ДИНАМИКА Динамика является основным разделом

ДИНАМИКА

• Динамика является основным разделом теоретической механики, в котором изучается движение тел под действием приложенных сил. Одна и та же сила оказывает на разные тела разное действие, поэтому возникает необходимость ввести характеристику самих тел.

• Свойство тел быстрее или медленнее изменять свою скорость под действием приложенных на них сил называется инертностью. Количественная мера инертности - масса. В классической механике масса рассматривается как скалярная, положительная и постоянная величина для каждого тела. В природе могут наблюдаться силы, зависящие от различных факторов. Рассмотрим основные типы переменных сил.

1. Силы, зависящие от времени Например, сила тяги двигателя может быть изображена графиком (рис. 3. 1, а), который отражает период пуска, когда она возрастает от нуля до номинала, период нормальной работы и выключение. Рис. 3. 1. а График переменной силы

2. Силы, зависящие от скорости движения К ним относятся силы сопротивления движению тел в жидкой и газообразной среде. Например, сила сопротивления движению самолета на больших скоростях пропорциональна квадрату скорости (рис. 3. 1, б). Рис. 3. 1. б График переменной силы

3. Силы, зависящие от положения точки К ним относятся силы взаимного тяготения между телами, силы упругости (рис. 3. 1, в). Рис. 3. 1. в График переменной силы

По характеру объектов исследования динамику можно подразделить на два основных раздела: динамику точки и динамику механической системы. • Точкой считается тело, размерами которого при изучении его движения можно пренебречь. • Механической системой называется любая совокупность материальных точек. например, солнечная система, кривошипноползунный механизм или абсолютно твердое тело.

3. 1. Динамика точки

3. 1. 1. Основные законы динамики

В основе динамики лежат аксиомы, названные основными законами динамики. Систематизацию законов динамики произвел И. Ньютон, поэтому они известны еще под наименованием законов Ньютона. В современной формулировке изложить следующим образом. их можно

Первый закон (закон инерции): изолированная от внешних воздействий материальная точка движется равномерно и прямолинейно (или покоится) до тех пор, пока приложенные силы не заставят изменить ее это состояние. Данный закон открыт Галилеем в 1638 году и опроверг точку зрения о том, что движение возможно только при действии силы. Математически этот закон можно следующим образом: если то описать

Второй (основной) закон: произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием силы, по модулю равно силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы (3. 1) Если взаимодействуют несколько сил, то согласно закону параллелограмма сил они эквивалентны одной силе, равной геометрической сумме действующих сил, и формула (3. 1) примет вид (3. 2)

Системы отсчета, в которых выполняются первый и второй законы динамики, называются инерциальными (условно неподвижными). Первый закон можно рассматривать как следствие или частный случай второго. В самом деле, если на тело не действуют силы, то из формулы (3. 2) следует, что ускорение точки равно нулю, то есть ее скорость постоянна.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия): две материальные точки взаимодействуют с силами, равными по величине и направленными по одной прямой в противоположные стороны (рис. 3. 2). Данная аксиома использовалась в статике. Следует отметить: хотя силы, действующие на точки, по модулю равны, они оказывают на точки разное действие, зависящее от инертности точек.

3. 1. 2. Системы единиц Для того, чтобы измерить все механические величины, необходимо задаться тремя основными единицами измерения. В системе единиц СИ, которая в настоящее время стандартизирована, приняты в качестве основных единицы массы (килограмм), времени (секунда), длины (метр). Это значит, что имеются эталоны этих единиц. Остальные единицы являются производными. Сила измеряется в Ньютонах: 1 Н=1 кгм/с2. Кроме системы СИ, имеются и другие системы, например СГС (сантиметр, грамм, секунда), используемая в электротехнике.

3. 1. 3. Вес тела и его масса Опытом установлено, что если устранить сопротивление воздуха (например, исследовать падение тел в сосуде, из которого выкачан воздух), то тело любой формы падает вниз с одним и тем же ускорением g=9, 81 м/с2, которое назвали ускорением свободного падения (рис. 3. 3). Рис. 3. 3. Падение под действием силы тяжести Поскольку на тело будет действовать только сила тяжести (вес), то проектируя левую и правую часть формулы (3. 2) на ось Х, получим то есть вес тела равен произведению его массы на ускорение свободного падения.

3. 1. 4. Дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием сил по отношению к инерциальной системе отсчета ОXYZ. Cпроектируем обе части равенства (3. 2) на оси координат, получим (3. 4) Учитывая, что проекции ускорения на оси координат равны вторым производным от соответствующих координат, получим

Эти формулы называются дифференциальными уравнениями движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Таким образом, движение точки в пространстве описывается тремя дифференциальными уравнениями второй степени. Если точка движется в плоскости, то для изучения ее движения будет достаточно двух уравнений, а если по прямой - то одного. Проекции ускорения на оси координат можно найти как производные по времени от проекций скоростей, а последние, в свою очередь, равны производным от закона изменения координат точек, поэтому систему из трех дифференциальных уравнений второй степени можно заменить шестью уравнениями первой степени: (3. 6)

3. 1. 5. Задачи динамики. Начальные условия. Для свободной материальной точки можно сформулировать две основные задачи. Первая задача: зная закон движения, найти силу. Решение достигается с помощью дифференцирования уравнений (3. 5). Вторая (основная) задача - обратная, то есть по заданным силам найти закон движения. Она решается при помощи интегрирования уравнений (3. 5). Поскольку интегралы получаются неопределенными, то для определения постоянных интегрирования дополнительно необходимо задать начальные условия, то есть начальное положение точки и начальную скорость. В общем случае необходимо знать в начальный момент времени (t=0) шесть начальных условий: . Если точка движется в плоскости, то необходимо знать а если по прямой, то.

3. 1. 6. Решение задач. Общий план решения задач динамики точки заключается в следующем. • 1. Изобразить точку в произвольный момент времени. • 2. Показать действующие на точку силы. • 3. Выбрать систему отсчета (оси координат). • 4. Составить дифференциальные уравнения движения точки. • 5. Решить эти уравнения с учетом начальных условий. Пример. Лифт опускается вертикально вниз с ускорением а=4 м/с2. Определить давление груза массой 1 кг, находящегося в кабине лифта, на пол (рис. 3. 4). Решение. На груз действует сила тяжести - Р и реакция пола - N. Ось Х направляем вниз и составляем уравнение движения точки, проектируя выражение (3. 2) на эту ось откуда находим

Отметим, что вес точки равен 10 Н, то есть она давит на опору с силой, меньшей чем собственный вес, то есть находится в состоянии частичной невесомости. В данном примере решается первая задача динамики. Пример. Груз поместили на гладкую наклонную плоскость и отпустили без начальной скорости. Определить, какую скорость будет иметь груз через 3 секунды после начала движения, и какое расстояние он пройдет за это время, если =300 (рис. 3. 5).

Решение. На точку действуют сила тяжести Р и реакция плоскости - N. Начало отсчета возьмем в начале движения, ось Х направим вниз по наклонной плоскости. Так как точка совершает прямолинейное движение, для исследования ее движения будет достаточно одного уравнения: Разделяя переменные и интегрируя (учитывая , что Vx=V), получим При t=0 V=0, подставляя эти значения в последнее уравнение, найдем, что С 1=0. Тогда при t 1=3 c м/с. Так как

Разделяя переменные и интегрируя второй раз, получим При t=0 координата Х=0, поэтому С 2=0, а пройденное расстояние будет равно:

3. 2. Общие теоремы динамики точки 3. 2. 1. Общие положения. Общие теоремы динамики являются следствием второго закона динамики и позволяют упростить решение задач. Для вывода этих теорем необходимо ввести динамические характеристики движения и характеристики действия сил. Динамическими характеристиками движения материальной точки являются количество движения и кинетическая энергия точки. Количество движения - это векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости -. Направление вектора количества движения совпадает с вектором скорости (рис. 3. 6. ). Рис. 3. 6. Вектор количества движения

• Кинетическая энергия точки - это скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости • Характеристиками силы являются импульс силы, работа и мощность. 3. 2. 2. Импульс силы. Элементарным импульсом силы называется векторная величина, равная произведению силы на элементарный промежуток времени (3. 7) • Импульс силы за конечный промежуток времени равен сумме элементарных импульсов за этот промежуток времени (3. 8) Если сила будет постоянна, то импульс будет равен Единица измерения импульса в системе СИ

3. 2. 3. Работа. Элементарная работа силы - это скалярная величина, равная произведению проекции силы на направление перемещения на элементарное перемещение (рис 3. 7) Так как , то. Рис. 3. 7. Определение элементарной работы (3. 9) Работа силы на конечном перемещении равна сумме элементарных работ на этом перемещении (3. 10) То есть работа находится, как криволинейный интеграл. Если сила постоянна и точка, к которой она приложена, движется прямолинейно, то работу можно найти по формуле (3. 11)

Частные случаи: 1) (направление силы совпадает с направлением перемещения). Так как , то 2) Поскольку (сила перпендикулярна направлению перемещения). , то работа в этом случае равна нулю. 3) (сила направлена в противоположную сторону от перемещения). В этом случае - 1 и работа будет отрицательной Для некоторых сил получены свои формулы для вычисления работы, например, работа силы тяжести , где Р - вес, h - вертикальное перемещение центра тяжести. Знак “+” ставится в том случае, если центр тяжести опускается, а “-“ когда поднимается; работа постоянного вращающего момента

где φ - угол поворота. В этой формуле знак (+) ставится в случае, если направление момента и угла поворота совпадают, и (-) – если они противоположны. Единица измерения работы - джоуль (1 Дж=1 Нм=1 кгм 2/с2). 3. 2. 4. Мощность - это работа, совершаемая в единицу времени. Средняя мощность равна отношению работы к промежутку времени (3. 12) Мгновенная мощность вычисляется как отношение элементарной работы к элементарному промежутку времени (3. 13)

Единицы измерения мощности - ватт (1 Вт=1 Дж/с), киловатт (1 Квт=1000 Вт). В электротехнике работу измеряют в киловаттчасах. Поскольку элементарную работу можно найти по формуле (3. 9), то мгновенную мощность можно найти как то есть мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость. Данной формулой объясняется работа коробки передач автомобиля : при движении с небольшой скоростью (на низшей передаче) может развиваться большее тяговое усилие, а при переключении передачи на высшую достигается большая скорость при малом усилии. 3. 2. 5. Теорема об изменении количества движения точки. Исходной формулой служит второй закон динамики

• Подставляя и внося массу под знак дифференциала, получим откуда: (3. 14) то есть изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех сил, действующих на точку за этот промежуток времени. Эта теорема используется для решения задач в том случае, если в число заданных или неизвестных величин входит время, а сила постоянна или зависит от времени.

3. 2. 6. Теорема об изменении кинетической энергии точки. • Спроектируем выражение второго закона динамики на касательную ось Преобразуем левую часть Подставляя данное выражение в исходное и интегрируя, получим (3. 15) То есть изменение кинетической энергии точки при некотором перемещении равно сумме работ всех сил, действующих на точку на этом перемещении. Данная теорема применяется тогда, когда в число заданных или неизвестных величин входит перемещение, а сила постоянна или зависит от перемещения.

Пример. Поезд подходит к станции со скоростью 20 м/с. При торможении возникает сила сопротивления, равная одной десятой от веса поезда. Найти время и путь торможения. Решение. Изобразим точку и покажем действующие на нее силы (рис3. 8). Для нахождения времени используем теорему об изменении количества движения точки

Спроектируем это выражение на ось Х, учитывая, что конечная скорость и проекции сил тяжести Р и реакции рельсов N на ось Х равны нулю Чтобы найти перемещение, используем теорему об изменении кинетической энергии точки

• Работа сил тяжести Ар и нормальной реакции АN равны нулю, так как эти силы перпендикулярны направлению перемещения. Работа силы сопротивления где l 1 - тормозной путь. Подставляя, находим • м.

3. 2. 7. Теорема об изменении момента количества движения точки. Моментом количества движения точки относительно центра называется вектор, равный моменту вектора количества движения точки относительно центра (3. 16) где - радиус-вектор точки, проведенный из центра О (рис. 3. 9). Модуль вектора момента количества движения равен произведению величины количества движения на кратчайшее расстояние между точкой и вектором скорости

Рис. 3. 9. Момент количества движения точки относительно центра О • Момент количества движения точки относительно оси Z, проходящей через точку О, равен проекции на эту ось вектора момента количества движения относительно центра О • Для доказательства теоремы рассмотрим движение точки под действием силы F (рис. 3. 9). Формулу (3. 16) продифференцируем по времени

• Первое слагаемое представляет собой векторное произведение двух параллельных векторов, поэтому оно равно нулю. Так как • , • окончательно получим (3. 10) То есть производная по времени от момента количества движения точки относительно центра О равна моменту силы, под действием которой движется точка, относительно того же центра. Если это выражение проектируем на ось z, то получим теорему об изменении момента количества движения точки относительно оси z

• Данная теорема используется для исследования ряда случаев криволинейного движения точки, в частности, для движения под действием центральной силы. • Центральной называется сила, линия действия которой проходит всё время через одну и ту же точку. Примером ее может служить сила притяжения планет к Солнцу (рис. 3. 10). Рис. 3. 10. Движение под действием центральной силы

• Отсюда следует, что данная точка будет двигаться в одной плоскости и модуль момента количества движения сохраняет свою величину • То есть планета будет иметь максимальную скорость в тот момент, когда она находится ближе всего к Солнцу, и минимальную, когда будет больше всего удалена от него.