Других комбинационных схем нет. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 7/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Комбинационные логические сети (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 8/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Комбинационные логические сети Свойства комбинационной схемы (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 8/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Комбинационные логические сети (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 8/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Комбинационные логические сети Свойства комбинационной схемы комбинационной схеме отсутствуют ориентированные циклы. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 8/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Комбинационные логические сети Свойства комбинационной схемы комбинационной схеме отсутствуют ориентированные циклы. Элементы схемы можно пронумеровать таким образом, что выход элемента с номером i не может быть отождествлен с входом элемента с номером j, если j < i. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 8/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Комбинационные логические сети Пусть схема имеет n входных полюсов и m выходных полюсов. Сопоставим входным полюсам переменные x 1, …, xn. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 9/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Комбинационные логические сети Пусть схема имеет n входных полюсов и m выходных полюсов. Сопоставим входным полюсам переменные x 1, …, xn. Каждому полюсу схемы припишем булеву функцию следующим образом: 1. Если вершина сети есть входной ее полюс, то вершине приписывается тождественная функция xi, где i – номер полюса. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 9/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Комбинационные логические сети Пусть схема имеет n входных полюсов и m выходных полюсов. Сопоставим входным полюсам переменные x 1, …, xn. Каждому полюсу схемы припишем булеву функцию следующим образом: 1. Если вершина сети есть входной ее полюс, то вершине приписывается тождественная функция xi, где i – номер полюса. 2. Если вершина сети сопоставлена элементу e, реализующему функцию h(u 1, …, uk), и вершинам u 1, …, uk приписаны функции f 1(x 1, …, xn), …, fk(x 1, …, xn) от входных переменных сети, то элементу e приписывается функция h(f 1(x 1, …, xn), …, fk(x 1, …, xn)) от входных переменных сети. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 9/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Комбинационные логические сети Пусть схема имеет n входных полюсов и m выходных полюсов. Сопоставим входным полюсам переменные x 1, …, xn. Каждому полюсу схемы припишем булеву функцию следующим образом: 1. Если вершина сети есть входной ее полюс, то вершине приписывается тождественная функция xi, где i – номер полюса. 2. Если вершина сети сопоставлена элементу e, реализующему функцию h(u 1, …, uk), и вершинам u 1, …, uk приписаны функции f 1(x 1, …, xn), …, fk(x 1, …, xn) от входных переменных сети, то элементу e приписывается функция h(f 1(x 1, …, xn), …, fk(x 1, …, xn)) от входных переменных сети. 3. Выполняя шаг 2, дойдем до элемента, выход которого является выходом схемы, приписав ему функцию от переменных x 1, …, xn. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 9/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Последовательностные логические сети Комбинационная логическая сеть (комбинационная схема) Всякая логическая сеть, не являющаяся комбинационной, считается последовательностной логической сетью (последовательностной схемой). (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 10/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Последовательностные логические сети Комбинационная логическая сеть (комбинационная схема) Всякая логическая сеть, не являющаяся комбинационной, считается последовательностной логической сетью (последовательностной схемой). X = {x 1, …, xn} – переменные, сопоставляемые входам; (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 10/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Последовательностные логические сети Комбинационная логическая сеть (комбинационная схема) Всякая логическая сеть, не являющаяся комбинационной, считается последовательностной логической сетью (последовательностной схемой). X = {x 1, …, xn} – переменные, сопоставляемые входам; Y = {y 1, …, yn} – переменные, сопоставляемые выходам; (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 10/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Последовательностные логические сети Комбинационная логическая сеть (комбинационная схема) Всякая логическая сеть, не являющаяся комбинационной, считается последовательностной логической сетью (последовательностной схемой). X = {x 1, …, xn} – переменные, сопоставляемые входам; Y = {y 1, …, yn} – переменные, сопоставляемые выходам; Z = {z 1, …, zp} – переменные, сопоставляемые линиям обратных связей. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 10/20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Последовательностные логические сети Комбинационная логическая сеть (комбинационная схема) Всякая логическая сеть, не являющаяся комбинационной, считается последовательностной логической сетью (последовательностной схемой). X = {x 1, …, xn} – переменные, сопоставляемые входам; Y = {y 1, …, yn} – переменные, сопоставляемые выходам; Z = {z 1, …, zp} – переменные, сопоставляемые линиям обратных связей. Триггеры (d 1, …, dp) осуществляют задержку на один такт сигналов комбинационной схемы K. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 20

Анализ и синтез дискретных систем Логические сети Последовательностные логические сети Комбинационная логическая сеть (комбинационная схема) Всякая логическая сеть, не являющаяся комбинационной, считается последовательностной логической сетью (последовательностной схемой). X = {x 1, …, xn} – переменные, сопоставляемые входам; Y = {y 1, …, yn} – переменные, сопоставляемые выходам; Z = {z 1, …, zp} – переменные, сопоставляемые линиям обратных связей. Триггеры (d 1, …, dp) осуществляют задержку на один такт сигналов комбинационной схемы K. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 10/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача анализа комбинационных схем (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 11/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача анализа комбинационных схем Определить по комбинационной схеме и выделенному подмножеству ее выходных вершин булевы функции, реализуемые в этих вершинах. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 11/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача анализа комбинационных схем Определить по комбинационной схеме и выделенному подмножеству ее выходных вершин булевы функции, реализуемые в этих вершинах. Определить реакции схемы на заданные наборы входных сигналов. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 11/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача анализа комбинационных схем Определить по комбинационной схеме и выделенному подмножеству ее выходных вершин булевы функции, реализуемые в этих вершинах. Определить реакции схемы на заданные наборы входных сигналов. Задачи анализа комбинационной логической сети разнообразны и связаны, например, с построением тестовых наборов, обнаруживающих искажения (неисправности) сети, с многозначным моделированием сети и др. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 11/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача анализа комбинационных схем Определить по комбинационной схеме и выделенному подмножеству ее выходных вершин булевы функции, реализуемые в этих вершинах. Определить реакции схемы на заданные наборы входных сигналов. g 1 g 2 g 3 (ТГУ) Задачи анализа комбинационной логической сети разнообразны и связаны, например, с построением тестовых наборов, обнаруживающих искажения (неисправности) сети, с многозначным моделированием сети и др. Анализ и синтез дискретных систем 11/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача анализа комбинационных схем Определить по комбинационной схеме и выделенному подмножеству ее выходных вершин булевы функции, реализуемые в этих вершинах. Определить реакции схемы на заданные наборы входных сигналов. g 2 g 3 (ТГУ) Задачи анализа комбинационной логической сети разнообразны и связаны, например, с построением тестовых наборов, обнаруживающих искажения (неисправности) сети, с многозначным моделированием сети и др. Анализ и синтез дискретных систем 11/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача анализа комбинационных схем Определить по комбинационной схеме и выделенному подмножеству ее выходных вершин булевы функции, реализуемые в этих вершинах. Определить реакции схемы на заданные наборы входных сигналов. g 3 (ТГУ) Задачи анализа комбинационной логической сети разнообразны и связаны, например, с построением тестовых наборов, обнаруживающих искажения (неисправности) сети, с многозначным моделированием сети и др. Анализ и синтез дискретных систем 11/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача анализа комбинационных схем Определить по комбинационной схеме и выделенному подмножеству ее выходных вершин булевы функции, реализуемые в этих вершинах. Определить реакции схемы на заданные наборы входных сигналов. g 4 g 5 (ТГУ) g 3 Задачи анализа комбинационной логической сети разнообразны и связаны, например, с построением тестовых наборов, обнаруживающих искажения (неисправности) сети, с многозначным моделированием сети и др. Анализ и синтез дискретных систем 11/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача анализа комбинационных схем Определить по комбинационной схеме и выделенному подмножеству ее выходных вершин булевы функции, реализуемые в этих вершинах. Определить реакции схемы на заданные наборы входных сигналов. Задачи анализа комбинационной логической сети разнообразны и связаны, например, с построением тестовых наборов, обнаруживающих искажения (неисправности) сети, с многозначным моделированием сети и др. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 11/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача синтеза комбинационных схем Задача анализа комбинационных схем синтеза комбинационных схем Задача синтеза комбинационной схемы (комбинационной логической сети) заключается в ее построении для заданной булевой функции или системы булевых функций на основе определенной системы логических элементов. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 12/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача синтеза комбинационных схем Задача анализа комбинационных схем синтеза комбинационных схем Задача синтеза комбинационной схемы (комбинационной логической сети) заключается в ее построении для заданной булевой функции или системы булевых функций на основе определенной системы логических элементов. Это подмножество логических элементов, называют элементным базисом. Функции, сопоставляемые элементам базиса, образуют функционально полную систему. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 12/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача синтеза комбинационных схем Синтез анализа комбинационных схем Задача комбинационных схем в базисе ДНФ (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 13/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача синтеза комбинационных схем Синтез анализа комбинационных схем Задача комбинационных схем в базисе ДНФ (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 14/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача синтеза комбинационных схем Синтез анализа комбинационных схем Задача комбинационных схем в базисе ДНФ Элементы заменяются на соответствующие древовидные подсхемы. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 14/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача синтеза комбинационных схем Синтез анализа комбинационных схем Задача комбинационных схем в базисе ДНФ (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 15/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача синтеза комбинационных схем Синтез анализа комбинационных схем Задача комбинационных схем в базисе ДНФ Кратчайшей ДНФ соответствует схема с минимальным числом элементов И, минимальной ДНФ – схема с минимальным числом линий связей между элементами. (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 15/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача синтеза комбинационных схем Синтез анализа комбинационных схем Задача комбинационных схем в базисе ДНФ (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 15/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача синтеза комбинационных схем Синтез комбинационных схем в базисе НЕ-И (штрих Шеффера) (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 16/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача синтеза комбинационных схем Синтез комбинационных схем в базисе НЕ-И (штрих Шеффера) (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 16/

Анализ и синтез дискретных систем Задача синтеза комбинационных схем Синтез комбинационных схем в базисе НЕ-И (штрих Шеффера) (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 16/20

Анализ и синтез дискретных систем Задача синтеза комбинационных схем Синтез комбинационных схем в базисе НЕ-ИЛИ (стрелка Пирса) (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 17/20

Анализ и синтез дискретных систем пример (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 18/20

Анализ и синтез дискретных систем пример (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 19/20

Анализ и синтез дискретных систем пример (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 20/20

Анализ и синтез дискретных систем пример 1 0 1 1 (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 20/20

Анализ и синтез дискретных систем пример 1 0 1 (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 20/20

Анализ и синтез дискретных систем пример 1 0 1 1 (ТГУ) 0 Анализ и синтез дискретных систем 20/20

Анализ и синтез дискретных систем пример 1 1 0 0 1 0 1 1 (ТГУ) 0 Анализ и синтез дискретных систем 20/20 0

Анализ и синтез дискретных систем пример 1 1 0 0 0 1 1 0 0 (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 20/20

Анализ и синтез дискретных систем пример 1 0 1 0 0 1 1 0 0 (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 20/20

Анализ и синтез дискретных систем пример 1 0 1 1 0 0 (ТГУ) Анализ и синтез дискретных систем 1 0 20/20

Анализ и синтез дискретных систем пример 1 0 1 1 0 0 (ТГУ) 1 0 Анализ и синтез дискретных систем 1 0 20/20