Дискретная математика Лекция 5 Разложение функции по переменным

Дискретная математика Лекция 5. Разложение функции по переменным, совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы

• • Разложение Шеннона Рассмотрим разложение булевой функции f (x 1, x 2, . . . , xn) по переменной xi. Разложение Шеннона: f (x 1, x 2, . . . , xn)= xi f(x 1, . . . , xi 1, 1, xi+1, . . . , xn) xi f(x 1, . . . , xi 1, 0, xi+1, . . . , xn). Доказательство (не умоляя общности, для i =1). Если x 1 = 0, то f(0, x 2, . . . , xn) = 0 f (1, x 2, . . . , xn) 1 f(0, x 2, . . . , xn) = f (0, x 2, . . . , xn). Если x 1 = 1, то f(1, x 2, . . . , xn) = 1 f(1, x 2, . . . , xn) 0 f(1, x 2, . . . , xn) = f(0, x 2, . . . , xn). ЧТД • Пример. Булеву функцию f (x, y, z) = x y / y z , разложим по переменной z: f (x, y, z) = z(x y / y 1) z (x y / y 0)= [по свойствам 0 и 1] = z z (x y / y ). • Сомножитель f (x 1, . . . , xi -1, 1, xi+1, . . . , xn) в формуле Шеннона называется коэффициентом разложения функции f (x 1, x 2, . . . , xn) по переменной xi при xi, а сомножитель f (x 1, . . . , xi -1, 0, xi+1, . . . , xn) — коэффициентом разложения функции f (x 1, x 2, . . . , xn) по xi при xi. • Пример. f (x, y, z) = x y / y = y ( x 1 / 0) y ( x 0 / 1). x 1 / 0 — коэффициент разложения функции f (x, y, z) по y при y ; x 0 / 1 — коэффициент разложения функции f (x, y, z) по y при y.

Разложение функции по двум переменным •

Разложение функции по k переменным • Доказательство. Подставим в левую и правую части равенства произвольный набор a 1 a 2. . . an: • Упростим правую часть, рассуждая следующим образом. Нетрудно проверить, что 1, если и только если ai = 0 = 1, 11 = 1, но 0 1 = 0 и 10 = 0 ), ci (в самом деле: 0 поэтому конъюнкция равна единице лишь в единственном случае, когда наборы a 1 a 2. . . ak и с1 с2. . . сk совпадают. А это значит, что она не обращает в ноль лишь одно слагаемое правой части — то, для которого a 1 a 2. . . ak = с1 с2. . . сk и в котором сама обращается в единицу. Подставив в ставшееся слагаемое a 1 a 2. . . ak вместо с1 с2. . . сk , получим

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (Сов. ДНФ) • Применив формулу разложения булевой функции f (x 1, x 2, . . . , xn) по k переменным при k = n, получим: • Поскольку коэффициентами разложения f (c 1, c 2, . . . , cn) в этой формуле являются значения функции f (x 1, x 2, . . . , xn) на всевозможных наборах c 1 c 2. . . cn, то возможны два случая: если набор c 1 c 2. . . cn M 0 ( f ), то f (c 1, c 2, . . . , cn) = 0 и поэтому обращается в 0 соответствующее слагаемое правой части; если набор c 1 c 2. . . cn M 1 (f), то f(c 1, c 2, . . . , cn)=1 и слагаемое упрощается. В результате имеем: • • Совершенная дизъюнктивная нормальная форма булевой функции, или Сов. ДНФ, — это формула вида:

Утверждение о единственности Сов. ДНФ • • • Любая булева функция, кроме константы 0, представима cовершенной дизъюнктивной нормальной формой, и она единственна для данной функции. Алгоритм построения Сов. ДНФ (по таблице истинности) вытекает из определения Сов. ДНФ и состоит в циклическом выполнении следующего шага: в векторе столбце значений функции выбирается очередная 1 и по набору значений аргументов этой строки формируется конъюнкция всех аргументов с соблюдением следующего правила: если i‑я компонента набора равна 0, то переменная xi входит в конъюнкцию в степени 0 (с инверсией), иначе в степени 1 (без инверсии); полученная конъюнкция добавляется в формулу как очередное слагаемое. Пример. Обратим внимание на тот факт, что нам впервые удалось от табличного способа задания функции перейти к формульному !

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (Сов. КНФ) •

Утверждение о единственности Сов. КНФ Любая булева функция, кроме константы 1, представима cовершенной конъюнктивной нормальной формой , и она единственна для данной функции. • Алгоритм построения Сов. КНФ по таблице истинности вытекает из определения Сов. КНФ и состоит в циклическом выполнении следующего шага: • в векторе столбце значений функции выбирается очередной 0 и по набору значений аргументов этой строки формируется дизъюнкция всех аргументов с соблюдением следующего правила: • если i‑я компонента набора равна 0, • то переменная xi входит в дизъюнкцию в степени 1 (без инверсии), • иначе в степени 0 (с инверсией); полученная дизъюнкция добавляется в Сов. КНФ как очередной сомножитель. Пример. •

Дискретная математика Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

• • • • Элементарная конъюнкция и ДНФ Рассмотрим множество переменных x 1, x 2, . . . , xn. Элементарной конъюнкцией назовем конъюнкцию, в которую каждая переменная входит не более одного раза (с инверсией или без инверсии). Примеры. x 1 x 2 x 3 x 4, x 1 x 2 x 4 , x 3 — элементарные конъюнкции, x 1 x 2 x 4, x 1 x 3 — неэлементарные. В частности, 1 — это элементарная конъюнкция, не содержащая ни одной переменной. Число переменных, образующих элементарную конъюнкцию, назовем ее рангом. Пример. Ранг элементарной конъюнкции x 1 x 2 x 4 равен трем. Полной конъюнкцией назовем элементарную конъюнкцию, состоящую из всех переменных, т. е. конъюнкцию ранга n. Пример. При n = 4 конъюнкция x 1 x 2 x 3 x 4 — полная. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) назовем дизъюнкцию различных элементарных конъюнкций. Пример. x 1 x 2 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 3 — ДНФ. Очевидно, что совершенная ДНФ является частным случаем ДНФ. Длиной ДНФ назовем число конъюнкций в данной ДНФ. Рангом ДНФ назовем сумму рангов ее конъюнкций. Пример. Длина ДНФ из предыдущего примера равна трем, а ранг — восьми.