Дискретная математика Лебедев Анатолий Николаевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, доцент кафедры математики на экономическом факультете НИУ ВШЭ, lan@lancrypto. com
Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Наука древняя, но не так стара, как само человечество. Все началось со счета – были введены в обиход натуральные числа: 1, 2, 3, . . Затем потребовались целые числа, дробные (рациональные) числа, геометрические фигуры и тела, действительные числа, комплексные числа и т. д. . 07. 02. 2018 2
Математика не принадлежит к естественным наукам, таким, например, как физика, химия, биология, астрономия, геология, и др. Наука, основанная на абстракции и воображении. Она, вводя в естественные науки количественные связи, обслуживает их. Математика объединяет много разделов: арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, математический анализ, высшая алгебра, дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая статистика, функциональный анализ, теория функций комплексного переменного, математическая логика, теория чисел, комбинаторика. . 07. 02. 2018 3
Дискретная математика – раздел математики, который опирается на понятие дискретного множества. Здесь слово дискретная употреблено как антоним слова непрерывная, которое может характеризовать такие разделы математики как математический анализ, геометрия, топология, классическая механика и т. п. Понятие «множества» и раздел математики «теория множеств» введены в науку немецким математиком Георгом Кантором (1845 – 1918) 07. 02. 2018 4
Лекция 1. Множества Определение 1. 1. Множество – это совокупность вполне определенных и различимых между собой объектов любой природы, мыслимых как единое целое. Главное в этом определении то, что некоторая совокупность (собрание) объектов рассматривается как единое целое. 07. 02. 2018 5
Множества В эту совокупность могут входить как реально существующие объекты, так и воображаемые. Например, «множество студентов ВШЭ» , «множество ее аудиторий» , «множество окон в данной комнате» , «множество стульев и студентов в аудитории» , «множество всех молекул воздуха в данной аудитории» , «множество людей на планете Земля» и т. д. Все это реально существующие множества. 07. 02. 2018 6
Множества Воображаемые множества, с которыми мы будем иметь дело, - это объекты математики. Например, N = { 1, 2, 3, . . . } - множество всех натуральных чисел, Z = { . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . } - множество всех целых чисел , Q = { m ∕ n │m, n – целые числа, n ≠ 0 }- множество всех рациональных чисел , Curv(x) - множество всех кривых, проходящих через данную точку, [a, b] - множество всех точек отрезка чисел b ≥ x ≥ a, C[a, b] - множество всех непрерывных функций на данном отрезке [a, b], и т. д. 07. 02. 2018 7
Задание множества Перечисление всех его элементов в фигурных скобках. Например, A = {a, b, c, d} – множество из четырех элементов: букв a, b, c, d. D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } – множество десятичных цифр, B = {0, 1} – множество двоичных цифр, и т. д. Так можно задавать только конечные множества. Для задания бесконечных множеств приходится прибегать к другим способам, например, N = {1, 2, 3, 4, . . . } – множество всех натуральных чисел, Z = { . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . } – множество всех целых чисел 07. 02. 2018 8
Задание множества Специальным правилом, по которому можно отнести элемент к множеству. Например, X = {x │ P(x) } , где P(x) – некоторое высказывание об элементе x. Это означает, что X – множество всех таких элементов x, что высказывание P(x) – истинно. Например, Y = {y │ 1 ≤ y ≤ 10 } – множество всех действительных чисел y из отрезка [1, 10], Z = {z │z – целое число }, W = {w│ w- слово английского языка}, T = {t │t – секунда времени, прошедшего с начала мира} I = {i │ i – цифра десятичной системы счисления } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, etc. 07. 02. 2018 9
Пустое множество ⦰ - пустое множество, множество без элементов. {⦰} – множество из одного элемента – пустого множества ⦰. Обратите внимание, что {⦰} ≠ ⦰ ! Очевидно равенство множеств ⦰ = X = {x │ x – действительный корень квадратного уравнения x² + x + 2 = 0 } , поскольку таких корней нет. Запись x ∈ X с квантором ∈ читается «x является элементом множества X» . 07. 02. 2018 10
Задание множества Пустое множество может быть задано с помощью любого высказывания, которое всегда ложно. Например, = X = = {x │x – действительное число, x ˂ 1, x ≥ 2 }. Не все мыслимые высказывания могут стоять справа от черты │ при задании множества. Например, простая математическая формула x x приводит к парадоксу. Рассмотрим множество U = { x │x – множество, x x } 07. 02. 2018 11
Парадокс Б. Рассела Докажем, что (U ∈ U)&(U U). Пусть U U, тогда из определения объекта U (читается «множество всех таких множеств, что U U» ), следует, что U ∈ U. Обратно, пусть U ∈ U, тогда непосредственно по определению U обладает свойством U U. Противоречие, поскольку мы полагаем, что не могут одновременно выполняться оба эти противоположные другу утверждения. 07. 02. 2018 12
Равенство множеств Определение 1. 2. Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Множества А = {1, 2, 3}, B= {3, 1, 2} и C = { 1, 2, 2, 3, 3} равны. Определение 1. 3. Семейство множеств – множество, элементы которого сами являются множествами. Например, A = { {⦰}, {1, 2}, {3, 4, 5}} – семейство множеств. 07. 02. 2018 13
Подмножество Очевидно, 2 ∈ X = {1, 2, 3}, но {1, 2} = {1, 2, {1, 3}, {1, 2, 3}}. Y Определение 1. 4. Если A, B – множества, то говорят, что А есть подмножество B, или, что А включено в B, если все элементы A являются элементами множества B. Пишут A B. Если A B и A ≠ B, то A называется собственным подмножеством множества B. 07. 02. 2018 14
Подмножества Основные свойства включения: X X, X, если X Y и Y Z, то X Z, если X Y и Y X, то X = Y. Определение 1. 5. Каждое непустое множество A имеет по крайней мере два различных подмножества: само множество А и пустое множество ⦰. Каждый элемент a ∈ A определяет подмножество {a} A. Определение 1. 6. Семейство всех подмножеств данного множества A называется степенью A и обозначается P(A). Записывают P(A) = 2^A. Например, если А = {1, 2, 3}, то P(A) = {⦰, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. 07. 02. 2018 15
Индексированные множества • 07. 02. 2018 16
Конечные множества Определение 1. 7. Множество A называется конечным, если количество его элементов может быть выражено некоторым неотрицательным целым числом. Количество элементов (мощность) множества A обозначается │A│. Для конечного множества A, у которого│A│= n мощность множества P(A) равна 2^n. Упражнение: Доказать последнее утверждение. 07. 02. 2018 17
Бесконечные множества 07. 02. 2018 18
Скачать презентацию Дискретная математика Лебедев Анатолий Николаевич кандидат физико-математических наук
Lect 1.pptx