Динамика материальной точки КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ 1

Динамика материальной точки КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ 1

Динамика - раздел механики, изучающий влияние взаимодействий между телами на их механическое движение Динамические уравнения движения – это второй закон Ньютона, записанный для данного тела. Эти уравнения можно записать в векторном виде и в проекциях на оси координат. Составление и решение таких уравнений – главная задача динамики Инерциальная система отсчета - система отсчета, в которой тело находится в покое или движется равномерно и прямолинейно до тех пор, пока на него не действуют другие тела или это действие скомпенсировано. Смысл первого закона Ньютона состоит в утверждении существования таких систем отсчет. Неинерциальная система отсчета - система отсчета, в которой не выполняется первый закон Ньютона. Неинерциальная система отсчета движется с ускорением относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Важным классом неинерциальных систем являются вращающиеся системы отсчета 2

Исаак НЬЮТОН (Isaac Newton) , (1642– 1727) английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики и высшей математики - дифференциального и интегрального исчисления 3

ДЕТАЛИ БИОГРАФИИ 25 декабря 1642 г. (4 января 1643 г. по новому стилю) - родился в деревне Вулсторп (графство Линкольншир, Англия) в семье фермера. Отец умер незадолго до его рождения. В 12 лет начал учиться в Грантемской школе, в 1661 г. поступил в колледж св. Троицы (Тринити-колледж) Кембриджского университета. Его учителем был известный математик Исаак Барроу. 1665 г. – окончание Кембриджского университета , получил учёную степень бакалавра 1665 -1667 гг. - эпидемии чумы в Англии. Ньютон уехал в свой родной Вулсторп. Сформировал идеи, которые привели его к созданию дифференциального и интегрального исчислений, к изобретению зеркального телескопа (собственноручно изготовленного им в 1668 г. ), открытию закона всемирного тяготения, здесь он провёл и опыты над разложением света 1668 г. - присвоена степень магистра, в 1669 г. Барроу передал ему физикоматематическую кафедру Кембриджского университета , которую Ньютон занимал до 1701 г. 1671 г. - Ньютон построил второй зеркальный телескоп – больших размеров и лучшего качества. Cильное впечатление на современников/ 1672 г. - избран членом Лондонского королевского общества 4 1670– 1680 гг. - активно интересовался алхимией

ДЕТАЛИ БИОГРАФИИ (продолжение) 1687 г. - наконец опубликовал свой грандиозный труд «Математические начала натуральной философии» 1688 г. - избран членом Английского Парламента 1695 г. - Ньютон получил должность смотрителя Монетного двора. Руководство перечеканкой всей английской монеты. Ему удалось привести в порядок расстроенное монетное дело Англии. 1699 г. - пожизненное высокооплачиваемое звание директора Монетного двора. 1703 г. - избран президентом Лондонского королевского общества 1705 г. - за научные труды королева Анна возвела его в рыцарское звание (получил титул «Sir» ) Знаменитые конфликты: Гук , Флемстид, Лейбниц В последние годы жизни Ньютон много времени посвящал теологии, а также античной и библейской истории. 20 марта 1727 г. (31 марта по новому стилю) – умер в г. Кенсингтон (около Лондона) во сне. Похоронен в английском национальном пантеоне – 5 Вестминстерском аббатстве

ВЕЛИКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ВЕЛИКОГО ЧЕЛОВЕКА Ньютон скромно отзывался о своих открытиях, справедливо считая их подготовленными его предшественниками: «Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов» Ньютон понимал, что все созданное им, не есть окончательная истина, что познание бесконечно: «Не знаю, чем я могу казаться миру, но сам себе я кажусь только мальчиком, играющим на морском берегу, развлекающимся тем, что до поры до времени отыскиваю камешек более цветистый, чем обыкновенно, или красивую раковину, в то время как великий океан истины расстилается передо мной неисследованным» Ньютон был человеком здравомыслящим, т. е. верующим в Бога : «Когда я писал свой труд о системе мира, я направлял свое внимание на такие принципы, которые могут вызвать у мыслящего человека веру в Божественное существо, и ничто не доставляет мне такой радости, как видеть себя полезным в этом отношении» Ньютон четко знал место, отведенное Богом натурфилософии (физике) : 6 «Гипотез не измышляю»

Законы Ньютона - три закона, лежащие в основе классической механики. Законы Ньютона не доказываются в математическом смысле, а являются обобщением опыта. Впервые эти законы были сформулированы Ньютоном в знаменитом трактате «Математические начала натуральной философии» (1687). (по латыни «Philosophiae naturalis principia mathematica» ) Первый закон Ньютона (закон инерции) (впервые был открыт Галилеем ) Тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока на него нет внешних воздействий 7

СИЛА Сила - мера механического действия на тело других тел или полей. Сила вызывает изменение скорости тела или его деформацию. В механике различают силы, возникающие при непосредственном контакте тел или на расстоянии посредством создаваемых телами полей. На микроскопическом уровне все силы обусловлены полями. Сила - векторная величина, поэтому в каждый момент времени она характеризуется числовым значением, направлением и точкой приложения. В механике природа сил не рассматривается. Единица силы в СИ – 1 Н (Ньютон)=1 кг·м/с2 8

Масса – мера инертности тела (инертная масса), а также его гравитационных свойств (гравитационная масса). Установлено, что инертная и гравитационная масса совпадают В классической механике масса не зависит от скорости. Инертность - свойство материальных объектов сохранять состояние своего движения или покоя. Мера инертности тела в поступательном движении - масса, а при вращательном движении – момент инерции. Единица массы в СИ – 1 кг Плотность тела: = m/V, m – масса V - объем Единица плотности в CИ: [ ] = 1 кг/м 3 9

Второй закон Ньютона (основной закон динамики) Это физический закон, в соответствии с которым ускорение, приобретаемое материальной точкой в инерциальной системе отсчета, прямо пропорционально действующей на тело (равнодействующей) силе, обратно пропорционально массе тела, и направлено в сторону действия силы В такой форме закон применим только для тел, масса которых при движении не меняется. Более общая (импульсная) формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса тела прямо пропорциональна действующей силе (см. позже) Равнодействующая сила и принцип независимости действия сил Равнодействующая сила – это сила, действие которой эквивалентно действию на тело нескольких сил: равнодействующая сила равна геометрической сумме всех сил системы и приложена к центру масс 10

Третий закон Ньютона: «действие равно противодействию» (И. Ньютон) Силы взаимодействия двух тел - материальных точек равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки 11

СИЛЫ В МЕХАНИКЕ Тяжести (тяготения) Упругости Трения (сопротивления) ВАЖНО: все реальные силы обусловлены взаимодействиями с другими телами или полями В конечном счете все силы обусловлены полями: Тяготение – обусловлено гравитационным полем Упругость, трение – электромагнитным полем 12

Сила тяжести и вес Сила тяжести – это сила, с которой тело притягивается к Земле, m – масса, g – ускорение свободного падения Вес – это сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес. N – нормальная реакция опоры, T – сила натяжения подвеса Сила тяжести приложена к телу (к центру тяжести), а вес – к опоре !!! эта ф-ла справедлива для любого движения (в том числе криволинейного); а – ускорение опоры (подвеса) Перегрузка: коэффицент перегрузки n = a/g Невесомость: P = 0, возможна лишь при движении опоры вниз с a = g 13

Сила упругости k – коэффициент жесткости (жесткость) x = x-x 0 - относительная деформация Закон Гука: x, x 0 – текущая и недеформированная длина x>0 – растяжение x<0 – сжатие Этот закон справедлив лишь при x << x 0 Роберт Гук (англ. Robert Hooke); (1635 1703) — английский естествоиспытатель, учёный-энциклопедист Для однородного стержня длины x 0 и площадью поперечного сечения стержня S E – модуль упругости (модуль Юнга) – характеристика лишь материала тела (табличная величина)

Трение – это явление сопротивления тел их относительному перемещению. Механическая энергия системы, в которой есть трение, может только уменьшаться Коэффициент трения – это отношение силы трения к силе нормальной реакции опоры N (силе нормального давления, которая прижимает трущиеся поверхности друг к другу) 15

Трение внешнее (при контакте двух тел) Трение внутреннее (сопротивление движению в жидкости или газе), иначе вязкое трение Трение покоя Трение скольжения Трение качения 16

Сила трения покоя равна по величине и противоположно направлена той внешней силе, которая стремится вызвать скольжение тела по поверхности другого Сила трения скольжения есть максимально возможная сила трения покоя : Fтр. ск. = (Fтр. покоя)max

Закон Амонтона-Кулона для сухого трения (при контакте поверхностей двух твердых тел) Шарль Огюсте н де Куло н (фр. Гийом Амонтон Charles-Augustin de Coulomb); (1736(фр. Guillaume Amontons); (1663 1806) — французский военный 1705) — французский механик и инженер и физик Сила трения скольжения ( - коэффициент трения скольжения, 18 N – сила нормальной реакции опоры)

Сила тяги – есть сила трения покоя, действующая на ведущие колеса автомобиля при действии на ось колес вращающего момента Сила сопротивления воздуха всегда направлена против мгновенной скорости тела v Fсопр ~ v, при малых скоростях v тела (отн. потока) Fсопр ~ v 2, при больших v Fсопр ~ S , S – площадь поперечного (к скорости) сечения тела зависит от формы тела, "обтекаемости" и гладкости поверхности

Центростремительная сила - сила, которая меняет направление вектора скорости и сообщает материальной точке центростремительное ускорение: F ц. с. = maц. с. ВАЖНО: Центростремительная сила - это не есть какая-то особая сила, а всего лишь проекция равнодействующей всех сил, приложенных к телу, на радиальное направление 20

Закон всемирного тяготения (открыт Ньютоном в 1667 г. ) Cила взаимодействия двух материальных точек прямо пропорциональна массам этих точек, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль прямой соединяющей точки. Массы, фигурирующие в этом законе, называются гравитационными G = 6, 67· 10 -11 Н·м 2/кг 2 – гравитационная постоянная (постоянная закона всемирного тяготения). Впервые определена в 1798 г. английским физиком Кавендишем в поразительном по точности опыте с крутильными весами Ге нри Ка вендиш (англ. Henry Cavendish; (1731 — 1810) — английский физик и химик 21

Задача. Вывести формулу для ускорения свободного падения g от высоты h над Землей. Масса Земли - M, радиус - R Первая космическая скорость Это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, находящемуся у поверхности Земли (или другой планеты), чтобы оно стало его искусственным спутником, т. е. двигалось бы по круговой орбите ( «все время падая, не упало бы» ). Вблизи поверхности Земли первая космическая скорость равна 7. 91 км/с. g 0 – ускорение свободного падения у поверхности планеты, R - радиус планеты Задача. Вывести формулу для первой космической скорости Вторая космическая скорость v. II = 21/2 v. I 11, 2 км/ч – тело становится независимым спутником Солнца Третья космическая скорость v. III 16, 7 км/ч – тело навсегда покидает Солнечную систему 22

Некоторые данные о небесных телах Небесное Радиус, км Масса, кг тело Солнце 6, 95· 105 1, 99· 1030 Плотность, г/см 3 1, 41 Земля 6, 37· 103 5, 98· 1024 5, 52 Луна 1, 74· 103 7, 35· 1022 3, 3 Среднее расстояние от Земли до Луны RЗ-Л = 384401 км

Планеты Солнечной системы Планета Расстояние от Солнца, 106 км Период обращения вокруг Солнца, з. лет Масса, ед. м. З. Меркурий 57, 87 108, 14 0, 241 0, 615 0, 056 0, 817 149, 50 227, 79 777, 8 1426, 1 2867, 7 4494 1, 000 1, 881 11, 862 29, 458 84, 013 164, 79 1, 000 0, 108 318, 35 95, 22 14, 58 17, 26 ~ 0, 002 Венера Земля Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун Плутон

Импульс (количество движения) Импульс тела-материальной точки – это векторная величина = произведению массы на мгновенную скорость В системе СИ единицей импульса является 1 кг·м/с Импульсная формулировка 2 -го закона Ньютона (более общая, годится и для случая, когда масса тела меняется) Импульс силы 25

Законы сохранения - фундаментальные физические законы, согласно которым в замкнутой (изолированной) системе некоторые физические величины не изменяются с течением времени при любых взаимодействиях, происходящих в этой системе. В механике Ньютона законы сохранения выводятся из законов Ньютона, являются их следствием. Законы сохранения очень удобны на практике 26

Закон сохранения импульса (ЗСИ) Рассмотрим систему из N тел-материальных точек Силы – внутренние fij и внешние Fi Внутренние силы fij – это силы, которые действуют между телами системы Внешние силы Fi – это силы, которые действуют на тела данной системы со стороны других (посторонних) тел Импульс системы тел-материальных точек – это векторная сумма импульсов всех тел : Теорема об изменении импульса системы тел-мат. точек: скорость изменения полного импульса системы тел определяется лишь равнодействующей внешних сил Fi и не зависит от внутренних сил 27

Замкнутая (изолированная) система Замкнутая система в механике это совокупность тел, у которых взаимодействия с внешними телами отсутствуют или скомпенсированы, т. е. Закон сохранения импульса : Вектор полного импульса замкнутой системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях этих тел между собой Импульс может только перераспределяться между телами системы Закон сохранения импульса есть следствие однородности пространства 28

Если система незамкнута, то закон сохранения импульса в векторной форме уже не справедлив !!! Однако, если вдоль какого-нибудь направления (например, x) внешние силы не действуют либо скомпенсированы, то сохраняется проекция суммарного импульса тел системы на это направление 29

Центр масс (центр инерции) системы Центр масс – точка тела (или системы тел), которая движется так, как если бы в ней была сосредоточена вся масса тела (системы) и если бы к ней были приложены все внешние силы, действующие на систему Радиус-вектор центра масс системы тел – материальных точек - масса системы Координаты центра масс Центр тяжести тела - точка твердого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом его положении в пространстве. В однородном поле силы тяжести центр тяжести тела совпадает с центром масс 30

ИЛЛЮСТРАЦИЯ Закона Сохранения Импульса Тележка с тяжелым маятником находится на гладких рельсах. Центр системы при колебаниях маятника покоится 31

Механическая работа Работа совершается силой и выражается в виде Элементарная работа d. A определяется как скалярное произведение силы на элементарное перемещение Работа в механике есть мера изменения полной механической энергии системы 32

Джеймс Пре скотт Джо уль (англ. James Prescott Joule; (1818 — 1889) — английский физик, сын богатого пивовара и сам пивовар (некоторое время) 33

Силовое поле Если в каждой точке пространства на тело действует сила, то говорят, что в пространстве существует силовое поле. Если работа сил поля не зависит от формы траектории, то поле называется потенциальным, а сила консервативной. Примеры потенциальных полей: гравитационное поле, электростатическое (кулоновское) поле, поле упругих сил. Центральная сила – это cила, линия действия которой проходит через одну точку (силовой центр), и зависящая только от расстояния до этой точки. Примеры центральных сил: гравитационная сила, кулоновская сила, сила упругости. Работа центральной силы не зависит от формы траектории. Поэтому поле центральных сил потенциально (см. также Силовое поле). 34

Закон сохранения и превращения энергии - общий закон природы, один из основных законов естествознания. Согласно этому закону энергия любой замкнутой (изолированной) системы при всех процессах, происходящих в системе, остается постоянной. Энергия может только переходить из одной формы в другую и перераспределяться между частями системы. Для незамкнутой системы увеличение (или уменьшение) ее энергии равно убыли (или возрастанию) энергии взаимодействующих с ней тел и физических полей. Закон сохранения энергии связан с однородностью времени. Закон сохранения механической энергии - физический закон, в соответствии с которым: в замкнутой системе, в которой не действуют силы трения и сопротивления, сумма кинетической и потенциальной энергии всех тел системы остается величиной постоянной. 35

Энергия. Закон сохранения энергии Энергия (от греч. «энергейя» – деятельность) Энергия – это мера тела или системы тел к совершению работы Энергия - скалярная физическая величина Основные виды энергии: механическая (кинетическая + потенциальная), внутренняя, электромагнитная, химическая, гравитационная, ядерная. Одни виды энергии могут превращаться в другие в строго определенных количествах 36

Механическая энергия Полная механическая энергия - сумма кинетической и потенциальной энергии тела (или системы тел). Полная механическая энергия характеризует движение и взаимодействие тел и зависит от скоростей тел и их взаимного расположения. В релятивистской механике полной энергией называется сумма кинетической энергии и энергии покоя частицы (тела) Кинетическая энергия – энергия механической системы, зависящая от скоростей ее точек. Если тело массы m движется со скоростью v, то его кинетическая энергия равна mv 2/2. Теорема об изменении кинетической энергии Теорема о кинетической энергии формулируется так. Сумма работы всех сил (консервативных и неконсервативных), приложенных к телу, равна приращению его кинетической энергии. С помощью этой теоремы можно обобщить закон сохранения механической энергии на случай незамкнутой (неизолированной) системы: приращению полной механической энергии системы равно работе сторонних сил над системой. 37

38

39

Механика тел переменной массы - раздел механики, изучающий движения тел, масса которых изменяется с течением времени вследствие отделения от тела (или присоединения к нему) материальных частиц. Такие задачи возникают при движении ракет, реактивных самолетов, небесных тел и др. Движение тела переменной массы описывается уравнением Мещёрского, которое является обобщением второго закона Ньютона путем введения в это уравнение реактивной силы тяги 40

Константин Эдуардович Циолковский (1857 -1935) - русский учёный-самоучка, исследователь, школьный учитель. Один из пионеров космонавтики. Пришёл к выводу о необходимости использования «ракетных поездов» - прототипов многоступенчатых ракет Иван Всеволодович Мещёрский (1859— 1935) — русский учёный, основоположник механики тел переменной массы 41

42

Центральный удар шаров 43

Силы инерции – фиктивные силы, которые вводятся в неинерциальных системах отсчета, чтобы второй закон Ньютона можно было распространить на неинерциальные системы отсчета. Например, во вращающихся системах отсчета появляются центробежная сила и сила Кориолиса. 44

45

46

47