Динамика материальной точки Применение второго закона Ньютона

А 1. Молекула массой m = 4, 65 10 -26 кг, летящая со скоростью = 600 м/c, ударяется о стенку сосуда под углом = 600 к нормали и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Найти импульс силы , полученный стенкой за время удара. Дано: u= 600 м/c Решение Используем второй закон Ньютона m=4, 65 10 -26 кг =600 FDt- ? Импульсом силы называется величина Найдём приращение импульса В проекциях на оси координат

А 1. Молекула массой m = 4, 65 10 -26 кг, летящая со скоростью = 600 м/c, ударяется о стенку сосуда под углом = 600 к нормали и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Найти импульс силы , полученный стенкой за время удара. Решение (продолжение) Знак «-» у проекции на ось OX и равенство нулю проекции на ось OY означает, что приращение импульса и сила, действующая на молекулу, направлена «от стенки» (см. рис. ). В то же время, сила, действующая на стенку со стороны молекулы, направлена в противоположную сторону. Ответ:

А 2. Шарик массы m = 0, 1 кг, падая с некоторой высоты, ударяется о закреплённую наклонную плоскость и упруго отскакивает от неё. без потери скорости. Угол наклона плоскости к горизонту α = 30. За время удара шарик получает приращение импульса, модуль которого равен Δp = 1, 73 кг·м/с. Какое время t пройдёт от момента удара шарика о плоскость до момента, когда он будет находиться в наивысшей точке траектории? Дано: m = 0, 1 кг Δp = 1, 73 кг·м/с = 300 t- ? Решение После удара о плоскость шарик движется в поле сил тяжести, его движение равномерное вдоль оси OX и равноускоренное с ускорением g вдоль оси OY. Кинематические уравнения движения: В верхней точке траектории проекция скорости на ось OY равна нулю.

А 2. Шарик массы m = 0, 1 кг, падая с некоторой высоты, ударяется о закреплённую наклонную плоскость и упруго отскакивает от неё. без потери скорости. Угол наклона плоскости к горизонту α = 30. За время удара шарик получает приращение импульса, модуль которого равен Δp = 1, 73 кг·м/с. Какое время t пройдёт от момента удара шарика о плоскость до момента, когда он будет находиться в наивысшей точке траектории? Решение (продолжение) время подъёма на максимальную высоту. Удар упругий, следовательно, угол падения равен углу отражения и поэтому Отсюда

А 2. Шарик массы m = 0, 1 кг, падая с некоторой высоты, ударяется о закреплённую наклонную плоскость и упруго отскакивает от неё. без потери скорости. Угол наклона плоскости к горизонту α = 30. За время удара шарик получает приращение импульса, модуль которого равен Δp = 1, 73 кг·м/с. Какое время t пройдёт от момента удара шарика о плоскость до момента, когда он будет находиться в наивысшей точке траектории? Решение (продолжение) Скорость V 0 найдём, рассмотрев удар шара о плоскость. Удар абсолютно упругий, поэтому модуль скорости остаётся неизменным. Отсюда

А 2. Шарик массы m = 0, 1 кг, падая с некоторой высоты, ударяется о закреплённую наклонную плоскость и упруго отскакивает от неё. без потери скорости. Угол наклона плоскости к горизонту α = 30. За время удара шарик получает приращение импульса, модуль которого равен Δp = 1, 73 кг·м/с. Какое время t пройдёт от момента удара шарика о плоскость до момента, когда он будет находиться в наивысшей точке траектории? Решение (продолжение) Подставим полученное выражение для скорости в формулу для времени подъёма на максимальную высоту. Ответ: 0, 5 с.

А 3. Невесомый блок укреплен в вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы = 300 и = 450. Гири 1 и 2 одинаковой массы m 1 = m 2 = 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением гирь 1 и 2 о наклонные плоскости, а также трением в блоке пренебречь Дано: = 30◦ = 45◦ m 1 = m 2 = 1 кг T-? Решение Если массой блока можно пренебречь, то ускорение можно найти из второго закона Ньютона. Для тела 1: Предположим, что система движется справа налево на рисунке. Перепишем это уравнение в проекциях на оси (см. рис. ) : Трения нет, поэтому ускорение первого тела определяется только проекциями сил на ось OX.

А 3. Невесомый блок укреплен в вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы = 300 и = 450. Гири 1 и 2 одинаковой массы m 1 = m 2 = 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением гирь 1 и 2 о наклонные плоскости, а также трением в блоке пренебречь Решение (продолжение) Уравнение второго закона Ньютона для тела 2: Это же уравнение в проекциях на оси: Трения нет, поэтому ускорение первого тела определяется только проекциями сил на ось OX. Тела связаны нерастяжимой нитью, поэтому Обозначим

А 3. Невесомый блок укреплен в вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы = 300 и = 450. Гири 1 и 2 одинаковой массы m 1 = m 2 = 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением гирь 1 и 2 о наклонные плоскости, а также трением в блоке пренебречь Решение (продолжение) Если массой блока можно пренебречь, то согласно третьему закону Ньютона Обозначим Подставим введённые обозначение в (1) и (2): Сложим первое и второе уравнения:

А 3. Невесомый блок укреплен в вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы = 300 и = 450. Гири 1 и 2 одинаковой массы m 1 = m 2 = 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением гирь 1 и 2 о наклонные плоскости, а также трением в блоке пренебречь Решение (продолжение) Подставим полученное выражение для ускорения в первое уравнение системы:

А 3. Невесомый блок укреплен в вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы = 300 и = 450. Гири 1 и 2 одинаковой массы m 1 = m 2 = 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением гирь 1 и 2 о наклонные плоскости, а также трением в блоке пренебречь Решение (продолжение) Выполним вычисления:

А 6. По наклонной плоскости с углом наклона движется тело массой m 2 , связанное нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, с телом массы m 1 (m 1 > m 2). Коэффициент трения между грузом массы m 2 и наклонной плоскостью μ. Найти силу, действующую на ось блока со стороны плоскости. Массами блока и нити пренебречь. Трением в блоке пренебречь. Дано: m 1 m 2 μ Решение Если массой блока можно пренебречь, то ускорение и силу натяжения можно найти, рассматривая лишь поступательное движение грузов. Из второго закона Ньютона для тела 1: F-? Это же уравнение в проекции на ось OY 1: Второй закон Ньютона для тела 2: В проекциях на оси OX 2 , OY 2:

А 6. По наклонной плоскости с углом наклона движется тело массой m 2 , связанное нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, с телом массы m 1 (m 1 > m 2). Коэффициент трения между грузом массы m 2 и наклонной плоскостью μ. Найти силу, действующую на ось блока со стороны плоскости. Массами блока и нити пренебречь. Трением в блоке пренебречь. Решение (продолжение) Величина силы трения скольжения равна Из второго уравнения системы: Тогда первое уравнение системы принимает вид:

А 6. По наклонной плоскости с углом наклона движется тело массой m 2 , связанное нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, с телом массы m 1 (m 1 > m 2). Коэффициент трения между грузом массы m 2 и наклонной плоскостью μ. Найти силу, действующую на ось блока со стороны плоскости. Массами блока и нити пренебречь. Трением в блоке пренебречь. Решение (продолжение) Тела связаны нерастяжимой нитью, поэтому Обозначим Если массой блока можно пренебречь, то согласно третьему закону Ньютона Обозначим Подставим введённые обозначение в (1) и (2) и запишем систему уравнений:

А 6. По наклонной плоскости с углом наклона движется тело массой m 2 , связанное нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, с телом массы m 1 (m 1 > m 2). Коэффициент трения между грузом массы m 2 и наклонной плоскостью μ. Найти силу, действующую на ось блока со стороны плоскости. Массами блока и нити пренебречь. Трением в блоке пренебречь. Решение (продолжение) Из этой системы уравнений найдём силу натяжения. Разделим первое уравнение на второе:

А 6. По наклонной плоскости с углом наклона движется тело массой m 2 , связанное нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, с телом массы m 1 (m 1 > m 2). Коэффициент трения между грузом массы m 2 и наклонной плоскостью μ. Найти силу, действующую на ось блока со стороны плоскости. Массами блока и нити пренебречь. Трением в блоке пренебречь. Решение (продолжение) Силы, приложенные к блоку, показаны на рисунке. Блок покоится, поэтому N 0 – сила, действующая на ось блока со стороны плоскости. Сумму векторов найдём по теореме косинусов из DABC – равнобедренный (AB = BC, T 1 = T 2 = T)

А 6. По наклонной плоскости с углом наклона движется тело массой m 2 , связанное нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, с телом массы m 1 (m 1 > m 2). Коэффициент трения между грузом массы m 2 и наклонной плоскостью μ. Найти силу, действующую на ось блока со стороны плоскости. Массами блока и нити пренебречь. Трением в блоке пренебречь. Решение (продолжение) Ответ:

А 5 а. На рельсах стоит платформа массой m 1=10 т. На платформе закреплено орудие массой m 2=5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m 3=100 кг; его начальная скорость относительно орудия 0=500 м/с. Найти скорость u 1 платформы в первый момент после выстрела, если платформа стояла неподвижно. Решение Дано: Согласно закону сохранения импульса, m 1=10 т записанному в лабораторной системе m 2=5 т отсчёта m 3=100 кг 0=500 м/с - скорость платформы после выстрела, u 1 - ? - скорость снаряда после выстрела в лабораторной системе отсчёта. В лабораторной системе отсчёта в проекциях на ось OX В лабораторной системе отсчёта скорость снаряда

А 5 а. На рельсах стоит платформа массой m 1=10 т. На платформе закреплено орудие массой m 2=5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m 3=100 кг; его начальная скорость относительно орудия 0=500 м/с. Найти скорость u 1 платформы в первый момент после выстрела, если платформа стояла неподвижно. Решение (продолжение) Откуда проекция скорости платформы после выстрела Скорость платформы после выстрела направлена против оси OX (влево на рисунке). Ответ:

А 5 б. На рельсах стоит платформа массой m 1=10 т. На платформе закреплено орудие массой m 2=5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m 3=100 кг; его начальная скорость относительно орудия 0=500 м/с. Найти скорость u 1 платформы в первый момент после выстрела, если платформа двигалась со скоростью =18 км/ч и выстрел был произведен в направлении ее движения. Решение Дано: m 1=10 т Согласно закону сохранения импульса, m 2=5 т записанному в лабораторной системе m 3=100 кг отсчёта =18 км/ч 0=500 м/с - скорость платформы после выстрела, u 1 - ? - скорость снаряда после выстрела в лабораторной системе отсчёта. В лабораторной системе отсчёта в проекциях на ось OX В лабораторной системе отсчёта скорость снаряда

А 5 б. На рельсах стоит платформа массой m 1=10 т. На платформе закреплено орудие массой m 2=5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m 3=100 кг; его начальная скорость относительно орудия 0=500 м/с. Найти скорость u 1 платформы в первый момент после выстрела, если платформа двигалась со скоростью =18 км/ч и выстрел был произведен в направлении ее движения. Решение (продолжение) Откуда проекция скорости платформы после выстрела Проекции скоростей на ось OX : Ответ:

А 5 в. На рельсах стоит платформа массой m 1=10 т. На платформе закреплено орудие массой m 2=5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m 3=100 кг; его начальная скорость относительно орудия 0=500 м/с. Найти скорость u 1 платформы в первый момент после выстрела, если платформа двигалась со скоростью =18 км/ч и выстрел был произведен в направлении, противоположном направлению ее движения. Решение Дано: m 1=10 т Согласно закону сохранения импульса, m 2=5 т записанному в лабораторной системе m 3=100 кг отсчёта =18 км/ч 0=500 м/с - скорость платформы после выстрела, u 1 - ? - скорость снаряда после выстрела в лабораторной системе отсчёта. В лабораторной системе отсчёта в проекциях на ось OX В лабораторной системе отсчёта скорость снаряда

А 5 в. На рельсах стоит платформа массой m 1=10 т. На платформе закреплено орудие массой m 2=5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m 3=100 кг; его начальная скорость относительно орудия 0=500 м/с. Найти скорость u 1 платформы в первый момент после выстрела, если платформа двигалась со скоростью =18 км/ч и выстрел был произведен в направлении, противоположном направлению ее движения. Решение (продолжение) Откуда проекция скорости платформы после выстрела Проекции скоростей на ось OX : Скорость платформы после выстрела направлена против оси OX (влево на рисунке). Ответ:

А 6. Граната, летевшая со скоростью v = 10 м/с, разорвалась на два осколка. Большой осколок, масса которого составила 0, 6 массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью u 1 = 25 м/с. Найти скорость u 2 малого осколка гранаты. Решение Дано: m 1= 0, 6 т Согласно закону сохранения импульса m 2=0, 4 т v = 10 м/с Выберем ось OX направленной вдоль u 1 = 25 м/с первоначального направления движения гранаты. u 2 - ? В проекциях на оси координат закон сохранения импульса имеет вид: В выбранной нами системе отсчёта по условию задачи Из последнего уравнения следует, что Это означает, что оба осколка после взрыва движутся вдоль оси OX, хотя, возможно, и в разных направлениях. Из уравнения для проекций импульсов на ось OX

А 6. Граната, летевшая со скоростью v = 10 м/с, разорвалась на два осколка. Большой осколок, масса которого составила 0, 6 массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью u 1 = 25 м/с. Найти скорость u 2 малого осколка гранаты. Решение (продолжение) В выбранной нами системе отсчёта Это означает, что меньший осколок полетит в направлении, противоположном первоначальному направлению движения гранаты. Ответ:

А 7. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти массу m камня, если известно, что разность между максимальной и минимальной силами натяжения веревки T=10 Н. Решение Дано: T=10 Н m -? Камень движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Это ускоренное движение с ускорением которое перпендикулярно вектору скорости. v – величина скорости, R – радиус окружности. В верхней точке окружности согласно второму закону Ньютона В проекции на вертикальную ось OY (см. рисунок)

А 7. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти массу m камня, если известно, что разность между максимальной и минимальной силами натяжения веревки T=10 Н. Решение (продолжение) В нижней точке окружности согласно второму закону Ньютона В проекции на вертикальную ось OY (см. рисунок) Величина an зависит только от скорости и радиуса, а их величины по условию постоянны, поэтому Из уравнений (1) и (2) выразим величины сил натяжения и учтём, что величина нормального ускорения постоянна:

А 7. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти массу m камня, если известно, что разность между максимальной и минимальной силами натяжения веревки T=10 Н. Решение (продолжение) Отсюда масса камня Ответ: m = 0, 5 кг.

А 8. Гирька, привязанная к нерастяжимой нити длиной l = 30 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом R = 15 см. С какой частотой вращается гирька? Решение Дано: l = 30 см R = 15 см -? Согласно второму закону Ньютона Гирька движется по окружности, Перепишем второй закон Ньютона в виде проекций на оси координат (см. рисунок).

А 8. Гирька, привязанная к нерастяжимой нити длиной l=30 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом R=15 см. С какой частотой вращается гирька? Решение (продолжение) tgα найдём из треугольника AOB. Ответ: m = 0, 98 Гц.

А 9. Самолет, летящий со скоростью = 900 км/ч, делает “мертвую петлю”. Каким должен быть ее радиус R, чтобы наибольшая сила F, прижимающая летчика к сидению, была равна: а) пятикратной силе тяжести, действующей на летчика; б) десятикратной силе тяжести, действующей на летчика? Дано: = 900 км/ч а) F= 5 mg б) F = 10 mg R -? Решение Согласно третьему закону Ньютона «прижимающая» сила F равна по величине силе реакции N. В нижней точке «мёртвой петли» согласно второму закону Ньютона В проекции на вертикальную ось OY (см. рисунок) Отсюда

А 9. Самолет, летящий со скоростью = 900 км/ч, делает “мертвую петлю”. Каким должен быть ее радиус R, чтобы наибольшая сила F, прижимающая летчика к сидению, была равна: а) пятикратной силе тяжести, действующей на летчика; б) десятикратной силе тяжести, действующей на летчика? Решение (продолжение) По условию задачи n = 5, или n = 10.

A 10. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите в плоскости экватора с запада на восток. На какой высоте h от поверхности Земли должен находиться этот спутник, чтобы он был неподвижен по отношению к наблюдателю, находящемуся на поверхности Земли у экватора? Решение Дано: m = 6· 1024 кг На спутник действует сила R = 6380 км тяжести, которая второму закону T = 24 ч Ньютона создаёт нормальное (центростремительное) ускорение. h-? Если ось OY направить по направлению ускорения (см. рисунок), то где m – масса спутника, M – масса Земли, r – радиус орбиты. где R – радиус Земли, r – радиус орбиты, h – высота.

A 10. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите в плоскости экватора с запада на восток. На какой высоте h от поверхности Земли должен находиться этот спутник, чтобы он был неподвижен по отношению к наблюдателю, находящемуся на поверхности Земли у экватора? Решение (продолжение)