Дифференциал Понятие о дифференциале функции Определение Дифференциалом

Дифференциал

Понятие о дифференциале функции. Определение: Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная приращению независимой переменной и отличающаяся от приращения функции на бесконечно малую функцию высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной.

Связь дифференциала функции с производной. Дифференциал независимой переменной. Теорема 1. Если функция имеет дифференциал, то эта функция имеет производную. Следствие: dy = Теорема 2. Если функция имеет производную, то эта функция имеет дифференциал. Определение. Под дифференциалом независимой переменной понимается дифференциал функции, тождественной с независимой переменной, т. е. y = x. y = 1, то dy = dx =. Следствие: dy =

Свойства дифференциала. Предполагаем, что функции дифференцируемы 1. dc = 0; 2. d(u+c) = du; 3. d(u+v-w) = du+dv-dw; 4. d(cu) = cdu; 5. d(uv) = vdu + udv; 6. d = ; 7. Дифференциал сложной функции. y = f( (x)); y = f(u); u = ( (x); y x = y u u x dx y xdx = y u (u xdx) dy = y u u xdx dy du

dy = y u du – эта формула совпадает по форме с dy = y x dx, но есть и принципиальное отличие в x – независимая переменная и dx; а в dy = y u du u есть функция du . Из функции dy = y u du Независимость вида дифференциала от выбора независимой переменной. ! Дифференциал функции = произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, при этом аргумент может быть как независимой переменной, так и дифференцируемой функцией от другой независимой переменной.

Таблица дифференциалов функций 1. dun = nun-1 du 2. dan = an lna du 3. den - en du 4. d(logau) = 5. d (sinu) = cosu du 6. d(cosu) = -sinu du 7. d(tgu) =

8. d(ctgu) = - 9. d(arcsinu) = 10. d(arccosu) = 11. d(arctgu) = 12. d(arcctgu) = 13. df(u) = f (u) du.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала. y =f(x); x+ D(y); y дифференцируема

Дифференциалы высших порядков. y =f(x); x – независимая переменная, f(x) – дифференцируемая функция. d f(x) = f (x)dx. Определение. Дифференциалом второго порядка d 2 f(x) функции y =f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции. dx – const, dy – функция x.