Дифференциальные уравнения 1

Дифференциальные уравнения 1

Общие понятия 2

Дифференциальные уравнения разделяются на две группы: обыкновенные и в частных производных. Уравнения, содержащие производные от частные производные неизвестной функции от неизвестной функции лишь одной независимой по нескольким переменной, называются обыкновенными независимым дифференциальными переменным, уравнениями. называются дифференциальными уравнениями в частных производных. 3

4

Примеры ДУ различных порядков 5

6

7

Задача Коши для дифференциальных уравнений 8

9

10

Геометрическая интерпретация задачи Коши 11

Геометрическая интерпретация задачи Коши 12

13

Основные типы интегрируемых дифференциальных уравнений первого порядка 1. Простейшие дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения этого типа имеет вид: (1) или Способ решения ДУ этого типа состоит в интегрировании обеих частей уравнения. Пример. Решить ДУ . . Решение. Представим данное уравнение в следующем виде 14

Интегрируя обе части, получим Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения При начальном условии Решение. . Интегрируя обе части ДУ по частям, получим 15

Найдем частное решение, соответствующее начальному условию: Подставим в начальное условие 16

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Определение. Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения следующего вида где и - данные непрерывные на функции. Если для всех , то уравнение называется линейным однородным ДУ. Рассмотрим оба случая линейных (ДУ) 1 -го порядка: однородные и неоднородные. 17

Cл. 1. Однородные линейные ДУ первого порядка некоторые непрерывные функции на . Если для всех значений уравнение называется однородным . Данное уравнение является ДУ с разделяющимися переменными, поэтому его решение состоит из двух этапов • разделения переменных: • интегрирования обеих частей: 18

Окончательно - общее решение однородного линейного ДУ. Проверка показывает, что удовлетворяет уравнению, поэтому также является решением данного ДУ. Ответ: , 19

Если однородное дифференциальное уравнение удовлетворяет некоторому начальному условию то легко показать, что частное решение ДУ примет вид: 20

Линейные неоднородные уравнения 21

Общее решение Произвольная постоянная С заменяется на неизвестную функцию . Далее ищется общее решение ДУ в виде , где - неизвестная функция. Для нахождения этой функции общее решение уравнения подставляем в исходное дифференциальное уравнение получим следующее 22

23

Пример 1. Найти общее решение ДУ 24

Дифференцируя обе части , получим Где - произвольная постоянная. Подставляя полученные результаты в общий вид решения, получим Ответ: 25