Дискретная математика — область математики в которой изучаются

Дискретная математика - область математики, в которой изучаются свойства структур конечного характера, а также бесконечных структур, предполагающих скачкообразность происходящих в них процессов или отделимость составляющих их элементов. Список литературы: 1. Яблонский С. В. - Введение в дискретную математику 2. Белоусов А. И. - Дискретная математика 3. Капитонова Ю. В. и др. – Лекции по дискретной математике 4. Судоплатов С. В. , Овчинникова Е. В. - Элементы дискретной математики 1

Глава 1 Введение в теорию множеств и комбинаторику

Основные операции над множествами Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то А называется подмножеством множества В. А В Два множества А и В называются равными, если справедливо А В и В А тогда А=В 3

Объединение множеств А и В есть множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В - объединение произвольной системы множеств А 1, …, Аn. 4

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам А и В - пересечение произвольной системы множеств А 1, …, Аn. 5

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества А, которые не принадлежат В Если А – подмножество множества U (универсальное множество), то дополнение множества А в множестве U, есть множество, состоящее из тех и только тех элементов U, которые не принадлежат А: 6

Множество не содержащее элементов называется пустым - Булеан множества А есть множество всех подмножества А: Прямое (декартово) произведение непустых множеств А и В (А В) определяется как множество всех упорядоченных пар вида (х1, х2), где х1 А, х2 В. Для упорядоченных пар (х1, х2), (х1/, х2/) справедливо: 7

Прямое произведение системы множеств А 1, …, Аn: причём Если 8

2. Алгебра множеств 1. Идемпотентные законы 2. Законы тождества А =А А = 3. Законы дополнения 9

4. Законы коммутативности 5. Законы ассоциативности 6. Законы дистрибутивности 10

7. Законы де Моргана Проверка всех законов может быть выполнена с помощью диаграмм Венна или часто используемого в теории множеств Метода сравнения элементов. К экзамену доказать все законы. 11

Принцип двойственности Символы и и символы и называются двойственным друг к другу. Если в каком-либо из основных законов заменить каждый из этих символов на двойственный ему, то в результате снова получится один из этих же законов, например: Отсюда имеем: каждой теореме, которая может быть выведена из основных законов, соответствует другая, двойственная ей теорема, получающаяся из первой посредством указанных перестановок символов. 12

§ 2 Отображения. Элементарные тождества Пусть А и В непустые множества. Если каждому элементу х А ставится в соответствие единственный элемент y В, то говорят, что задано отображение F множества А в множество В. F: A B 13

Элемент y – образ элемента х, элемент х – прообраз элемента y. Отображение F : A B называется инъективным, если разным элементам из А ставятся в соответствие разные элементы из В. Отображение F : A B называется сюрьективным, если каждый элемент из В является образом некоторого элемента из А. 14

Отображение F : A B называется биективным, если оно одновременно инъективно и сюрьективно. Пусть N = {1, 2, …} – множество натуральных чисел и Nn = {1, 2, …, n} - его начальный отрезок из n элементов. Пусть дано множество А и пусть существует биективное отображение множества А в множество Nn. В этом случае говорим, что мощность множества А равна n. Два отображения F 1 : A 1 B 1 и F 2 : A 2 B 2 считаются равными, если A 1= A 2, B 1 = B 2 и 15

Если А = В, то отображение F : A B называется преобразованием множества А, биективное преобразование F множества А называется его подстановкой. Если |A| = n, то говорят, что подстановка множества А имеет степень n. Если А является n-множеством, причём А={x 1, …, xn}, то любое отображение F : A B может быть задано в виде двустрочной таблицы 16