Дисциплина Решение физических задач на компьютере Лекция Случайные

Дисциплина: Решение физических задач на компьютере Лекция «Случайные блуждания и их моделирование на компьютере» кафедра физической электроники к. ф. - мат. наук, доцент Лужков А. А.

Случайные блуждания Существуют две основные формулировки задачи о случайных блужданиях. 1. Математическая – расчет вероятности определенного значения координаты точки путем перебора возможных положений точки в результате пошаговых перемещений, при заданных вероятностях эти перемещения в определенном направлении и на определенное расстояние. 2. Физическая – случайные блуждания частиц в результате беспорядочных столкновений с препятствиями. Это и броуновское движение и различные варианты диффузии: расплывание чернильной капли в жидкости, (диффузия как перенос вещества), распространение запахов по комнате (диффузия молекул в газе), теплопроводность (“диффузия тепла”) в твердом теле. Обе эти задачи тесно связаны между собой и имеют общие статистические закономерности в характере движения частиц. Особенно явно это проявляется при их моделировании методом Монте-Карло.

Классификация типов случайных блужданий Классификация блужданий Зависимость средне квадратичного оклонения от числа шагов Физические приложения Классические Блуждания Диффузия и броуновское Движение частиц Блуждания без самопересечений расчет конфигурации полимерных цепочек Аномальная диффузия Блуждания по фракталу Полеты Леви Блуждания по Системе кластеров Решеточный газ Диффузия в твердом теле по узлам решетки

Основные формулы для классических случайных блужданий n Средне квадратичное смещение n Коэффициент диффузии n Функция распределения

n Плотность вероятности одномерных случайных блужданий ( точки).

Моделирование классических блужданий n Основные принципы моделирования случайных блужданий методом Монте – Карло продемонстрируем на примере классического броуновского движения. Генератор случайных чисел задает случайную величину и направление шага. Запуск программы Статистические свойства броуновского движения проявляются только в большом числе реализаций. Среднее по реализациям – основа обработки результатов в методе Монте – Карло. Средний квадрат смещений – средне арифметическое квадратов смещений для всех реализаций Запуск программы n Диффузия как коллективное блуждания ансамбля частиц на примере. расплывания чернильного пятна Запуск программы

Специальные случаи случайных блужданий n Аномальная диффузия по фракталам.

Связь диффузии с проводимостью на фракталах n θ - критический индекс аномальной диффузии. n ( d = 2 θ = 0. 928 ; d = 3 θ = 1. 47 – для перколяционного кластера). n R(L) ~ (1/G)L 2 -d зависимость сопротивления от размера образца n G = qn. D / k. T - формула Эйнштейна связи диффузии и n n проводимости D(L) = D 0 L - θ - эффективный коэфф. диффузии n ~ LDf-d – плотность фрактала R(L) ~ Lξ - сопротивление фрактального образца размером L , где ξ= 2+ θ - Df Для обычного образца θ=0 Df = d

Случайные блуждания без самопересечений Средний квадрат расст. между концами цепочки n n A определяется структурой мономеров и самим растворителем. Показатель степени ν=3/(d+2) для всех гибких цепочек при d≤ 4 (d– размерность пространства). Для двумерного случая ν = 3/4. Следовательно степенной индекс 2ν>1, а это в свою очередь означает , что блуждания БС уходят дальше нежели классические. При моделировании в Math. CAD на квадратной решетке экспериментально получилось 2ν=1. 49

Относительная доля непересекающихся путей среди всех возможных траекторий блужданий

Полеты Леви n Средне квадратичное отклонение n Для случая d=1 соответствующая картина случайных блужданий имеет вид

n Функции распределения одного шага для полетов Леви (сплошная кривая) и нормальное распределение Гаусса (точки)