Дисципліна «Вища математика (спецрозділи)» Доц. Омельченко Сергій Васильович

Скачать презентацию Дисципліна «Вища математика (спецрозділи)» Доц. Омельченко Сергій Васильович

Вища математика Л1-3.ppt

Количество слайдов: 91

Дисципліна «Вища математика (спецрозділи)» Доц. Омельченко Сергій Васильович

література • Основна • 1. Шифр: 517(07) К 65 Конспект лекцій з дисципліни "Вища математика (спецрозділи)" для студентів усіх форм навчання напряму 6. 050903 "Телекомунікації"; С. В. Омельченко ; МОНМС України, Харк. нац. ун-т радіоелектроніки. - Х. : ХНУРЕ - 2012. - 164 с. • 2. Конспект лекцй и задачник по курсу «Вероятностные модели случайных сигналов и полей для обработки сигналов» . Омельченко В. А. , Безрук В. М. . , Драган Я. П. , Колесников О. А. , Омельченко А. В. – Харьков: ХТУРЭ, 1994. — 285 с. • 3. Навчальний посібник Омельченко В. О. , Безрук В. М. . , Драган Я. П. , Колесников О. О. , Омельченко А. В. . Імовірнісні моделі випадкових сигналів та полів у прикладах і задачах. Навчальний посібник / під ред. В. О. Омельченка: МОУ - Київ, 1996. — 270 с • 4. Гихман И. И. , Скороход А. В. , Ядренко М. И. Теория вероятностей и математическая статистика. —К. : Вища школа, 1979. — 408 с.

Додаткова література • 5. Вентцель Е. С. , Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. • 6. Коваленко И. Н. , Филиппова А. А. Теория вероятностей и математическая статистика. - : 1982. • 7. Ивченко Г. И. , Медведев Ю. И. Математическая статистика. М. , 1984. • 8. Ивченко Г. И. , Медведев Ю. И. Сборник задач по математической статистике: Учебное пособие для втузов - М. , 1989 -255 с. • 9. Бабак В. П. , Марченко Б. Г. , Фриз М. Є. теорія ймовірностей, випадкові процеси, та математична статистика. – К. , Техніка, 2004. -288 с. • 10. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. -М. : Наука. 1967.

Лекція 1 • ОСНОВНІ ПІДХОДИ ДО ПОБУДОВИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ. • АКСИОМАТИКА КОЛМОГОРОВА ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Загальні відомості • • Теорія ймовірностей займається вивченням схованих закономірностей. При цьому реальний світ заміняється світом символічним, вираженим за допомогою математичних моделей. Математична модель – це абстракція реального світу, у якому відносини, що цікавлять дослідника, між реальними об'єктами замінені підходящими відносинами між математичними об'єктами. Теорія ймовірностей – це наука, що дозволяє по ймовірностях одних випадкових подій знаходити ймовірності інших випадкових подій, зв'язаних якимнебудь образом з першими. Теорія ймовірностей будується дедуктивно, виходячи із загальних аксіом. Вона призначена для розробки математичних моделей реальних явищ із урахуванням великого числа випадкових факторів. Випадкові фактори – фактори, що не піддаються строгому обліку й контролю. Математична статистика (МС) – це розділ прикладної математики. Її завдання полягає в одержанні певних висновків з експериментальних даних. Для МС характерно, головним чином, індуктивна побудова, оскільки в цьому випадку ми йдемо у зворотному напрямку від спостережень подій до деяких висновків. МС – це система заснованих на теоретико-ймовірнісних моделях понять, прийомів і математичних методів, призначених для збору, систематизації, інтерпретації й обробки статистичних даних з метою одержання наукових і практичних висновків. Одне з головних призначень МС є обґрунтований вибір теоретикоймовірнісних моделей серед їхньої множини.

Історія • Виникнення теорії ймовірностей як науки відносять до середніх століть і першим спробам математичного аналізу азартних ігор. Спочатку її основні поняття не мали строго математичного вигляду, до них можна було ставитися як до деяких емпіричних фактів, як до властивостей реальних подій, і вони формулювалися в наочних виставах. Найбільш ранні роботи вчених у галузі теорії ймовірностейвідносяться до XVII століття. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П'єр Ферма відкрили перші ймовірнісні закономірності, що виникають при киданні костей. Вважають, що вперше Паскаль зайнявся теорією ймовірностей під впливом питань, поставлених перед ним одним з придворних французького двору Шевальє де Мере (1607 -1648), що був азартним гравцем, але гра, теж була для нього приводом для досить глибоких роздумів. Де Мере запропонує Паскалю два знамениті питання, перше з яких він спробував вирішити сам. Питання були такі: 1. Скільки разів треба кидати дві гральні кістки, щоб випадків випадання відразу двох шісток було більше половини від загального числа кидань? • 2. Як справедливо розділити поставлені на кон двома гравцями гроші, якщо вони з якихось причин припинили гру передчасно?

Портрет Паскаля французский математик, физик, литератор и философ

Антуан Гомбо • • Антуан Гомбо (фр. Antoine Gombaud 1607, Пуату, Франция — 29 декабря 1684, Франция), также известный как шевалье де Мере — французский писатель. Хотя он не был дворянином, в своих сочинениях использовал имя «кавалер де Мере» для персонажа, выражавшего точку зрения автора. Позже его друзья стали так называть его самого. Шевалье де Мере был известным салонным сочинителем. Наиболее известны его «Честный человек» (L’honnête homme) и «Обсуждение истинной честности» (Discours de la vraie honnêteté ). Его перу принадлежит один из мадригалов «Гирлянды Жюли» . Однако гораздо большую известность де Мере получил благодаря своей роли в зарождении теории вероятностей. Он сам был математиком-любителем, и предложил салону Мерсенна задачу о разделении ставок. Если два игрока прервали, не доиграв, серию партий, то как им поделить ставку, если, например, один выиграл три партии, а второй одну? Вызов был принят Блезом Паскалем и Пьером Ферма. В последовавшем обмене письмами Паскаль и Ферма заложили основы теории вероятностей.

Історія • Ці завдання обговорювалися в листуванні Б. Паскаля і П. Ферма (1601 -1665) і послужили приводом для початкового введення математичного очікування, і спробів формулювання основних теорем додавання і добутку ймовірностей. Під впливом піднятих і розглянутих ними питань вирішенням тих же завдань займався і Християн Гюйгенс. При цьому з листуванням Паскаля і Ферма він знайомий не був, тому методику рішення винайшов самостійно. Його робота, в якій вводяться основні поняття теорії ймовірностей (поняття ймовірності як величини шансу; математичне сподівання для дискретних випадків, у вигляді ціни шансу), а також використані теореми додавання і множення ймовірностей (не сформульовані явно), вийшла в друкованому вигляді на двадцять років раніше (1657 рік) видання листів Паскаля і Ферма (1679 рік).

Історія • Справжню наукову основу теорії ймовірностей заклав великий математик Якоб Бернуллі (1654 -1705). Його праця «Мистецтва припущень» став першим грунтовним трактатом з теорії ймовірностей. Він містив загальну теорію перестановок і поєднань. А відкритий ним знаменитий закон великих чисел дав можливість встановити зв'язок між імовірністю-якого випадкового події і частотою його появи, що спостерігається безпосередньо з досвіду. • Важливий внесок в теорію ймовірностей вніс Якоб Бернуллі: він дав доказ закону великих чисел в простому випадку незалежних випробувань. У першій половині XIX століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу помилок спостережень; Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття основний внесок внесли російські вчені П. Л. Чебишов, А. А. Марков і О. М. Ляпунов. В цей час були доведені закон великих чисел, центральна гранична теорема, а також розроблена теорія ланцюгів Маркова. Сучасний вигляд теорія ймовірностей отримала завдяки аксіоматизації, запропонованої Андрієм Миколайовичем Колмогоровим. У результаті теорія ймовірностей придбала строгий математичний вигляд і остаточно стала сприйматися як один з розділів математики.

Визначення ймовірностей

Класичне (комбінаторне) означення ймовірності Імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій Ω: Щоб обчислити ймовірність події А за цією формулою, потрібно знайти кількість елементарних подій у просторі Ω, а також кількість їх у множині, яка відповідає події А.

Класичне (комбінаторне) означення ймовірності

ПРИКЛАД: • нехай є в навчальній групі 23 чоловік. Яка ймовірність того, що принаймні у двох з них виявиться той самий день народження? Тут n=36523; n-k=365 364. . . ∙ 343. Отже, . • Таке визначення м. б. піддано критиці на тім підставі, що «рівноможливість» насправді означає «рівноймовірність» і в міркуванні втримується порочне коло»

Формули комбінаторики

Геометричне означення ймовірності Якщо простір елементарних подій Ω можна подати у вигляді деякого геометричного образу, а множину елементарниx подій для події А – як частину цього геометричного образу, то ймовірність події А визначається як відношення мір цих множин: При цьому вважається, що ймовірність потрапляння в деяку частину геометричного образу пропорційна мірі цієї його частини.

Частотне (апостеріорне) визначення по Р. Мизесу. Апріорні ймовірності - доопитні, апостеріорні - післяопитні. Розглянемо деякий стохастический (випадковий) експеримент і подія А, спостережуване в ньому. Експеримент проводиться n раз. Нехай kn(A) – число експериментів, у яких відбулася подія А. Відношення називається частотою події А з n експериментів. Імовірність події А визначається як межа частоти появи події А в ході необмеженого збільшення числа експериментів, тобто

результати по киданню симетричної монети Частота м. б. обчислена після серії експериментів, а ймовірність події A можна знайти лише приблизно в дуже довгій серії експериментів. Відомі результати по киданню симетричної монети, представлені в таблиці. Число кидань Эксериментат ор Число випадань герба Частота Ж. Бюффон 4040 2048 0, 5080 К. Пирсон 12000 6019 0, 5016 К. Пирсон 2400 12012 0, 5005

• У різних розділах науки й техніки нерідко виникають ситуації, коли результат кожного з багатьох проведених дослідів заздалегідь вгадати неможливо, проте можна досліджувати закономірності, які виникають під час проведення серії дослідів. Не можна, приміром, точно сказати, яка сторона монети буде зверху при даному підкиданні: герб або цифра. Але при великій кількості підкидань кількість випадків, коли випаде герб, наближається до половини кількості підкидань. Не можна заздалегідь передбачити результат одного пострілу з даної гвинтівки по даній мішені, але при великій кількості пострілів частота влучення наближається до деякого постійного числа. Дослідження ймовірнісних закономірностей масових однорідних явищ є предметом теорії ймовірностей.

• В апостеріорному (частному) визначенні ймовірність не є чимсь об'єктивним, істотним до досвіду, а з'являється тільки у зв'язку із проведенням досвіду. Це приводить до змішування теоретичних і вибіркових характеристик. • Виклад теорії ймовірності на старій мові є анахронізмом і приводить до парадоксів, наприклад парадоксу Мизеса. • Альтернативою викладеного підходу є сучасне визначення ТВ, засноване не теоремі множин і теоремі міри.

випадкова подія • • • Основним інтуїтивним поняттям класичної теорії ймовірностей є випадкова подія. Під дослідом (випробуванням, експериментом) розуміють деяку відтворену сукупність умов, при якій спостерігається деяке явище (фіксується той чи інший результат). Для кожного випробування можна вказати деяку систему можливих наслідків, яка має таку властивість, що внаслідок випробування має здійснитися один і тільки один результат. Наслідки, які входять у таку систему, пов'язану з даним випробуванням, називаються елементарними подіями (наслідками). Тобто елементарна подія – найпростіший, неподільний результат випробування. Випадковою подією називають подію, яка при здійсненні певної сукупності умов може або відбутися, або ні. Зазвичай слово «випадкова» опускається, передбачаючи, що всі події випадкові. Достовірною подією називають подію, яка завжди відбувається під час проведення досліду. Неможлива подія – подія, яка внаслідок досліду відбутися не може. Події називаються рівноможливими, якщо є підстави вважати, що жодна з них не є більш можливою, ніж інші. Події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу інших у тому самому випробуванні.

Стохастичний експеримент

Алгебра подій

• Випробування – стрільба по мішені. Внаслідок цього досліду можна виділити такі несумісні події: влучення або промах. • Події утворюють повну групу, якщо внаслідок випробування з'являється хоча б одна з них. • В подальшому нас особливо цікавитиме повна група попарно несумісних подій (подій які одночасно не відбудуться).

Закони (продовження)

Границі послідовностей

Потужність (кількість єлементів) є те загальне, що є в еквівалентних множин. Дві множини А и В називаються еквівалентними (А~В), якщо між їхніми елементами можна встановити взаємно однозначна відповідність. Множина, еквівалентне (рівнопотужні) множині натуральних чисел N, називається рахунковим. Множина, еквівалентна відрізку натурального ряду, називається кінцевим. Множина, що не є кінцевим, називається незліченним (наприклад, множина всіх дійсних чисел). - потужність континуума. Класом множин називається множина, елементами яких є якінебудь множини. Особливо важливі класи, замкнуті щодо теоретикомножинних операцій.

Класом множин • Класом множин називається множина, елементами яких є які-небудь множини. Особливо важливі класи, замкнуті що до теоретико-множинних операцій. • Максимальний клас - буліан

Алгебра множин

σ -алгебра борелевских підмножин

Аксіоми Колмогорова

Повтор аксіом Колмогорова

Аксіоми Колмогорова

Властивості ймовірностей Теорема 1: Імовірність події, протилежного події А, дорівнює: Доказ :

Властивості ймовірностей

Властивості ймовірностей Теорема 4 (узагальнює теор. 3):

Властивості ймовірностей

• Дякую за Увагу

Лекція 2 • • • Умовна ймовірність Формула повної ймовірності Теорема Байєса Повторні незалежні випробування

Умовна ймовірність

Пояснення умовної ймовірності з застосуванням класичного визначення ймовірностей

Властивості

Формула повної ймовірності

формула повної ймовірності.

Доказ

Формули Байєса

Доказ

• Повторні незалежні випробування

Доказ

Контрольні запитання та завдання • • • • 1. Що називають випадковою подією? 2. Яку подію називають достовірною? 3. Яку подію називають неможливою? 4. Які події називають несумісними? Які події називають сумісними? 5. Які дії над подіями ви знаєте? 6. Що таке алгебра подій? 7. Які події називають протилежними? 8. Що називають повною групою подій? 9. Сформулюйте теорему додавання ймовірностей для сумісних подій. 10. Сформулюйте теорему додавання ймовірностей для несумісних подій. 11. Сформулюйте наслідки теореми додавання ймовірностей. 12. Чому дорівнює сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу? 13. Чому дорівнює сума ймовірностей протилежних подій?

Контрольні запитання та завдання • • • 14. Дайте визначення умовної ймовірності. 15. Випишіть формулу для визначення умовної ймовірності. 16. Сформулюйте теорему множення ймовірностей. 17. Які події називають залежними, незалежними? 18. Сформулюйте теорему множення ймовірностей для незалежних подій. 19. Чому дорівнює ймовірність появи хоча б однієї події? 20. Які події називають попарно незалежними? 21. Які події називають незалежними в сукупності? 22. Які події називають незалежними? 23. Які події називають гіпотезами? 24. Запишіть та доведіть формулу повної ймовірності. 25. Запишіть та доведіть формулу Байєса.

• Дякую за Увагу

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ Означення випадкової величини • Оскільки результат експерименту може змінюватися від випадку до випадку, то кількісна ознака, яка в ньому розглядається, взагалі кажучи, є змінною величиною, до того ж випадковою. Отже, випадкова величина – це величина, яка в результаті експерименту з випадковим результатом набуває того чи іншого числового значення.

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ Означення випадкової величини

Означення випадкової величини

Властивості функції розподілу

ДИСКРЕТНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

Дискретні випадкові величини

Неперервні випадкові величини. Щільність розподілу

• Дякую за Увагу