Дифференциальное исчисление функции многих переменных Экстремум функции Наименьшее

Дифференциальное исчисление функции многих переменных Экстремум функции. Наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области.

Определение экстремума функции o Пусть функция определена в области D и точка Тогда точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство:

Необходимое условие экстремума o o Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции. Теорема 1: (необходимое условие экстремума) Если функция дифференцируема в точке M 0 (x 0, y 0) и имеет в ней локальный экстремум, то в этой точке каждая из её частных производных первого порядка равны нулю. Доказательство: Если дифференцируемая функция имеет в точке локальный экстремум, то касательная плоскость к поверхности в этой точке параллельна плоскости :

Доказательство: o Если Действительно, принимая переменные, кроме одной, равные постоянному значению, получим, что функция становится одной переменной, а для неё согласно теоремы Ферма выполнено необходимое условие локального экстремума: аналогично по второй переменной. Т. о. получаем доказательство теоремы. Однако, возможны случаи, когда в точках локального экстремума частные производные не существуют или равны бесконечности. Это точки подозрительные на экстремум.

Примеры точек локального экстремума o o o Пример 1: Найти точку локального экстремума функции: Это значение – есть Пример 2: локальный максимум на всей оси ОY Пример 3: данная функция имеет локальный максимум в (. ) O (0, 0)

Критические точки функции o Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называются критическими точками функции. Критические точки функции являются точками, подозрительными на локальный экстремум. Пример: Рассмотрим функцию: т. е. (. ) (0; 0) является критической точкой, однако в любой окрестности этой точки имеются точки, значения функции в которых отличаются от нуля:

Достаточное условие локального экстремума o Теорема (без доказательства, достаточное условие локального экстремума) Пусть функция определена и дифференцируема в некоторой окрестности и имеет в этой окрестности частные производные до 2 го порядка включительно, которые непрерывны в окрестности этой точки: тогда: 1) если А>0 и в точке М 0 имеется min 2) 3) Если же - в точке М 0 имеется max в точке М 0 нет экстремума , то вопрос об экстремуме открыт.

Пример 1: o Исследовать функцию на наличие экстремума. Находим частные производные и критические точки: Далее исследуем знак определителя в точке : экстремума нет

Завершение Примера 1 o Рассмотрим точку определитель: . В этой точке т. е. в этой точке имеется локальный экстремум, который является локальным минимумом, т. к.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области o Для определения наибольшего (M) и наименьшего (m) значений функции в замкнутой области необходимо выполнить следующее: 1. Найти критические точки в области D. Определить критические точки на границе области Определить значений функции в угловых точках границы. Выбор из значений функции в выбранных точках наибольшего и наименьшего значений функции. 2. 3. 4. .

Пример 2: o Определить наибольшее и наименьшее значения функции в области: Найдём критические точки в этой области:

Завершение примера 2: o После чего составляем таблицу: Т. о. получаем