Дифференциальное исчисление функции многих переменных Касательная плоскость и

Дифференциальное исчисление функции многих переменных Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Дифференциал. Приближённые вычисления с помощью дифференциала.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности • Плоскость P, проходящая через (. ) N 0 поверхности называется касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через (. ) N 0 и любую точку N поверхности стремится к нулю при стремлении (. ) N к (. ) N 0. Пусть функция дифференцируема в тогда: или: Составим уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормаль с параметрами: Рассмотрим:

Геометрическая иллюстрация касательной плоскости к поверхности в точке • Прямые и параллельны • Зелёный цвет-касательная плоскость к поверхности - отрезок касательной прямой - секущая прямая Координаты точек в плоскости x. Oy одинаковые

Вывод уравнения касательной плоскости к поверхности • Замечаем, что: Тогда и , т. е. Т. о. получаем, что рассматриваемая плоскость является касательной к поверхности и уравнение касательной плоскости имеет вид:

уравнение нормали к поверхности • Нормаль к поверхности - прямая с направляющим вектором, являющимся нормалью к касательной плоскости поверхности, т. е. , где параметры А и В – суть координаты нормального вектора к касательной плоскости к поверхности и определяются через частные производные в точке

Дифференциал функции 2 -х переменных • Дифференциалом функции в точке: называется главная линейная часть приращения функции относительно приращений аргументов: (1) или учитывая, что Исходя из соотношения (1) можно получить:

Приближённое вычисление с помощью дифференциала • Последнее равенство можно анализировать в виде: если - малы, то верно приближённое равенство: Пример 1: Вычислить приближённо с точностью до Определим функцию, которая фигурирует в выражении: :

Решение примера 1: • Определимся со значениями: Далее, подставляя полученные выражение в отмеченную формулу для приближённого вычисления значения функции, получим:

Производная от сложной функции • Рассмотрим функцию: , определённую в некоторой окрестности точки и дифференцируемой в этой окрестности. Пусть каждая из переменных зависит от других переменных: . Тогда функция является сложной функцией от внутренних переменных. Теорема 2: Если функции: дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в точке , где тогда сложная функция дифференцируема в и её производные вычисляются

Теорема о дифференцируемости сложной функции по формулам: Доказательство: Рассмотрим приращения: тогда переменные получат соответствующие приращения: , в результате будем иметь приращения функции:

Теорема о дифференцируемости сложной функции Где Рассмотрим: здесь Вследствие непрерывности функций имеем: если получаем: . Поэтому

Пример 2: • Найти частные производные по внутренним переменным от следующей функции: , где Дифференцирование функции, заданной неявно Функция называется заданной неявно, если она задана посредством уравнения: (*) Утверждение: Если функция - как функция трёх переменных является дифференцируемой по этим переменным и , то определяемая уравнением (*) неявно заданная функция также дифференцируема по своим переменным и её частные производные находятся по формулам:

Замечание 1 • Если неявная функция одной переменной задана уравнением: и , то производная от функции определяется равенством: Пример 3: Вычислить частные производные функции заданной уравнением: или

Замечание 2 • Если поверхность задана уравнением в неявном виде: и точка принадлежит поверхности, то если частные производные задающей функции непрерывны, причём: то уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности будут:

Пример 4: • Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением в точке. Найдём производные: вычисляя их в заданной точке и используя полученные выше формулы, получим искомые уравнения: касательная плоскость: нормаль к поверхности:

Инвариантность формы первого дифференциала • Пусть функция дифференцируема в точке т. е. существуют частные производные. Пусть также функции также дифференцируемы в точке. Тогда, используя правило дифференцирования сложной функции, имеем: если бы независимыми переменными были. В данном случае эти переменные зависят от других переменных: . Поэтому: , поэтому на основании правила дифференцирования сложной функции, имеем: Т. о. , имеем инвариантность формы первого дифференциала относительно независимых переменных.

Частные производные и дифференциалы высших порядков • Если функция - определена в некоторой точке области и дифференцируема в ней, то её частные производные первого порядка в свою очередь будут функциями двух переменных, определёнными в той же области или её части. • Частная производная по переменной «х» от функции называется частной производной второго порядка по этой переменной и обозначается: частные производные более высоких порядков определяются аналогично.

Теорема Шварца: • Если в некоторой окрестности точки функция имеет смешанные частные производные и они непрерывны в окрестности данной точки, то они равны между собой: Следствие: Если смешанные производные второго порядка непрерывные в некоторой области D, то они совпадают в этой области. Пример 5: Найти

Дифференциал 2 -го порядка • Пусть дана функция: - дифференцируемая в области D. В любой точке из этой области можно определить её полный дифференциал: Если рассматривать дифференциал как функцию от переменных (при этом выражения не зависят от независимых переменных), тогда можно дать определение второго дифференциала: Дифференциалом от дифференциала первого порядка называется дифференциалом второго порядка и обозначается: т. е. , но

Дифференциал 2 -го порядка • Тогда получим: Аналогично определяется дифференциал более высокого порядка. При этом, удобно использовать аналог формулы бинома Ньютона: Замечание: Форма записи второго и выше дифференциалов не является инвариантной, как для первого дифференциала.