ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Уравнение движения идеальной жидкости

ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Уравнение движения идеальной жидкости (II закон Ньютона) Ускорение жидкой частицы

Ускорение жидкой частицы Пусть в момент времени t жидкая частица в точке (x, y, z), а при t +Δt переместилась в точку (x+ Δx, y+ Δy, z+ Δz ). Тогда ускорение частицы локальное конвективное ускорение Пример- вращение по окружности y a u r θ=ωt z x water ц. б. ускорение

Уравнение движения невязкой (идеальной) жидкости- уравнение Эйлера Уравнение движения идеальной жидкости в поле потенциальных сил : С учетом соотношения:

Интегралы уравнений движения идеальной жидкости I. Потенциальное ( безвихревое) нестационарное движение Интеграл Лагранжа Iа. Установившееся потенциальное движение C постоянно во всем объеме и во времени – интеграл Эйлера.

Уравнение Бернулли. II. Установившееся вихревое движение Умножаем скалярно на элемент линии тока, dr // u Сохранение энергии вдоль линий тока Сl – константа, постоянная вдоль линии тока Движение в поле силы тяжести

Поток энергии течений идеальной жидкости Учитывая, что: 0

Изменение Количество энергии, вытекающей энергии в из объема V через поверхность S – объеме V в ед. поток энергии времени Вектор плотности потока энергии Изменение энергии жидкости в объеме V определяется энергией переносимой жидкостью через поверхность этого объема + работа сил давления над жидкостью внутри объема V

Стационарное течение : изменение энергии во времени =0. Пусть V – объем жидкости в трубке тока Поток энергии через поверхность Sбок трубки тока = 0 Уравнение неразрывности – сохранение вещества Вдоль линии тока

Сохранение циркуляции в идеальной жидкости Циркуляция скорости вдоль жидкого контура l u r(t) dl Из ур-ния по формуле Эйлера Стокса Теорема Томсона: циркуляция скорости вдоль произвольного жидкого контура в идеальной однородной жидкости неизменна во времени

Следствие теоремы Томсона u Если rot u=0 в какой-то точке линии тока, то Г Г=rot(u)d. S=const=0 при движении вдоль этой линии тока (при стационарном течении). Если rot u=0 при t=0 в любой точке, то движение остается безвихревым (потенциальным) в любой момент времени. rot Если (x, y, z, t=0)=0, то (x, y, z, t)=0

Потенциальное движение Уравнение Лапласа Граничные условия: при обтекании тела Для движущегося тела: жидкость на неподвижна, поэтому (r) 0 при r u т n нормальная составляющая При движении тела: скорости точек на поверхности тела

Решения уравнения Лапласа – гармонические функции, производные любого порядка от гармонических функций – также гармонические функции. Сумма гармонических функций =∑ m также решение уравнения Лапласа - Принцип суперпозиции Циркуляция скорости в потенциальном потоке, в котором потенциал – однозначная функция координат. Для безвихревых циркуляционных течений потенциал многозначный и Г 0

Двумерные потенциальные течения. Комплексный потенциал div u=0 Условия Коши-Римана в т. ф. к. п. - условия аналитичности (регулярности) ф. к. п. Функции и можно рассматривать как действительную и мнимую части функции комп. переменного z=x+iy w - комплексный потенциал

Для аналитических функции к. п. Комплексная скорость Вектор действительной скорости на комплексной плоскости м. б. представлен как y z u=ux+iuy В полярных координатах r, θ ux dw/dz -iuy x Комплексная и действительная скорости имеют равные модули и действительные части, а мнимые различаются знаком

Простейшие двумерные потенциальные течения Любая аналитическая функция w(z) может характеризовать некоторый потенциальный поток 1. Однородный поток. Действительная скорость Уравнение линий тока =u (-xsin +ycos )=Сonst xtg =y+C

2. Плоский точечный источник (сток). Уравнение линий тока Полный поток жидкости, вытекающей из центра (в угле 2 ) Q= B - A =a(θA+2 -θA)= 2 a Источник Сток a=Q/2 - расход жидкости из источника

3. Плоский циркуляционный поток Уравнение линий тока y =С Циркуляция по контуру охватывающему центр (по углу 2 ) Г= B - A =b(θA+2 -θA)= 2 b x =С b=Г/2 r=0 – особая точка потока

4. Плоский диполь М – момент диполя Уравнение функции тока y Уравнение линий тока М x

Обтекание кругового цилиндра

Обтекание кругового цилиндра невязкой жидкостью y Решение уравнения Лапласа по принципу суперпозиции x постоянный циркуляционный поток // x диполь поток Граничное условие: ur=0 r=r 0

Т. о. если момент диполя M=2 r 02 , то получаем обтекание цилиндра r 0 При r>r 0 скорости конечны, особых точек нет На поверхности цилиндра при r=r 0 θ>0 против час. стрелки

Критические точки на поверхности цилиндра : uθ =0 1. Г=0, sinθcr=0, 2. Г<4 r 0 u sinθcr<1 – две критические точки 3. Г=4 r 0 u sinθcr=1 – одна критическая точка 3. Г>4 r 0 u sinθcr<1 – нет критических точек

Подъемная сила при обтекании цилиндра Г<4 r 0 u Скорость на верхней части цилиндра меньше, чем Скорость на нижней части цилиндра Давление на нижнюю часть цилиндра < чем на верхнюю часть возникает подъемная сила

Расчет силы давления на цилиндр z R θ x Расчет горизонтальной компоненты силы давления: Из Т. Бернулли Px =0 !!!

Парадокс Даламбера: сила сопротивления при обтекании цилиндра в безграничной идеальной жидкостью потоком с постоянной скоростью =0 Нарушается при : А) наличии вязкости (несимметрия обтекания - след) Б) непостоянстве скорости потока (присоединенная масса) В) наличии свободной поверхности (волнообразование) Г) трехмерности обтекания с циркуляцией

Расчет вертикальной компоненты силы давления:

Вертикальная сила при обтекании тел идеальной жидкостью ~плотности, скорости набегающего потока и циркуляции вокруг тела. Направление силы ┴ скорости и повернуто на 90 град относительно u против направления циркуляции. Частный случай теоремы Жуковского о подъемной силе “Эффект Магнуса”

Вихревые движения жидкости 1. Уравнение неразрывности для вихря Ω=rot u Ω n Если контур стягивается в точку, то L→ 0, а поверхность S становится замкнутой S u L L По теореме Гаусса Интегральное и дифференциальное уравнения неразрывности для вихря

2. Теоремы Гельмгольца для вихревого движения 2. 1. Кинематическая теорема Гельмгольца Уравнение неразрывности для вихря Ω 2 rot u n 2 Вихревая линия S 2 Уравнение неразрывности для вихревой трубки nб Sб Ω 1 Вихревая трубка 0 S 1 n 1 Интенсивность вихревой трубки постоянна по ее длине

Следствие кинематической теоремы Гельмгольца: вихревая трубка не может заканчиваться в жидкости Ω→∞ Если бы трубка заканчивалась в жидкости , то d. S→ 0, тогда бы Ω→∞. Вихревые трубки могут начинаться на поверхности тела, жидкости, границе раздела. Вихри либо распространяются в ∞, либо заканчиваются на поверхности, либо существуют как вихревые кольца.

2. 2. Динамические теоремы Гельмгольца Теорема 1. В идеальной жидкости в поле потенциальных массовых сил вихревая трубка состоит из одних и тех же частиц жидкости Ω 2 n 2 Пусть l (t 0) – контур на поверхности трубки. Поток S 2 вихря через площадь контура = 0, → Гl(t 0)=0. По теореме Томсона Гl(t)=Г l(t 0). Тогда Г l(t)=0, т. е. контур остается на вихревой трубке. l (t 0) Ω 1 n 1 Вихревая трубка Теорема 2. В идеальной жидкости в поле потенциальных массовых сил интенсивность вихревой трубки не изменяется во времени. По т. Томсона Вихри сохраняются (и не могут возникнуть, если их не было в начальный момент) только в невязкой жидкости