Дифференциальные уравнения Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , неизвестную функцию и её производные. Наивысший порядок производной, входящей в уравнение называется порядком уравнения.

Всякая функция , которая, будучи подставленная в уравнение, обращает его в тождество, называется решением этого уравнения. Решить уравнение – значит, найти все его решения в заданной области.

Общим решением дифференциального уравнения называется такое его решение , которое содержит столько независимых постоянных, каков порядок этого уравнения. Если общее решение задано в неявном виде то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, если произвольным постоянным, в него входящим придать определенные значения, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение связывающее независимую переменную , искомую функцию и её первую производную : или .

• Функция называется общим решением диф. уравнения первого порядка в области , если она удовлетворяют двум условиям: 1) при любых значениях произвольной постоянной , принадлежащих некоторому множеству, функция является решением диф. уравнения;

2) какова бы ни была точка , лежащая в обл. , существует единственное значение постоянной такое, что решение удовлетворяет начальному условию Решение решением. , называется частным

Определение задачи Коши: Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию , называется задачей Коши. Общее решение , построенное на плоскости , называется интегральной кривой.

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Не существует общего метода решения дифференциального уравнения первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение Бернулли

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение связывающее независимую переменную , искомую функцию и её первую и вторую производные :

• Функция называется общим решением диф. уравнения второго порядка в области , если она удовлетворяют двум условиям: 1) при любых значениях произвольных постоянных , принадлежащих некоторому множеству, функция является решением диф. уравнения;

2) какова бы ни были начальные условия , , существует единственное значение постоянных такое, что функция является решением уравнения и удовлетворяет начальным условиям

Простейшие уравнения второго порядка допускающие понижение порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянным коэффициентами

1. Линейные однородные диф. уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянным коэффициентами