Динамика вращательного движения

Динамика вращательного движения

Различают два основных вида вращательного движения твердого тела: 1. вращение вокруг неподвижной точки О, при котором все точки тела движутся по поверхностям концентрических сфер с центром в точке О; 2. вращение вокруг неподвижной оси , при котором все точки тела вращаются по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, являющейся осью вращения .

o Динамические характеристики поступательного движения: 1. Сила 2. Импульс 3. Масса F p m o Динамические характеристики вращательного движения: 1. Момент 2. Момент 3. Момент силы импульса инерции M L J F M p L m J

Момент силы - мера воздействия на вращающееся тело. Момент силы М относительно неподвижной точки О равен векторному произведению: Направление M совпадает с направлением поступательного движения правого винта при вращении его головки от R к F .

Модуль момента силы равен: М = R. Fsinα M Наименьшее расстояние от точки О до линии действия силы называется плечом силы l относительно точки вращения. O l= R. sinα R M = F. l α R F Единица момента силы в СИ - Hьютон-метр (Н. м).

Z Mz Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина Mz , равная O проекции на эту ось вектора момента силы M, относительно r произвольной точки О на данной α оси Z. Значение Mz не зависит от F выбора положения точки О на оси Z.

Момент импульса o Момент импульса – количественная мера механического движения при вращении тела. Момент импульса L относительно неподвижного центра вращения равен векторному произведению радиуса-вектора на импульс: L = [ R, mυ ] = [ R, p] Модуль момента импульса равен: L= R. m υ. sinα Единица момента импульса в СИ – кг. м 2/с

Z Моментом импульса L Lz относительно неподвижной оси Z называют проекцию O Lz на эту ось момента R импульса относительно точки O, произвольно υ выбранной на этой оси.

Момент инерции J – мера инертности вращающегося тела. o Для материальной точки: J = mr 2 o Для системы материальных точек: J = ∑mi ri 2 o Для любого тела: J = ∫ r 2 dm

Моменты инерции некоторых тел o Момент инерции однородного обруча Δm J= , i RR R При R 1 ≈ R 2 o Моменты инерции стержня относительно осей, перпендикулярных стержню и проходящих через центр масс С и через один из концов стержня А: А С ℓ 2

o Момент инерции диска: r J= mr 2 o Теорема Штейнера: Момент инерции тела J относительно произвольной оси L, L 0 не проходящей через центр масс тела, O равен моменту инерции J 0 относительно l оси L 0, параллельной данной и проходящей через центр масс тела O, сложенному с произведением массы тела m на квадрат расстояния l между осями. J = Jo + ml 2

Основное уравнение динамики вращательного движения Cкорость изменения вектора момента импульса тела относительно неподвижного центра вращения равна действующему на тело результирующему вектору момента внешних сил, относительно того же центра: М= L = Jω (сравни: р = mυ ), следовательно: М=

o При вращении вокруг неподвижной оси: Мz = o Для системы тел, вращающихся вокруг неподвижного центра:

Закон сохранения момента импульса o Если М = 0 (система замкнута): =0 o В замкнутой системе суммарный момент импульса есть величина постоянная

Работа при вращении твердого тела. Кинетическая энергия вращающегося тела o Если под действием внешней силы Fτ тело поворачивается на угол dφ, то элементарная работа этой силы o Полная работа при повороте на угол φ o Кинетическая энергия вращающегося тела вычисляется по формуле o Работа равна изменению кинетической энергии: А = ∆Wк =

Кинетическая энергия тела катящегося без проскальзывания o Кинетическая энергия катящегося тела o где т — масса катящегося тела; — скорость центра масс тела; o - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; o - угловая скорость тела.