Диофантовы уравнения первой степени с двумя неизвестными Исполнитель

Диофантовы уравнения первой степени с двумя неизвестными Исполнитель: студент 4 курса стационара факультета математики, информатики и физики отделение математики Русанов А. Г. Научный руководитель: ст. преп.

§ § Цель исследования: изучение методов решения линейных диофантовых уравнений первой степени с двумя неизвестными. Задачи исследования: изложить историческую справку о возникновении и развитии теории неопределенных уравнений; рассмотреть числовые сравнения и их свойства; линейные сравнения с одним неизвестным и методы их решения; изложить методы решения диофантовых уравнений первой степени с n неизвестными, n ≥ 2; выполнить упражнения, относящиеся к теме исследования.

Диофант и история диофантовых уравнений Диофант Александрийский.

Диофант и история диофантовых уравнений Путник. Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. Часть шестую его представляло прекрасное детство. Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Прошло пятилетие; он был осчастливлен рождением первенца сына. Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши четыре года с тех пор, как сына лишился. Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант.

Диофант и история диофантовых уравнений Пусть х – количество лет, прожитых Диофантом, тогда х/6 лет – он прожил ребенком, а х/12 лет – он прожил до появления пуха на его подбородке, х/7 лет – Диофант провел в бездетном браке, спустя 5 лет у него родился сын, который прожил х/2 лет. Отец пережил сына на 4 года. Уравнение: х = х/6+х/12+х/7+5+х/2+4.

Диофант и история диофантовых уравнений До нас дошло 6 книг Диофанта из 13, которые были объединены в «Арифметику» . «Арифметика» представляла собой сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением.

Диофант и история диофантовых уравнений Леонард Эйлер

Диофант и история диофантовых уравнений Лагранж

Диофант и история диофантовых уравнений Карл Фридрих Гаусс

Диофантовы уравнения 1 -й степени и методы их решения Определение. Линейным диофантовым уравнением с n неизвестными называется уравнение вида , где , , . Определение. Решением линейного диофантового уравнения называется упорядоченная последовательность целых чисел такая, что. ,

Число решений ЛДУ Теорема 1. При взаимно простых коэффициентах , диофантово уравнение , имеет решение в целых числах. Теорема 2. Пусть d - наибольший общий делитель коэффициентов. Диофантово уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда d |b. Число решений такого уравнения равно нулю, либо бесконечности.

Нахождение решений ЛДУ с двумя неизвестными.

Нахождение решений ЛДУ Если , и: 1) c не делится на d решений нет ТО 2) c делится на d целочисленные решения есть

Нахождение решений ЛДУ , , , с≠ 0. Решениями ЛОДУ являются пары вида , где. Если - частное решение ЛНДУ, а - общее решение соответствующего ЛОДУ, то общее решение ЛНДУ определяется формулами: , .

Нахождение частного решения ЛДУ Метод 1. Частные решения в некоторых случаях можно подобрать, учитывая, что. Метод 2. Если это не удается, то свести ЛДУ к линейному сравнению относительно любого из неизвестных: , – частное решение сравнения – первая компонента пары, - вторая компонента пары.

Нахождение частного решения ЛДУ Метод 3. Теорема. Если числа а и b — целые, то множество значений функции f(x; y) = ax + by от двух целочисленных аргументов х и у совпадает с множеством чисел, кратных d = НОД(а; b), то есть с множеством: {. . . , -2 d, -d, 0, d, 2 d, . . . }.

Нахождение частного решения ЛДУ Метод 4. С помощью аппарата цепных дробей: , , где - предпоследняя подходящая дробь разложения в цепную дробь.

Нахождение решений произвольного ЛДУ, n>2

Практическая часть Пример. Решить уравнение методом сведения к линейному сравнению. Решение. Решим сравнение , (3, 7)= 1. Применяя метод преобразования коэффициен-тов, получаем: , , т. е. , . ; Получили общее решение: , где. (*) Ответ. Общее решение уранения находится по формулам (*).

Практическая часть Пример. С помощью цепных дробей найти все целые решения уравнения: . Решение. (2, 5) = 1, следовательно, уравнение имеет решение в целых числах. Разложим в цепную дробь 2/5 получим: 2/5 =(0, 2, 2). Составим все подходящие дроби: , , . На основании свойства подходящих дробей получим , или. Умножив обе части равенства на (-7) получаем: , , - частное решение. Все решения могут быть найдены по формулам: или , . Ответ. , .

Практическая часть Задача. В населенный пункт, с которым установлено лишь авиационное сообщение, требуется доставить 150 контейнеров груза. В распоряжении отправителей имеются транспортные самолеты грузоподъемностью соответственно в 8 и 13 контейнеров. Сколько понадобится самолетов того и другого типа для того, чтобы перевезти указанный груз одним рейсом? Грузоподъемность каждого самолета должна быть использована полностью.

Решение. Практическая часть Пусть х, у - количество транспортных самолетов грузоподъемностью соответственно 8 и 13 контейнеров. По условию, в населенный пункт требуется доставить 150 контейнеров груза. Тогда 8 x+13 y=150 (1). Составлено диофантово уравнение первой степени с двумя неизвестными. Решим его, перейдя к сравнению 8 x≡ 150(mod 13) (2). Т. к. (4, 13) =1, то 4 x≡ 75(mod 13), 4 x≡ 75 -13*7(mod 13), x≡-4(mod 13) или x≡ 9(mod 13). , . Ответ. Понадобится 9 и 6 самолетов одного и другого типов, чтобы доставить 150 контейнеров