ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА БУЛЕВА АЛГЕБРА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ ЛЕКЦИЯ 7 В. И. ХАХАНОВ Факультет компьютерной инженерии и управления, кафедра АПВТ, ХНУРЭ Харьковский национальный университет радиоэлектроники, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, е-mail: ri@kture. kharkov. ua 1
Основные понятия булевой алгебры 2011 Тема: Основные понятия булевой алгебры Цель лекции – изучить основные положения теории булевых функций для использования точных методов анализа и синтеза при проектировании компьютерных систем Содержание: • Булевы переменные и функции • Двоичные наборы • Основные логические операции • Таблицы истинности • Законы булевой алгебры • Аналогия с алгеброй множеств Кантора ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 2
Основные понятия булевой алгебры 2011 Литература § § § § Горбатов В. А. Основы дискретной математики. М. : Высш. шк. , 1986. 32 -61 с. Савельев А. Я. Прикладная теория цифровых автоматов. М. : Высш. шк. , 1987. 272 с. Беннеттс Р. Д. Проектирование тестопригодных логических схем: Пер. с англ. М. : Радио и связь. 1990. 176 с. Бондаренко М. Ф. , Кривуля Г. Ф. , Рябцев В. Г. , Фрадков С. А. , Хаханов В. И. Проектирование и диагностика компьютерных систем и сетей. К. : НМЦ ВО. 2000. 306 с. Богомолов А. М. , Сперанский Д. В. Аналитические методы в задачах контроля и анализа дискретных устройств. Саратов: Изд-во Саратовкого ун -та, 1986. 240 с. Хаханов В. И. Техническая диагностика элементов и узлов персональных компьюторов. К. : ИСМО, 1997. 308 с. Хаханов В. І. , Хаханова І. В. , Кулак Е. М. , Чумаченко С. В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001. 87 с. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. С. -П. , 2001. С. 263 -268. ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 3
Основные понятия булевой алгебры 2011 Термины Ключевые слова: § булева переменная Базовые понятия: § булева функция § множество § логические операции § законы (ассоциативный, коммутативный, элиминаци (дизъюнкция, конъюнкция, § бинарные и унарные операции, инверсия, импликация, § алгебра, сумма по модулю два, § двоичная система счисления эквивалентность) § изоморфизм § дизъюнктивная § структура нормальная форма (ДНФ) § конъюнктивная нормальная форма (КНФ) ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 4
Основные понятия булевой алгебры 2011 Историческая справка n n n n Родился в Линкольне 1849 – профессор математики Куинс-Колледжа в Корке (Ирландия) За работы в области высшего анализа получил Королевскую медаль 1854 – основное произведение «Исследование законов мышления» Предпринял попытку построить формальную логику в виде некоторого «исчисления» , «алгебры» В современной алгебре встречаются булевы кольца, булевы алгебры — алгебраические системы, законы которых берут свое начало от исчисления Буля В общей топологии – булево пространство В математических проблемах управляющих систем − булевы разброс, разложение ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua Джордж Буль (XIXв. ) 5
Основные понятия булевой алгебры 2011 Структура математической логики n n Математическая логика – раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики Исчисление высказываний и исчисление предикатов Математическая логика Исчисление высказываний n Исчисление предикатов Исчисление высказываний – вступительный раздел математической логики, в котором рассматриваются логические операции над высказываниями ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 6
Основные понятия булевой алгебры 2011 Булевы переменные и булевы функции § § § В алгебре логики интересуются лишь истинностным значением высказываний Обозначения: 1 (èñòèíà) 0 (ëîæü) Каждой логической операции соответствует функция, принимающая значения 0, 1, аргументы которой также принимают значения 0, 1 Def: логическая (булева) переменная x {0, 1} Def: логическая (булева) или функция алгебры логики (ФАЛ) f(x 1, x 2, …¾ xn) {0, 1} ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 7
Основные понятия булевой алгебры 2011 Двоичные наборы § § § Переменные булевой функции образуют наборы из нулей и единиц. Такие наборы называют двоичными Сколько двоичных наборов имеет функция f(x 1, x 2, …, xn) от n переменных? Булева функция от n переменных определена на 2 n двоичных наборах Переход от десятичной к двоичной системе счисления: (6)10=(110)2 ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 8
Основные понятия булевой алгебры 2011 Двоичные наборы для функций от двух и трех переменных № № 0 1 2 3 x 1 0 0 1 1 x 2 f(x 1, x 2) 0 1 ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 0 1 2 3 4 5 6 7 x 1 0 0 1 1 x 2 0 0 1 1 x 3 f(x 1, x 2, x 3) 0 1 0 1 9
Основные понятия булевой алгебры 2011 Двоичные наборы для функций f(x 1, x 2, x от четырех переменных 3 , x 4) № х1 х2 х3 х4 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua f(x 1, x 2, x 3, х4) 10
Основные понятия булевой алгебры 2011 Логические операции Название Дизъюнкция (логическое сложение) Конъюнкция (логическое умножение) Инверсия (отрицание) Импликация Эквивалентность Сумма по модулю 2 (исключающее ИЛИ) ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua Обозначение (+) Чтение ИЛИ (&, • ) И – (¬) НЕ ВЛЕЧЕТ эквивалентно сумма по модулю 2 11
Основные понятия булевой алгебры 2011 Определение логических операций. Таблицы истинности Логические операции и логические функции n Таблицы истинности № набора x y x y х x y n x y 0 0 0 1 1 1 1 0 2 1 0 0 1 0 3 1 1 1 0 0 1 ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 12
Основные понятия булевой алгебры 2011 Пример № набора 0 1 2 3 4 5 6 7 x 0 0 1 1 y 0 0 1 1 z x y z 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua h(x, y, z)= (x y) z 0 1 0 13
Основные понятия булевой алгебры 2011 Time-Out ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 14
Основные понятия булевой алгебры 2011 Законы и тождества алгебры логики. 1 Название Коммутативность Ассоциативность Формула x y=y x, xy=yx (x y) z= x (y z), (xy)z= x(yz) Дистрибутивность (x y)z=xz yz, xy z=(x z)(y z) Идемпотентность x x=x, x x=x Действия с константами Инволюция ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua x 0=x, x 0=0, x 1=1, x 1=x, x x=1, x x=0 x=x 15
Основные понятия булевой алгебры 2011 Законы и тождества алгебры логики Название Закон де Моргана Элиминация Склеивание Законы Блэйка. Порецкого Формула x y=x y, xy=x y (x y)x=x, xy x=x (x y)=x, xy xy=x х(х y)=xy, x xy=x y § Связь эквивалентности с дизъюнкцией, конъюнкцией и отрицанием: x y=xy x y § Связь импликации с отрицанием и дизъюнкцией: x y=x y ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 16
Основные понятия булевой алгебры 2011 Доказательство дистрибутивного закона при помощи таблиц истинности: xy z = (x z) (y z) № набора 0 1 2 x 0 0 0 y 0 0 1 z 0 1 0 x y 0 0 0 3 4 5 6 7 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 xy z 0 1 0 x z 0 1 0 y z 0 1 1 1 1 1 LHS § Таким образом, показано: LHS=RHS ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua (x z)(y z) 0 1 0 1 1 1 RHS 17
Основные понятия булевой алгебры 2011 Выводы: Аналогия с алгеброй множеств Кантора ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 18
Основные понятия булевой алгебры 2011 Тест-задание n Заполнить таблицу истинности для пяти функций: № набора x y z x y (x y)z x z y z xz yz 0 1 2 3 4 5 6 7 ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 19
Скачать презентацию ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА БУЛЕВА АЛГЕБРА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ
Lect7_ДМ_КИ.ppt