Скачать презентацию Дифференциальные уравнения равновесия жидкости и их интегрирование для Скачать презентацию Дифференциальные уравнения равновесия жидкости и их интегрирование для

лекция 5а уравнения эйлера.ppt

  • Количество слайдов: 20

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости и их интегрирование для простейшего случая (уравнения Эйлера) Дифференциальные уравнения равновесия жидкости и их интегрирование для простейшего случая (уравнения Эйлера)

* Л. Эйлер (1707— 1783 гг. )— математик, механик и физик. Родился и получил * Л. Эйлер (1707— 1783 гг. )— математик, механик и физик. Родился и получил образование в Базеле (Швейцария). Свыше 30 лет прожил в Петербурге, работая в Петербургской академии наук. Помимо математики, физики, теории упругости, теории машин и других наук занимался гидромеханикой, вывел дифференциальные уравнения движения жидкостей и газов (см, ниже), предложил критерий гидродинамического подобия. Считается одним из основоположников гидромеханики, гидрогазодинамики и др. родственных дисциплин.

Основное уравнение гидростатики, рассмотренное ранее можно получить путем интегрирования дифференциальных уравнений равновесия жидкости. Получим Основное уравнение гидростатики, рассмотренное ранее можно получить путем интегрирования дифференциальных уравнений равновесия жидкости. Получим эти уравнения равновесия жидкости, когда на нее действует только сила тяжести, а случай действия других массовых сил, например, силы инерции переносного движения при так называемом относительном покое, рассмотрим позднее.

Рис. Схема для вывода дифференциальных уравнений равновесия жидкости Рис. Схема для вывода дифференциальных уравнений равновесия жидкости

В неподвижной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами x, у и z и В неподвижной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами x, у и z и давлением р (рис. ). Систему координат будем считать жестко связанной с сосудом, содержащим жидкость. Выделим в жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными dx, dy и dz. Пусть точка М будет одной из вершин параллелепипеда. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема жидкости.

Рис. Схема для вывода дифференциальных уравнений равновесия жидкости Рис. Схема для вывода дифференциальных уравнений равновесия жидкости

Пусть внутри параллелепипеда на жидкость действует равнодействующая массовая сила, составляющие которой, отнесенные к единице Пусть внутри параллелепипеда на жидкость действует равнодействующая массовая сила, составляющие которой, отнесенные к единице массы (см. материал рассмотренный ранее), равны X, Y и Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны этим составляющим, умноженным на массу выделенного объема.

Давление р - функция координат х, у и z, но вблизи точки М по Давление р - функция координат х, у и z, но вблизи точки М по всем трем граням параллелепипеда оно одинаково из доказанного ранее свойства гидростатического давления. При переходе от (·) М, например, к (·) N изменяется лишь координата х на бесконечно малую величину dx, и функция р получает приращение, равное частному дифференциалу (др/дх)dx.

Поэтому давление в (·) N равно р + (др/дх) dx, где др/дх - градиент Поэтому давление в (·) N равно р + (др/дх) dx, где др/дх - градиент давления вблизи (·) М в направлении оси х. Рассматривая давления в других соответствующих точках граней, нормальных к оси х, например в точках N' и M', видим, что они отличаются на одинаковую (с точностью до бесконечно малых высших порядков) величину

Поэтому разность сил давления, действующих на параллелепипед в направлении оси х, равна указанной величине, Поэтому разность сил давления, действующих на параллелепипед в направлении оси х, равна указанной величине, умноженной на площадь грани: Аналогично, но через градиенты давления др/ду и dp/dz выразятся разности сил давления, действующие на параллелепипед в направлении двух других осей (у и z).

На параллелепипед действуют лишь указанные массовые силы и силы давления, поэтому уравнения равновесия параллелепипеда На параллелепипед действуют лишь указанные массовые силы и силы давления, поэтому уравнения равновесия параллелепипеда в направлениях трех координатных осей запишутся в следующем виде: (1. 24)

Разделим эти уравнения на массу ρdxdydz параллелепипеда, перейдем к пределу, устремляя dx, dy и Разделим эти уравнения на массу ρdxdydz параллелепипеда, перейдем к пределу, устремляя dx, dy и dz к нулю (стягиваем параллелепипед к исходной точке М). Тогда в пределе получим уравнения равновесия жидкости, отнесенные к точке М: (1. 25) Система (1. 25) дифференциальных уравнений гидростатики называется уравнениями Эйлера.

Для практического пользования удобнее вместо системы уравнений (1. 25) получить одно эквивалентное им уравнение, Для практического пользования удобнее вместо системы уравнений (1. 25) получить одно эквивалентное им уравнение, не содержащее частных производных. Для этого умножим первое уравнение на dx, второе - на dy, третье - на dz и сложим все три уравнения. =0.

Получим есть полный дифференциал давления, т. е. Трехчлен в скобках функции р (х, у, Получим есть полный дифференциал давления, т. е. Трехчлен в скобках функции р (х, у, z):

Поэтому уравнение переписать в виде: (*)можно Xdx + Ydy + Zdz – dp/ρ = Поэтому уравнение переписать в виде: (*)можно Xdx + Ydy + Zdz – dp/ρ = 0 или dp = ρ(Xdx + Ydy + Zdz). (1. 26) Полученное уравнение (1. 26) выражает приращение давления dp при изменении координат на dx, dy и dz в общем случае равновесия жидкости.

Если предположить, что на жидкость действует только сила тяжести, и направить ось z вертикально Если предположить, что на жидкость действует только сила тяжести, и направить ось z вертикально вверх, то X = Y =0, Z = - g и, следовательно, вместо уравнения (1. 26) (dp = ρ(Xdx + Ydy + Zdz) для этого частного случая равновесия жидкости получим dp = - (1. 27) После интегрирования получим р = - ρgz + С.

Постоянную интегрирования C найдем, подставив параметры свободной поверхности, для которой при z = z Постоянную интегрирования C найдем, подставив параметры свободной поверхности, для которой при z = z 0 р = p 0 (см. рис. ). Получим C = p 0 + ρgz 0. При этом p=p 0+(z 0 -z)ρg (1. 28) или z+ p/(ρg) = z 0 +p 0/(ρg)=const.

Заменяя в уравнении (1. 28) разность z 0 - z на h (глубину расположения Заменяя в уравнении (1. 28) разность z 0 - z на h (глубину расположения точки М), найдем p = p 0 + ρgh. Получили основное уравнение гидростатики [(1. 22) или (1. 23)], которое было выведено ранее иным путем. Интегрирование уравнения (1. 26) для других случаев равновесия рассмотрим позднее.

* Л. Эйлер (1707— 1783 гг. )— математик, механик и физик. Родился и получил * Л. Эйлер (1707— 1783 гг. )— математик, механик и физик. Родился и получил образование в Базеле (Швейцария). Свыше 30 лет прожил в Петербурге, работая в Петербургской академии наук. Помимо математики, физики, теории упругости, теории машин и других наук занимался гидромеханикой, вывел дифференциальные уравнения движения жидкостей и газов (см, ниже), предложил критерий гидродинамического подобия. Считается одним из основоположников гидромеханики, гидрогазодинамики и др. родственных дисциплин.