Динамические эконометрические модели ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Динамические эконометрические модели

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Эконометрическая модель является динамической, если в данный момент времени t она учитывает значения входящих в нее переменных, относящиеся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени, т. е. если эта модель отражает динамику исследуемых переменных в каждый момент времени.

Виды динамических эконометрических моделей Модели, в которые включены Модели, в которых лаговые переменные, характеризующие значения переменных ожидаемый или желаемый непосредственно включены уровень результативного в модель признака или одного из факторов в момент времени t

Модели, в которых лаговые значения переменных непосредственно включены в модель Можно выделить два основных типа: o модели с распределенным лагом: В таких моделях наряду с текущими значениями факторных переменных содержатся их лаговые значения. o модели авторегрессии: В таких моделях лаговые значения результата (эндогенной переменной) входят в модель в качестве факторных переменных.

o Величина l характеризует временной лаг. o Лаговые переменные - временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени. o Временная лаговая переменная возникает вследствие действия многих факторов, которые формируют изменение результативного признака в прошлые моменты времени (политические, психологические, технологические, экономические и т. д. причины).

Модели, в которые включены переменные, характеризующие ожидаемый или желаемый уровень результативного признака или одного из факторов в момент времени t Этот уровень считается неизвестным и определяется с учетом информации, которой располагают в предыдущий момент времени (t-1). Их подразделяют следующим образом: o модели адаптивных ожиданий (в таких моделях учитывается ожидаемое значение факторного признака x*t+1. Например, ожидаемое в период (t+1) значение заработной платы влияет на уровень безработицы в текущий период t); o модели неполной (частичной) корректировки. В таких моделях учитывается ожидаемое значение результативного признака y*t+1. Например, фактический объем прибыли xt влияет на величину желаемого объема дивидендов y*t.

Особенности построения динамических эконометрических моделей заключаются: o в выборе и определении структуры временного лага; o в использовании специальных методов параметризации вследствие нарушения предпосылок МНК; o в наличии взаимосвязи между двумя динамическими моделями.

Определение параметров моделей с распределенным лагом o Модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных называются моделями с распределенным лагом.

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЛАГОМ Модель с распределенным лагом порядка p имеет вид: (****) o Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной x , то это изменение будет влиять на значения переменной y в течение p следующих моментов времени.

o Коэффициент регрессии bo при переменной xt характеризует среднее абсолютное изменение yt при изменении xt на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t без учета воздействия лаговых значений фактора x. o Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент ( t+1 ) совокупное воздействие факторной переменной xt на результат yt составит (bo+b 1) усл. ед. , в момент (t+2) это воздействие можно охарактеризовать суммой (bo+b 1 +b 2) и т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами. С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной xt в момент t на 1 у. е. приведет к общему изменению результата через l моментов времени на (bo+b 1 +…+bl) абсолютных величин.

Введем следующее обозначение: Величину b называют долгосрочным мультипликатором. Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t+l результата y под влиянием изменения на 1 ед. фактора x.

Предположим, j=bj / b, j=0…l. Это относительные коэффициенты модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты bj имеют одинаковые знаки, то для любого j имеем соотношение 0< j<1, j=0…l. В этом случае относительные коэффициенты j являются весами для соответствующих коэффициентов bj. Каждый из них измеряет долю общего изменения результативного признака в момент времени t+j.

o Средний лаг определяется по формуле и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора. Высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени.

o Медианный лаг - это величина лага, для которого Это тот период времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.

Пример: Зависимость объемов продаж компании в среднем за месяц от расходов на рекламу

ИЗУЧЕНИЕ СТРУКТУРЫ ЛАГА И ВЫБОР ВИДА МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЛАГОМ Если построить график зависимости коэффициентов регрессии от величины лага, можно получить графическое изображение структуры лага.

o Если с ростом величины лага коэффициенты при лаговых значениях переменной убывают во времени, то имеет место линейная (рис. а) или геометрическая структура лага (рис. б). o Если лаговые воздействия фактора на результат не имеют тенденцию к убыванию во времени, то имеет место один из вариантов, показанных на рис. в)-е).

o Структуру лага, изображенную на рис. в), называют "перевернутой" V-образной структурой. Основная ее особенность - симметричность лаговых воздействий относительно некоторого среднего лага, который характеризуется наиболее сильным воздействием фактора на результат. o Графики, представленные на рис. г), д) и е), свидетельствуют о полиноминальной структуре лага.

ЛАГИ АЛМОН o Лаги Алмон – это лаги, структуру которых можно описать с помощью полиномов. o Формально модель зависимости коэффициентов bj от величины лага j в форме полинома k - ой степени можно записать в следующем виде:

o Каждый из коэффициентов bj модели можно записать: (***) o В общем виде:

o Обозначим слагаемые следующим образом : (*)

o Тогда модель примет вид: (**)

Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом выглядит следующим образом: 1. Определяется максимальная величина лага l. 2. Определяется степень полинома k, описывающего структуру лага. 3. По соотношениям рассчитываются значения переменных

4. Определяются параметры уравнения линейной регрессии 5. Рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом по следующим формулам

Особенности параметризации метода Алмон 1. Выбор небольшой величины лага приведет к недоучету факторов, которые могут оказывать значительное влияние на результат. Воздействие этого фактора будет выражено в остатках, что нарушает предпосылки МНК. Слишком большая величина лага приведет к завышению влияния статистически незначимых факторов, что вызовет снижение эффективности в оценке модели. 2. Для установления степени полинома применяют следующее правило: полином k-й степени должен быть на единицу больше числа экстремумов в структуре лага. Если эмпирических данных о структуре лага нет, то степень полинома k определяют по наилучшей модели сравнительной оценкой уравнений, построенных для разных значений k.

3. Если переменные zi коррелируют между собой или имеется тесная связь между переменными, параметризацию проводят с учетом мультиколлениарности факторов.

Преимущества метода Алмон o Он достаточно универсален и может быть применен для моделирования процессов, которые характеризуются разнообразными структурами лагов. o При относительно небольшом количестве переменных, с помощью метода Алмон можно построить модели с распределенным лагом любой длины.

Пример: Имеются данные об объеме экспорта и импорта РФ (по методологии платежного баланса)

o Модель с распределенным лагом l=3 представляет собой полином II степени: с преобразованием исходных данных в переменные:

Методы оценки моделей с бесконечным числом лагов o Метод последовательного увеличения числа лагов o Метод преобразования Койка (метод геометрической прогрессии) o Метод главных компонент

Метод последовательного увеличения числа лагов q последовательно присваиваются значения из интервала (0, …, 1) с произвольным фиксированным шагом (0, 1; …; 0, 001). q Для каждого рассчитывается zt=xt+ xt-1+ 2 xt-2+ 3 xt-3+…+ nxt-n q Уравнение регрессии принятых по условию значениях n принимает вид yt=a+b 0 zt+ t q При решении уравнения следует учитывать, что выбор значений осуществляется на основе наибольшего коэффициента детерминации, а искомые параметры a, b 0, подставляют в уравнение: yt=a+b 0 xt+b 0 xt-1+ b 0 2 xt-2 +…+ t

Метод Койка Предположим теперь, что для описаний некоторого процесса используется модель с бесконечным лагом вида: Койк предположил, что существует некоторый постоянный темп уменьшения во времени лаговых воздействий фактора на результат.

Если, например, в период t результат изменялся под воздействием изменения фактора в этот же период времени на b 0 ед. , то o под воздействием изменения фактора, имевшего место в период (t-1) , результат изменится на b 0 ед. ; o в период (t-2)-на b 0 2 ед. , и т. д. Для некоторого периода (t-l) это изменение результата составит b 0 l ед. В более общем виде можно записать:

o Ограничение на значения > 0 обеспечивает одинаковые знаки для всех коэффициентов bj>0 . o Ограничение < 1 означает, что с увеличением лага значения параметров модели убывают в геометрической прогрессии. o Чем ближе к 0, тем выше темп снижения воздействия фактора на результат во времен и тем большая доля воздействия на результат приходится на текущие значения фактора xt.

o Выразим все коэффициенты bj в модели через b 0 и : o Тогда для периода ( t - 1) модель можно записать следующим образом:

o Умножим обе части на и вычислим o Отсюда получим модель Койка:

o Описанный выше алгоритм получил название преобразования Койка. o Это преобразование позволяет перейти от модели с бесконечными распределенными лагами к модели авторегрессии, содержащей две независимые переменные xt и yt-1.

o Здесь средний лаг определяется как o Для расчета медианного лага необходимо выполнение следующего условия: o Поэтому медианный лаг в модели Койка равен:

Метод главных компонент o Метод главных компонент применяется для исключения или уменьшения мультиколлинеарности объясняющих переменных регрессии. o Основная идея заключается в сокращении числа объясняющих переменных до наиболее существенно влияющих факторов. o Это достигается путем линейного преобразования всех объясняющих переменных в новые переменные, так называемые главные компоненты. При этом требуется, чтобы выделению первой компоненты соответствовал максимум общей дисперсии всех объясняющих переменных. Второй компоненте – максимум оставшейся дисперсии, после того как влияние первой главной компоненты исключается и т. д.

Процедура вычислений по методу главных компонент: Шаг 1. Строится матрица, элементами которой являются отклонения результатов наблюдений над n переменными от соответствующих средних

Шаг 2. Определяется матрица дисперсий и ковариаций объясняющих переменных, которая имеет размерность n x n:

Модели авторегрессии. Интерпретация параметров модели авторегрессии o Модели авторегрессии содержат в качестве факторных переменных лаговые значения результативного признака. o Промежуточный мультипликатор b 0 c 1 определяет общее абсолютное изменение результата y в момент времени (t+1). o Долгосрочный мультипликатор b=b 0(1+c 12+c 13+c 14+…) определяет общее абсолютное изменение результата y в долгосрочном периоде.

o Если в модели авторегрессии соблюдается условие стабильности - |c 1|<1, то при наличии бесконечного лага долгосрочный мультипликатор b=b 0/(1 -c 1).

Проблемы, возникающие при построении моделей авторегрессии: o Наличие лаговых значений результативного признака в правой части приводит к нарушению предпосылки МНК о делении переменных на результативную (стохастическую) и факторные (нестахостические). o Т. к. в модели авторегрессии в явном виде постулируется зависимость между текущими значениями результата yt и текущими значениями остатков ut, очевидно, что между временными рядами yt- 1 и ut-1 также существует взаимозависимость. Тем самым нарушается еще одна предпосылка МНК: предпосылка об отсутствии связи между факторными признаками и остатками в уравнении регрессии. Поэтому применение обычного МНК для оценки параметров уравнения авторегрессии приводит к получению смещенной оценки параметра при переменной yt-1.

Метод инструментальных переменных o Лаговую переменную yt-1 заменяют на новую переменную, которая, с одной стороны, не коррелирует со случайной величиной ut, с другой – тесно связана с переменной yt-1. o Параметры измененной исходной модели регрессии (появилась новая – инструментальная переменная) оценивают с помощью МНК.

Пример:

o Метод инструментальных переменных часто приводит к появлению мультиколлинеарности факторов в модели. Эту проблему разрешают в определенных случаях с помощью включения в модель с инструментальной переменной фактора времени.

МОДЕЛИ АДАПТИВНЫХ ОЖИДАНИЙ Модели адаптивных учитывают желаемое значение ожиданий факторного признака в период (t+1) o Модель вида Где фактическое значение результативного признака; ожидаемое значение факторного признака.

o Механизм формирования ожиданий (факторов) в этой модели следующий: Или где

o Ожидаемое значение факторной переменной xt* в период t есть средняя арифметическая взвешенная ее фактического и ожидаемого значений в предыдущий период. o В каждый период времени t +1 ожидания корректируются на некоторую долю разности между фактическим значением факторного признака и его ожидаемым значением в предыдущий период. o Параметр в этой модели называется коэффициентом ожиданий.

o Чем ближе коэффициент ожиданий к 1, тем быстрее ожидаемое значение xt+1* адаптируется к предыдущим реальным значениям. o Приближение к 0 свидетельствует об устойчивости существующих тенденций (тем меньше ожидаемое значение xt+1* отличается от ожидаемого значения предыдущего периода xt*). o При =0 получаем, что xt+1*= xt* , то есть условия, доминирующие сегодня , сохранятся и на все будущие периоды времени. Ожидаемые будущие значения показателей совпадут с их значениями текущих периодов.

Почему нельзя применять МНК для Ожидаемые значения факторного оценки признака, включенные в модель, параметров нельзя получить эмпирическим модели способом. адаптивных ожиданий?

o Модель (1), характеризующая зависимость результативного признака от ожидаемых значений факторного признака, называется долгосрочной функцией модели адаптивных ожиданий. o Модель (3), которая описывает зависимость результата от фактических значений фактора, называется краткосрочной функцией модели адаптивных ожиданий.

Модель неполной (частичной) корректировки o Общий вид этой модели следующий: o Формирование РЕЗУЛЬТАТОВ происходит по следующей схеме:

Модели учитывают желаемое (ожидаемое) частичной значение результативного признака в корректировки период (t+1)

o Соотношение (*) называют долгосрочной функцией модели неполной корректировки. o Соотношение (***) есть основное уравнение модели неполной корректировки. Его называют краткосрочной функцией модели.