Динамическое программирование При решении оптимизационных задач часто между

Динамическое программирование При решении оптимизационных задач часто между содержательной стороной задач и методами их решения нет взаимно однозначного соответствия. Так, например, метод моделирования, точно так же как и метод линейного программирования, можно применять для решения задач самых различных классов. Тем не менее большинство методов связано в первую очередь с задачами вполне определенного содержания (скажем, моделирование — с задачами массового обслуживания, линейное программирование — с распределительными задачами и т. д. ).

Классический аппарат математики оказался малопригодным для решения многих задач оптимизации, включающих большое число переменных и/или ограничений в виде неравенств. Сравнительно недавно при решении подобных задач можно было пользоваться лишь методами, рассчитанными на одновременное определение опти мальных значений всех переменных, что при увеличении числа пере менных быстро приводит к гигантскому росту объема вычислений.

В результате ограниченных возможностей современных средств вычислительной техники выполнение такого объема вычислений оказывается либо экономически невыгодным, либо вообще практически нереализуемым. Несомненна привлекательность идеи разбиения задачи большой размерности на подзадачи меньшей размерности, включающие всего по несколько переменных, и последующего решения общей задачи по частям. Именно на этой идее основан метод динамического программирования.

Динамическое программирование представляет собой математический метод, заслуга создания и развития которого принадлежит прежде всего Беллману. Более общие результаты теории оптимального управления почти одновременно и независимо были получены коллективом отечественных математиков, возглавляемых Л. С. Понтрягиным. Метод можно использовать для решения весьма широкого круга задач, включая задачи распределения ресурсов, замены и управления запасами.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЕРЕВЬЕВ РЕШЕНИЙ В научно исследовательских лабораториях фирмы, выпускающей продовольственные товары, был открыт новый процесс, обеспечивающий длительную сохранность пищевых продуктов, В связи с этим рассматривались перспективы и возможности освоениям производства новых консервированных продуктов, сбыт которых предполагалось организовать через крупные магазины самообслуживания. Выпущенные образцы этих продуктов были предложены, для дегустации небольшой группе домохозяек.

Были проведены предварительные исследования по оценке эффективности внедрения новой продукции методом экспертных оценок. Исходя из опыта отдела сбыта и оценки его руководителей при таких условиях шансы на успешный массовый сбыт новой продукции составляют 0, 3. При этом было единодушно высказано мнение, что в случае успеха будет получена годовая прибыль 3 млн. долл. в текущих ценах. В случае провала потери составят 250 тыс. долл.

В подобных обстоятельствах руководству фирмы приходится принимать целый ряд самых различных решений. Эти решения относятся к широкому кругу вопросов—от установления целесообразности дальнейшего опроса потребителей до выбора плана и сроков проведения мероприятий по обеспечению сбыта. Сюда, же относятся такие производственные вопросы, как выбор предприятия для производства этой продукции, строительство новых предприятий и реконструкция действующих.

Предположим, например, что имеется всего три альтернативы: отказ от замысла, немедленное массовое производство нового продукта и проведение его пробного сбыта на экспериментальном рынке (т. е. в определенном районе). В последнем случае затраты на пробный сбыт составят 50 тыс. долл. Если выбирается этот вариант, то возможны три результата:

• • • Консервы закупили и, следовательно, продегустировали менее 10% потребителей данного рынка. Консервы продегустировали более 10% потребителей, но из этого количества менее 50% купили их вторично. Консервы продегустировали более 10% потребителей, и норма повторной закупки равна не меньше 50%.

Если пробный сбыт показывает, что массовый выпуск нового продукта пока не оправдан, то практически перед фирмой стоит проблема принятия решений. Можно пойти по пути улучшения качества продукта или повышения эффективности его рекламы, можно изменить цену или предпринять исследование с целью выяснения причин неудовлетворительного сбыта и т. д.

В рассматриваемом примере будем считать, что после пробного сбыта можно: - приступить к массовому выпуску; - совсем отказаться от производства нового продукта. Возникает вопрос, каким образом принимать решения в таких условиях?

На первом этапе строится схема, напоминающая дерево и отражающая структуру задачи.

Ветви дерева, приведенного на рисунке, отображают различные события, которые могут иметь место, а его узлы (вершины) — состояния, в которых возникает необходимость выбора. В узлах — кружках — выбор из некоторого набора альтернатив осуществляет сама фирма, а в узлах — квадратах возможность «выбора» не находится в руках фирмы. В таких узлах выбор решения производит «природа» , а фирма может лишь оценить вероятности того или иного выбора природы.

Так, в узле 1 принимается решение либо отказаться от выпуска нового продукта (D), либо приступить к его массовому производству (L), либо провести пробный сбыт на экспериментальном рынке (Т). Если фирма приступает к массовому производству, то следующий выбор (в узле 2) принадлежит «природе» . Оценка вероятности успеха (S) в этом случае равна 0, 3, а вероятности неудачи (F) — 0, 7. У конца каждой ветви дерева указана получаемая прибыль.

Следовательно, в случае выбора в узле 1 альтернативы D она равна нулю. Прибыль составляет 3 млн. долл. в случае выбора альтернативы L при условии последующего успеха и 250 тыс. долл. (очевидно, что это уже потери) в случае выбора L при условии последующей неудачи. В случае решения приступить к массовому производству. Ожидаемая цена окончательного результата в денежном выражении равна: 3 000 X 0, 3 - 250 000 x 0, 7=725 000 долл.

Это означает, что в случае принятия решения о массовом производстве руководитель, вынесший это решение, готов отказаться от ожидаемого им выигрыша за любую сумму наличными, превышающую 725 тыс. долл. Будем считать, что достижение узла 2 эквивалентно выигрышу именно такой суммы. Рассмотрим следствия решения провести пробный сбыт продукта на экспериментальном рынке.

Чтобы достигнуть узла 3, нужно заплатить 50 тыс. долл. Однако «цена» этого узла не очевидна, поскольку в нем открывается несколько альтернатив. В узле 3 «природа» выбирает один из трех путей: а) продукт продегустировали менее 10% потребителей; б) продукт продегустировали не менее 10% потребители, однако менее 50% из них купили его повторно; в) продукт продегустировали не менее 10% потребителей и не менее 50% из них купили его повторно.

На первом этапе строится схема, напоминающая дерево и отражающая структуру задачи.

Вместо того чтобы непосредственно определять «цену» узла 3, проще рассмотреть все правые концы ветвей дерева, связанные с этим узлом, и двигаться к нему в обратном направлении (т. е. справа). Предположим сначала, что достигнуты узлы 7, 8 и 9, в каждом из которых природа выбирает следующую ветвь, одна из которых приводит к успеху (S), дающему прибыль 3 млн. долл. , а другая — к неудаче (F), приносящей потерю 250 тыс. долл.

Для определения ожидаемой денежной цены этих трех узлов необходимо знать вероятности S и F в каждом из них. Оценки этих вероятностей можно получить, воспользовавшись накопленной статистикой по аналогичным примерам, однако большей надежностью обладают субъективные экспертные оценки. Предположим, что субъективные экспертные оценки совместной вероятности имеют значения, приведенные в таблице.

Таблица Совместные вероятности Покупают менее 10% потребите лей (а) Покупают более 10% потребите лей; повторно покупают менее чем 50% от 10% (б) Покупают Вероятность более 10% потребителей; Повторно покупают более 50% от 10% (в) S (успех) 0, 03 0, 07 0, 2 0, 30 F (неудача) 0, 47 0, 18 0, 05 0, 7 Вероятность 0, 5 0, 25 1

Элементы таблицы определяют совместные вероятности. Например, вероятность того, что при пробном сбыте продукта на экспериментальном рынке его продегустирует менее 10% потребителей и что массовый выпуск приведет к неудаче, равна 0, 47, а их суммы по строкам и столбцам показывают абсолютные вероятности событий S, F (а), (б) и (в).

Вычислим прежде всего условные вероятности успеха или неудачи при наступлении событий (а), (б) и (в). Известно, что на 50 экспериментальных рынках из 100 будет иметь место (а) и что на трех из этих 50 будет, достигнут успех в случае, когда вслед за пробным сбытом начнется массовое производство нового продукта.

На первом этапе строится схема, напоминающая дерево и отражающая структуру задачи.

Вероятность успеха (S), следующего за событием (а), равна 3/50 или 0, 06. Вероятность неудачи (F) при том же условии равна 47/50, или 0, 94. Вероятность S, следующего за (б), равна 7/25=0, 28, а вероятность F равна 18/25 = 0, 72. Вероятности S и F при условии (в) равны соответственно 20/25 = 0, 8 и 5/25=0, 2.

Узел 7 достигается по ветви (а). Следовательно, его ожидаемая денежная цена составляет 3 000 x 0, 06 250 000 x 0, 94 = — 55 000 долл. Узел 8 достигается по ветви (б), и его ожидаемая денежная цена равна 3 000 x 0, 28 250 000 x 0, 72 = 660 000 долл. узел 9 достигается по ветви (в), и его ожидаемая денежная цена равна 3 000 x 0, 8 250 000 x 0, 2 =2 350 000 долл.

Предположим далее, что достигнут узел 4 и нужно принять одно из двух решений: приступить к массовому производству нового продукта или полностью отказаться от него. Решение о массовом производстве означает, что достигается узел 7 и это приводит к потерям в 55 тыс. долл. Решение отказаться от нового продукта приводит к нулевой прибыли. Принимается последнее решение, и узлу 4 приписывается нулевая цена.

В узле 5 можно принять такое же решение, что снова, естественно, дает нулевую прибыль, либо решение перейти в узел 8 с ожидаемой прибылью в 660 тыс. долл. Очевидно, что разумно было бы принять решение, приступить к массовому производству, а следовательно, приписать узлу 5 цену 660 тыс. долл. Аналогично цена узла 6 составляет 2 млн. 350 тыс. долл.

Сделаем еще один шаг в направлении, обратном течению времени, и оценим узел 3. Из узла 3 в зависимости от выбора, производимого «природой» , можно попасть в любой из узлов 4, 5 или 6. Чтобы найти цену узла 3, вновь попарно перемножим вероятности, отвечающие каждой из этих возможностей, на цены соответствующих результатов и сложим полученные произведения. Из таблицы находим вероятности (а), (б) и (в), равные соответственно 0, 50; 0, 25.

Денежная цена узла 3, если бы его можно было достичь без каких либо затрат, составит 0, 50 x 0+0, 25 x 660 000+0, 25 x 2350 000=752 500 долл. Однако, чтобы попасть в узел 3, необходимо истратить 50 тыс. долл. на проведение пробного сбыта. Таким образом, чистая денежная цена узла 3 равна (752 500 — 50 000) = 702 500 долл.

В заключение проанализируем решения, которые нужно принимать в узле 1, Уже показано, что полный отказ от идеи выпуска нового продукта приводит к нулевой прибыли. Решение о немедленном начале массового производства и сбыта дает в конечном счете прибыль в размере 725 тыс. долл. , а решение провести пробный сбыт продукта на экспериментальном рынке дает прибыль в размере 702 500 долл.

В этом примере затраты на проведение пробного сбыта не оправданы, несмотря на то что при отказе от пробного сбыта выбирается решение приступить к массовому производству, а принятие такого же решения после пробного сбыта (узлы 4, 5, 6) зависит от его результатов. Если бы затраты на проведение пробного сбыта были меньше разности (752 500 — 725 000) = 27 500 долл. , то пробный сбыт был бы экономически целесообразным.

Принципы, лежащие в основе этого метода анализа решений, сводятся к следующему: 1. Цена любого узла, где выбор производит «природа» , зависит только от будущих событий и не зависит от ранее принятых решений. 2. В любом узле, где решение принимает руководитель, выбор заключается в переходе к наиболее «прибыльному» непосредственно следующему за ним узлу, а цена такого узла определяется ценой последующего за вычетом затрат на переход в последующий узел. 3. С учетом п. 1 и 2 можно оцепить всю систему и найти оптимальные решения, предполагая, что движение начинается из крайних правых узлов, и, производя вычисления против течения времени.

Идея использования деревьев решений позволяет систематически подходить к решению многих задач, возникающих перед руководителями. Рассмотренная только что задача является типичным примером таких задач, в которых решение представляет собой выбор из конечного числа альтернатив, а процесс выбора заканчивается после принятия конечного числа решений.