Дифференциал Понятие о дифференциале функции. Определение: Дифференциалом функции

Дифференциал

Понятие о дифференциале функции. Определение: Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная приращению независимой переменной и отличающаяся от приращения функции на бесконечно малую функцию высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной.

Связь дифференциала функции с производной. Дифференциал независимой переменной. Теорема 1. Если функция имеет дифференциал, то эта функция имеет производную. Следствие: dy = Теорема 2. Если функция имеет производную, то эта функция имеет дифференциал. Определение. Под дифференциалом независимой переменной понимается дифференциал функции, тождественной с независимой переменной, т.е. y = x. y= 1, то dy = dx =. Следствие: dy =

Свойства дифференциала. Предполагаем, что функции дифференцируемы dc = 0; 2.d(u+c) = du; 3.d(u+v-w) = du+dv-dw; 4.d(cu) = cdu; 5.d(uv) = vdu + udv; 6.d = ; 7.Дифференциал сложной функции. y = f((x)); y = f(u); u = ((x); yx = yu ux dx yxdx = yu(uxdx)  dy = yu  uxdx   dy du

dy = yudu – эта формула совпадает по форме с dy = yxdx, но есть и принципиальное отличие в x – независимая переменная и dx; а в dy = yudu u есть функция du  . Из функции dy = yudu  Независимость вида дифференциала от выбора независимой переменной. ! Дифференциал функции = произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, при этом аргумент может быть как независимой переменной, так и дифференцируемой функцией от другой независимой переменной.

Таблица дифференциалов функций dun = nun-1du dan = an lnadu den - endu d(logau) = d (sinu) = cosudu d(cosu) = -sinudu d(tgu) =

8.d(ctgu) = - 9.d(arcsinu) = 10.d(arccosu) = - 11.d(arctgu) = 12.d(arcctgu) = - 13.df(u) = f(u)du.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала. y =f(x); x; x+  D(y); y дифференцируема    

Дифференциалы высших порядков. y =f(x); x – независимая переменная, f(x) – дифференцируемая функция. d f(x) = f(x)dx. Определение. Дифференциалом второго порядка d2f(x) функции y =f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции. dx – const, dy – функция x.