ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА БУЛЕВА АЛГЕБРА МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ. МЕТОДЫ КВАЙНА И КВАЙНА-МАК-КЛАСКИ ЛЕКЦИИ 13, 14 В. И. ХАХАНОВ Факультет компьютерной инженерии и управления, кафедра АПВТ, ХНУРЭ Харьковский национальный университет радиоэлектроники, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, е-mail: ri@kture. kharkov. ua 1
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 Тема: Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки Цель лекции – изучить методы Квайна и Квайна-Мак-Класки для минимизации булевых функций, описывающих комбинационные подсхемы цифровых проектов Содержание: • Смысл процесса минимизации • Понятие импликанты • Этапы метода Квайна • Недостатки метода Квайна • Метод Квайна-Мак-Класки • Примеры ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 2
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 Литература § Савельев А. Я. Прикладная теория цифровых автоматов. М. : Высш. шк. , 1987. 222 -240 с. § Богомолов А. М. , Сперанский Д. В. Аналитические методы в задачах контроля и анализа дискретных устройств. Саратов: Изд-во Саратовкого ун-та, 1986. 240 с. § Хаханов В. И. Техническая диагностика элементов и узлов персональных компьюторов. К. : ИСМО, 1997. 308 с. § Хаханов В. І. , Хаханова І. В. , Кулак Е. М. , Чумаченко С. В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001. С. 35 -43. ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 3
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 Термины Базовые понятия: § Булева переменная Ключевые слова: § Булева функция § Двоичная система § Минимизация § Импликанта счисления § § Числовое представление ФАЛ Существенные импликанты § Кубическое представление ФАЛ § Минимальное § СДНФ и СКНФ покрытие ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 4
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 Смысл процесса минимизации. 1 § § Различные выражения одной и той же булевой функции описывают различные схемы Пример № х1 х2 х3 f(x 1, x 2, x 3) 0 1 2 0 0 0 1 0 1 0 0 4 5 6 1 1 1 0 0 1 1 3 0 1 1 1 7 1 1 1 0 ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 5
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 Смысл процесса минимизации. 2 § Преобразуем СДНФ к виду: § Схемотехническое представление формул дает схемы из 12 и 10 контактов соответственно: ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 6
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 Определения § § Исходная функция задана в СДНФ Def: импликанта функции – это некоторая логическая функция, обращаемая в нуль на том же наборе переменных, на котором равна нулю сама функция Любой конъюнктивный терм или группа термов, соединенных знаками дизъюнкции, входящие в СДНФ, являются импликантами исходной функции Def: первичная импликанта функции – это импликанта типа элементарной конъюнкции, никакая часть которой уже не является импликантой ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 7
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 Историческая справка КУАЙН Уиллард ван Онрман § Американский математик § Профессор Гарвардского университета § Читал лекции в Сан-Пауло (Бразилия), Оксфорде (Англия), Токио, Париже, Упсале (Швеция) § Крупнейший специалист в области математической логики и оснований математики § Член Американской Академии наук и искусств в Бостоне ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 8
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 Задача минимизации по методу Квайна 1 § § § Состоит в попарном сравнении всех импликант, входящих в СДНФ, в целях выявления возможности поглощения какой-то переменной на основе закона склеивания Удается понизить ранг термов Процедура проводится до тех пор, пока не останется ни одного члена, допускающего поглощение с другим термом Термы, подвергшиеся поглощению, отмечаются Неотмеченные термы представляют собой первичные импликанты Полученное логическое выражение не всегда оказывается минимальным ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 9
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 Задача минимизации по методу Квайна 2 § § Исследуется возможность дальнейшего упрощения Составляется таблица, в строках которой указываются найденные первичные импликанты, а в столбцах – термы исходного выражения Клетки таблицы отмечаются, если первичная импликанта входит в состав какого-либо терма В итоге задача упрощения сводится к тому, чтобы найти такое минимальное количество первичных импликант, которые покрывают все столбцы ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 10
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 Этапы метода Квайна § § Определение первичных импликант Расстановка меток Нахождение существенных импликант Определение и удаление лишних столбцов § Определение и удаление лишних первичных импликант § Выбор минимального покрытия § Составление минимальной формы исходной функции ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 11
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 Пример минимизации по методу Квайна § Требуется минимизировать функцию: § Представим функцию в виде СДНФ ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 12
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 § 1. Определение первичных импликант § Составляется таблица исходных термов Номера столбцов 1 2 3 4 5 6 7 8 Двоичные наборы 0011 0100 0101 0111 1001 1011 1100 1101 Исходные термы 1 1 1 1 ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 13
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 § 1. Определение первичных импликант § Ранг термов понижается Номера столбцов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Первичные импликант ы 3 -го ранга 1 1 1 1 ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 1 14
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 § 2. Расстановка меток Номера столбцов 1 2 3 4 5 6 7 8 Наборы 0011 0100 0101 0111 1001 1011 1100 1101 * * * Импликанты 3 -го и 2 -го ранга * * * ставится на пересечении строки и столбца, если импликанта входит в какой-либо исходный терм ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 15
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 § 3. Нахождение существенных импликант Номера столбцов 1 2 3 4 5 6 7 8 Наборы 0011 0100 0101 0111 1001 1011 1100 1101 * * * Импликанты 3 -го и 2 -го ранга * * * Cущественной является импликанта, напротив которой в столбце стоит единственная * ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 16
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 § 4. Удаление лишних столбцов 1 Номера столбцов 1 2 3 4 5 6 7 8 Наборы 0011 0100 0101 0111 1001 1011 1100 1101 * * * Импликанты 3 -го и 2 -го ранга * * * Выделяются столбцы, в которых * стоит напротив существенной импликанты ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 17
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 § 4. Удаление лишних столбцов 2 Номера столбцов 1 2 3 4 5 6 7 8 Наборы 0011 0100 0101 0111 1001 1011 1100 1101 * * * Импликанты 3 -го и 2 -го ранга * * * Если в таблице имеются два столбца с метками в одних и тех же строках, то один из них вычеркивается. В данном примере такие отсутствуют. ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 18
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 § 5. Вычеркивание лишних первичных импликант Если после исключения некоторых столбцов в таблице появляются строки, в которых нет ни одной метки, то первичные импликанты, соответствующие этим строкам, исключаются из дальнейшего рассмотрения, так как они не покрывают оставшиеся термы. ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua Номера столбцов 1 4 5 6 Наборы 0011 0111 1001 1011 * * Импликанты 3 -го и 2 -го ранга * * * 19
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 § 6. Выбор минимального покрытия Предпочтение отдается покрытию с минимальным суммарным количеством букв в импликантах § 7. Составление минимальной формы исходной функции § Минимальная форма складывается из суммы существенных импликант, определенных в п. 3 (это и первичных импликант, покрывающих оставшиеся минтермы, определенных в п. 6: и : ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua ) 20
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 Недостаток метода Квайна § Необходимость попарного сравнения всех термов на первом этапе при нахождении первичных импликант § С ростом числа исходных термов увеличивается количество попарных сравнений, что усложняет решение § Выход: модификация метода ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 21
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 Time-Out ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 22
Модификация метода Квайна – метод Квайна-Мак. Класки 1 Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки § § § 2011 Метод Квайна-Мак-Класки – модификация метода Квайна Основывается на числовом и кубическом представлении термов ДНФ Числовое представление ФАЛ – упрощение процедуры нахождения первичных импликант на первом этапе Исходное задание функции определяется для удобства десятичными кодами двоичных кубов, соответствующих ДНФ Кубы предварительно разбиваются на подгруппы, определяемые одинаковым количеством единиц Разбиение дает возможность сравнивать кубы только соседних по числу единиц групп для уменьшения количества переборов ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 23
Модификация метода Квайна – метод Квайна-Мак. Класки 2 Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки § § § 2011 Исходные термы записываются в виде их двоичных номеров Все номера разбиваются на непересекающиеся группы по количеству единиц Условие образования r-куба – наличие расхождения в (r-1)-кубах только по одной координате в одном двоичном разряде и наличие общих независимых координат В i-группу включают все номера наборов, имеющие в своей записи i единиц Попарное сравнение проводится только между соседними по номеру группами ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 24
Пример минмизации по методу Квайна-Мак-Класки 1 Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 §Минимизировать функцию: № х1 х2 х3 х4 f(x 1, x 2, x 3, х4) 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 8 1 0 0 9 1 0 0 10 1 0 1 0 3 4 5 6 7 0 0 0 1 1 1 0 1 11 12 13 14 15 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 1 1 1 1 1 0 0 1 1 25
Пример минмизации по методу Квайна-Мак-Класки 2 Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 § Выпишем все 0 -кубы (точки) в виде комплекса K 0: ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 26
Пример минмизации по методу Квайна-Мак-Класки 3 Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 § Разобьем комплекс K 0 на группы по количеству единиц в каждом двоичном наборе. Таких групп будет три: ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 27
Пример минмизации по методу Квайна-Мак-Класки 4 Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 1. Определение первичных импликант: а) сравниваем соседние по номеру группы кубов: Склеивание кубов ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 28
Пример минмизации по методу Квайна-Мак-Класки 5 Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 По результатам склеивания составляем K 123 куб: Склеивание кубов ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 29
Пример минмизации по методу Квайна-Мак-Класки 6 Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 б) разбиваем все 1 -кубы на группы в зависимости от положения независимых координат Х: Нижний индекс соответствует порядковому номеру расположения независимой координаты Х ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 30
Пример минмизации по методу Квайна-Мак-Класки 7 Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 Сравниваем кубы внутри каждой группы в целях получения K 2 -кубов: ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 31
Пример минмизации по методу Квайна-Мак-Класки 8 Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 2. Составление таблицы и расстановка меток. Составляем таблицу исходных термов и тех импликант, которые не принимали участие в склеивании. Если в исходный терм входит какая-нибудь первичная импликанта, то на пересечении соответствующей строки и столбца указывается метка * Номера столбцов 1 2 3 4 5 6 7 8 Наборы 0011 0100 0101 0111 1001 1011 1100 1101 0 X 11 X 011 * * * 01 X 1 10 X 1 1 X 01 X 10 X * * * * ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua * * 32
Пример минмизации по методу Квайна-Мак-Класки 9 Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 3. Нахождение существенных импликант. Существенная имплитанта определяется единственной меткой в каком-либо столбце таблицы. Существенной импликантой второго ранга является терм , соответствующий 2 -кубу Х 10 Х. Выделяем столбцы соответствующие существенной импликанте. 1 Номера столбцов 2 3 4 5 6 7 8 Наборы 0011 A B C 0 X 11 X 011 01 X 1 * * D E 10 X 1 1 X 01 X 10 X 0100 0101 0111 1001 1011 1100 1101 * * * * * ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua * * 33
Пример минмизации по методу Квайна-Мак-Класки 9 покрытие. Составляем таблицу для 4. Минимальное Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 оставшихся невыделенных термов и импликант. Решаем задачу покрытия строк столбцами. Номера столбцов 1 4 5 6 Наборы 0011 0111 1001 1011 A B C 0 X 11 X 011 01 X 1 * * * D E 10 X 1 1 X 01 * AνD * * С учетом полученной существенной импликанты выписываем окончательное представление функции: ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 34
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 Выводы n n Методы минимизации булевых функций используются во всех программных приложениях, связанных с синтезом вычислительных устройств Они позволяют в среднем на 20 -30% получить более экономичный проект с позиции аппаратурных затрат Наиболее практически ориентированным является метод Квайна-Мак-Класки, который оперирует кубическим представлением булевых функций Недостатком обоих методов является применение импликантной таблицы для решения задачи нахождения минимального покрытия, которое требует большого объема памяти для реальных объектов ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 35
Минимизация булевых функций. Методы Квайна и Квайна-Мак-Класки 2011 Тест-вопросы 1. Указать, какие кубы склеиваются: n а) Х 00, Х 10 ; n б) 011, 100; n в) 10 Х, 01 Х; n г) ни одна пара не склеивается. 2. Склеивание кубов 010 и 011 дает: n а) Х 00; б) 0 ХХ; n в) 101; г) 01 Х. 3. Куб ХХ 1 является n а) 1 -кубом; б) 2 -кубом; n в) 0 -кубом. 4. Куб 00 Х является n а) 1 -кубом; n б) 2 -кубом; n в) 0 -кубом. ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, e-mail: ri@kture. kharkov. ua 5. Куб 011 является § а) 1 -кубом; § б) 2 -кубом; § в) 0 -кубом. 6. Каждая импликанта в СДНФ соответствует а) нулевому значению функции; б) значению функции, равному единице. 7. Каждая импликанта в СКНФ соответствует а) нулевому значению функции; б) значению функции, равному единице. 36
Скачать презентацию ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА БУЛЕВА АЛГЕБРА МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ МЕТОДЫ
Lect13_14_ДМ_КИ.ppt