Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций Логарифмическое дифференцирование

Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование

Функции в явном и неявном виде • Если функция задана уравнением y=f(x), разрешенным относительно y, то функция задана в явном виде (явная функция). • Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде F(x, y)=0, не разрешенного относительно y. Например, y-f(x)=0 2

Дифференцирование функции, заданной неявно Если неявная функция задана F(x, y)=0, то для нахождения производной от y по x нет необходимости разрешать уравнение относительно y: достаточно это уравнение продифференцировать по x, рассматривая при этом y как функцию x. 3

Пример Найти производную y, заданную уравнением Решение 4

Функция, заданная параметрически Пусть зависимость между аргументом x и функцией y задана параметрически в виде двух уравнений где t – параметр. Найдем y′x считая что: 5

Функция, заданная параметрически Тогда: или 6

Пример Решение 7

Логарифмическое дифференцирование В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием. 8

Пример Найти производную функции Решение 9

Пример Затем дифференцируем по x 10

Степенно-показательная функция y=uv u=u(x), v=v(x) 11

Пример Найти производную функции Решение 12