Дифференциальные уравнения Основные понятия Дифференциальные уравнения p

Дифференциальные уравнения. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения. p Задача о первообразной. p Найти функцию такую, что p Решение.

Дифференциальные уравнения. p Задача о движении. p Материальная точка движется вдоль оси ОХ со скоростью V(t). Найти закон движения x(t). Решение. Скорость движения Поэтому p Тогда p где - первообразная. p p n Пусть

Дифференциальные уравнения. p Задача о касательной. p Найти кривую , проходящую через точку такую, что в каждой точке кривой угловой коэффициент касательной равен p Решение. p Угловой коэффициент касательной в точке равен Следовательно y p p 0 x

Дифференциальные уравнения. p Определение 1. p Определение 3. p Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида p Определение 2. p называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной. p Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение. p Определение 4. p Решением дифференциального уравнения (1) называется функция , которая удовлетворяет уравнению, то есть p при p Уравнение вида В частности: при n=1

Дифференциальные уравнения. p Геометрический смысл уравнения (2) Функция определена в области . Определение 5. Пусть в каждой точке проведен отрезок с угловым коэффициентом Говорят, что уравнение (2) задает поле направлений в области . n p p p y 0 p График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Интегральные кривые в каждой точке имеют касательную, совпадающую с полем направлений в этой точке. х

Дифференциальные уравнения. p Пример 1. p Построить поле направлений уравнения p Решение. Применим математический пакет MAPLE. Замечание. При сравнении рисунков полей видно, что в первом случае поле ограничено Пример 2. Построить поле направлений уравнения Решение. Применим пакет MAPLE.

Дифференциальные уравнения. p Определение. p Изоклиной называется линия, в каждой точке которой поле направлений одинаково: p p Пример 2. Построить изоклины уравнения Решение. Уравнения изоклин

Дифференциальные уравнения. p Построим интегральные кривые: а) пример 1 б) пример 2

Дифференциальные уравнения. p Задача Коши. p Найти решение уравнения удовлетворяющее начальному условию: p n y Другая запись: n Геометрический смысл задачи Коши. n Найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку 0 x

Дифференциальные уравнения. Теорема ( Пусть: ! ). y 1. 2. 0 Тогда: 1. Существует единственное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию 2. - определена в окрестности 3. - непрерывные в окрестности. x

Дифференциальные уравнения. p Пример 1. p Найти решение уравнения p удовлетворяющее начальному условию (Решить задачу Коши). p Решение. Данное уравнение решается в квадратурах: p Решение задачи Коши имеет вид: p

Дифференциальные уравнения. p Геометрическая интерпретация: p Построить интегральную кривую уравнения p проходящую через точку Решение. Применим математический пакет MAPLE. p

Дифференциальные уравнения. p Пример 2. p Найти решение уравнения p удовлетворяющее заданному начальному условию: p (Решить две задачи Коши). p p Решение. Данное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Оно интегрируется в квадратурах: p Решение задачи Коши имеет вид: p

Дифференциальные уравнения. p Геометрическая интерпретация: p Построить интегральные кривые уравнения p p проходящие через точки: а) б) p Решение. Применим пакет MAPLE:

Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения. p Определение. p Общим решением дифференциального уравнения в области называется функция , зависящая от х и произвольной постоянной С, непрерывная, имеющая непрерывные частные производные, и удовлетворяющая условиям: 1) при любых значениях С , таких что точка , функция является решением дифференциального уравнения; 2) при любых найдется такое значение , что решение удовлетворяет начальному условию p p p p Решение, полученное из общего решения при конкретном значении С, называется частным решением.

Дифференциальные уравнения. p Пример 3. Частные решения Д. У.

Дифференциальные уравнения. p p Пример 1. Решить уравнение p Решение. Замена: Получим: Разделим переменные: p Проинтегрируем: p Вернемся к переменным х, у: p p p

Дифференциальные уравнения. p Задача Коши для уравнения y p p Найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальным условиям: 0 n n Геометрический смысл задачи Коши. Найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку с заданными угловым коэффициентом касательной: x

Дифференциальные уравнения. p p Теорема ( ! ). Пусть; 1. 2. Тогда: 1. Существует единственное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям; 2. - определена в окрестности 3.

Дифференциальные уравнения. p Определение. p Общим решением дифференциального уравнения называется функция , зависящая от х и двух произвольных постоянных и таких, что при каждых значениях и функция является решением данного дифференциального уравнения. p p p Решение, полученное из общего решения при конкретных значениях и , называется частным решением дифференциального уравнения. .

p p p p p p ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В. Н. АРЕФЬЕВ, Т. С. КУЗИНА, Е. Г. СИТНИКОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ У ч е б н о е п о с о б и е М о с к в а 2009