Дифференциальное исчисление функций одной переменной Ø Определение производной

Дифференциальное исчисление функций одной переменной Ø Определение производной. Ее геометрический и физический смысл. Ø Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Необходимое условие существования производной. Ø Правило дифференциорания функций. Ø Производная сложной и обратной функции. Ø Производные основных элементарных функций. Ø Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Ø Производные высших порядков. Ø Дифференциал функции. Свойства дифференциала. Ø Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма; теорема Ролля; теорема Лагранжа. Геометрический смысл. ØПравило Лапиталя раскрытия неопределенностей.

Приращение функции и аргумента n Пусть функция определена на промежутке X. Рассмотрим точку n Разность называется приращением аргумента x. n Разность называется приращением функции y=f(x) в точке x, соответствующее приращению аргумента. f(x)

Определение производной функции Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Если функция y=f(x) в точке x имеет конечную производную, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический смысл производной функции касательная B y y 0 секущая A x 0 x n Отношение равно тангенсу угла наклона секущей к оси абсцисс, а производная равна тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс. - угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) - уравнение касательной

Физический смысл производной функции Если - путь, пройденный материальной точкой за время, то - путь, пройденный за время. Производная пути по времени равна мгновенной скорости в точке

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции (необходимое условие существования производной) Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x, то есть по определению Тогда по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции имеем , где функция y=f(x) непрерывна в точке x

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции Теорема обратная необходимому условию существования производной не верна. - непрерывна в точке x=0, но не дифференцируема в ней y 0 Т. о. функция x не имеет производной в точке x=0

Правила дифференцирования функций Производная постоянной равна нулю: Если функции имеют производные в точке , то их сумма , произведение и частное также имеют производные в этой точке и справедливы формулы

Правила дифференцирования функций

Производная сложной функции (о производной сложной функции) Если y=f(u) и u=h(x) дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции y=f(h(x)) существует и равна или 1. 2.

Производная обратной функции (о производной обратной функции) Если функция y=f(x) строго монотонна на интервале (a, b) и имеет неравную нулю производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция x=h(y) также имеет производную , определяемую или

Производные основных элементарных функций

Производные основных элементарных функций 1. 2.

Дифференцирование неявно заданных функций F(x, y)=0 Для нахождения производной достаточно продифференцировать уравнение F(x, y)=0 по х, рассматривая при этом y как сложную функцию x и затем полученное уравнение разрешить относительно 1. 2.

Дифференцирование параметрически заданных функци , t - параметр Пусть x(t), y(t) имеют производную и функция x=x(t) имеет обратную t=h(x). по правилу дифференцирования обратной функции Функцию y=y(x), определяемую параметрическими уравнениями, можно рассмотреть как сложную функцию y=y(t), где t=h(x). по правилу дифференцирования сложной функции

Производные высших порядков - производная первого порядка функции y=f(x) Если функция дифференцируемой точке x, то - производная второго порядка функции y=f(x) …………………. - производная n-ого порядка функции y=f(x) Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Понятие дифференциала функции Пусть функция y=f(x) определена на промежутке X и дифференцируема в некоторой окрестности точки. По теореме о связи между функцией, ее пределом и б. м. ф. , где является б. м. функцией одного порядка с является б. м. функцией более высокого порядка чем

Понятие дифференциала функции Дифференциалом функции y=f(x) называется главная, линейная относительно , часть приращения функции, равная произведению производной функции на приращение независимой переменной dy – дифференциал первого порядка Рассмотрим функцию y=x. Вычислим ее дифференциал: Дифференциалом функции y=f(x) равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной

Найти дифференциал функции

Свойства дифференциала Дифференциал постоянной равен нулю:

Основные теоремы дифференциального исчисления Если дифференцируемая на промежутке X функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x 0 этого промежутка, то. Пусть точка x 0 – точка наибольшего значения функции на промежутке X По определению для если По условию функция y=f(x) дифференцируема в точке x 0 если

Основные теоремы дифференциального исчисления В точке наибольшего или наименьшего значения функции, достигаемого внутри промежутка X, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема о среднем) Если функция y=f(x) 1) непрерывна на отрезке [a, b]; 2) дифференцируема на интервале (a, b); 3) f(a)=f(b); то . Так как функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то по теореме Вейерштрасса она достигает наибольшего M и наименьшего m значений. Если m=M, то функция y=f(x) постоянна на отрезке [a, b] Если m

Основные теоремы дифференциального исчисления На графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс.

Основные теоремы дифференциального исчисления Если функция y=f(x) 1) непрерывна на отрезке [a, b]; 2) дифференцируема на интервале (a, b); то Введем новую функцию Функция g(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля 1) непрерывна на отрезке [a, b] (как разность непрерывных функций); 2) дифференцируема на интервале (a, b)(как разность диффер. функций); 3) g(a)=g(b)

Основные теоремы дифференциального исчисления Пусть , где a

Основные теоремы дифференциального исчисления Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке. Пусть Рассмотрим произвольные По теореме Лагранжа Так как - произвольные точки интервала (a, b), то

Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида Если функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x 0 кроме, быть может, самой точки x 0 и обращаются в ноль в этой точке f(x 0)=g(x 0)=0. Пусть в окрестности точки x 0. Если 1. 2. , то

Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида Если функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x 0 кроме, быть может, самой точки x 0 и пусть в этой окрестности и Если 1. , то