ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ЛЕКЦИЯ 8 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ЛЕКЦИЯ 8: ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ. СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА

1. Уравнения Пуассона неподвижная система координат (ПСС), жестко связанная с телом центр тяжести единичный вектор верт. оси OZ в ПСС Выражение компонент орта через углы Эйлера Уравнения Пуассона

2. Динамические уравнения Эйлера при наличии силы тяжести Динамические уравнения Эйлера в общем случае Динамические уравнения Эйлера для движения тяжелого твердого тела

3. Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки Замкнутая система уравнений для нахождения После нахождения зависимости находятся из условий а оставшийся угол Эйлера из одного из кинематических уравнений Эйлера

4. Первые интегралы системы 1) 2) Теорема об изменении кинетического момента Реакция опоры и сила тяжести не создают момента относительно оси OZ 3) Сохранение энергии Из общей теории множителя Якоби известно, что для того, чтобы интегрирование исходной системы можно было свести к квадратурам при любых начальных условиях, нужно найти еще один независимый от них интеграл.

5. Известные случаи интегрируемости А) Случай Эйлера: тело произвольно, но его центр тяжести находится в неподвижной точке О дополнительный интеграл В) Случай Лагранжа: эллипсоид инерции тела для неподвижной точки является эллипсоидом вращения, а центр тяжести находится на оси вращения дополнительный интеграл С) Случай Ковалевской: эллипсоид инерции для точки О является эллипсоидом вращения вокруг оси Oz, момент инерции относительно этой оси вдвое меньше двух других, а центр тяжести тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции дополнительный интеграл

6. Вывод уравнения для угла нутации в случае Лагранжа (1) (2) (4) (3) (4) (2) (1) (3)

7. Качественный анализ движения ТТ в случае Лагранжа Z апекс Движение апекса А по сфере изображает движение оси , т. е. прецессию и нутацию ось динамической симметрии Сферическое представление движения тела

8. Быстро вращающееся тело: псевдорегулярная прецессия Начальные условия размерности Аргументами должны являться безразмерные комплексы, а не размерные параметры, иначе ответ будет зависеть от единиц измерения Быстро вращающееся тело – большие – малые значения параметра случай Эйлера вращения симметричного тела (регулярная прецессия) Раскладывая в ряд Тейлора Когда велика, изменение угла нутации настолько мало, что прецессия кажется регулярной. Такая нерегулярная прецессия, мало отличающаяся от регулярной, называется псевдорегулярной прецессией. точный результат

9. О пользе анализа размерностей Доказательство теоремы Пифагора Треугольник, а, значит, и его площадь, полностью определяется величинами и размерности