Динамика вязкой жидкости Уравнения движения вязкой жидкости

Динамика вязкой жидкости

Уравнения движения вязкой жидкости в напряжениях pnd. S d. V ускорение жидкой частицы единичного объема ρFd. V массовая сила на частицу единичного объема напряжение поверхностных сил – вектор силы на единицу площади поверхности, окружающей объем d. V

По теореме Гаусса- Остроградского Дифференциальная форма уравнения движения вязкой жидкости в напряжениях

По повторяющимся индексам - суммирование Поcле подстановки выражений для вязких напряжений получим (учитывая, что divu=0) кинематическая вязкость жидкости Уравнение Навье-Стокса

Диссипация энергии в вязкой жидкости Уравнение Навье –Стокса с потенциальными силами Стационарное течение жидкости u Умножаем скалярно на элемент линии тока, dr // u

Работа сил вязкости Удельная механическая энергия единицы массы Т. о. изменение механической энергии жидкости вдоль линий тока равно работе вязких сил d. A, т. е. диссипируемой энергии

Граничные условия Кинематические граничные условия. 1). на неподвижных стенках, ограничивающих жидкий объем, полная скорость равна нулю , т. е. u n=0 u =0 2). на подвижных стенках, скорость жидких частиц на стенке должна быть равна скорости точек поверхности (стенки). Динамические граничные условия. 1). на неподвижной стенке касательные напряжения в жидкости равно по величине касательным напряжениям на стенке. 2). на свободной поверхности жидкости нормальное давление должно быть равно давлению внешней среды.

Простейшие примеры течений вязкой жидкости I. Движение жидкости между движущимися плоскостями y u 0 h Течение стационарно, одномерно и зависит только от y ux=u(y, t) x 0 Проекция уравнения Навье -Стокса на ось х Проекция уравнения Навье-Стокса на ось y Уравнение непрерывности удовлетворяется тождественно ( проверить)

I. Движение жидкости между движущимися плоскостями (продолжение) Решение: Граничные условия: Распределение скоростей между u=u 0 при y=h a=u 0 /h пластинами линейно u=0 при y=0 b=0 Сила трения, действующая на пластины y u 0 - yx Суммарная сила на жидкость =0

II. Движение жидкости между неподвижными плоскостями Жидкость течет за счет силы - y градиента давления dp/dx h Течение стационарно и одномерно, т. е. uy =0 ux=u(y, t) x 0 Уравнение Навье Стокса на ось y : p=p(x) Уравнение Навье Стокса на ось x : Левая часть ур. зависит только от y, а правая – Это выполняется только если dp/dx= const ! только от x

II. Движение жидкости между неподвижными плоскостями (продолжение) Граничные условия: u x=0 при y=0, y=h b=0 Решение с учетом гран. условий Течение имеет параболический профиль Средняя скорость Сила, действующая на плоскость Сила, действующая на плоскости не зависит от вязкости !?

III. Течение вязкой жидкости по трубе p Течение направлено и однородно z вдоль трубы – оси x u зависит лишь x от радиуса. 2 R u x = u (r) y Проекция уравнения Н-С на ось y P не зависит от y P не зависит от z Проекция уравнения Н-С на ось x dp/dx=const=- p/l

III а. Течение вязкой жидкости по трубе кругового сечения В полярных координатах: r, θ, x Решение Скорость конечна во всем сечении трубы, поэтому a=0 Гран. Условие при r=R : ux=0 Расход жидкости – масса жидкости, протекающая в единицу времени через сечение трубы Формула Пуазейля

III б. Течение вязкой жидкости по трубе эллиптического сечения Труба эллиптического сечения z y Общее решение Решение должно удовлетворять гран. условию: u=0 на эллипсе, т. е. При b или a переходим к случаю 2 -х // плоскостей

Предельный переход от трубы эллиптического сечения к параллельным плоскостям (b>>a) y y’ h h/2 ux=u(y, t) 0 Было решение для двух плоскостей