Диагонали выпуклого четырехугольника Решая задачи на выпуклые

Диагонали выпуклого четырехугольника

Решая задачи на выпуклые четырехугольники, необходимо знать следующие теоремы и утверждения: Признаки параллельности прямых Прямая и обратная теоремы Пифагора Соотношения между сторонами в прямоугольном треугольнике

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ Если внутренние накрест лежащие (или соответственные) углы равны, то прямые параллельны. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Для всякой тройки положительных чисел a, b и c такой, что a 2 + b 2 = c 2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ Катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу: Высота, опущенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу:

ВЫРАЖЕНИЕ ДИАГОНАЛЕЙ ВПИСАННОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ЧЕРЕЗ ЕГО СТОРОНЫ Теорема Птолемея: произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон: mn = ac + bd.

ЗАДАЧА 1 В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB = 7, BC = 15, CD = 21, AD = 13, диагональ AC = 20. Найти длину диагонали BD.

Решение задачи 1. 1) В тр-ках ABC и ACD по теореме косинусов: BC 2=AB 2+AC 2 – 2 AB·AC·cosα и AD 2=CD 2+AC 2 – 2 CD·AC·cosβ, или 152=72+202 -2· 7· 20·cosα ; cosα =0, 8. 132=212+202 -2· 21· 20·cosβ; cosβ = 0, 8. Углы α и β – острые, так как лежат против средней и меньшей сторон в тр-ках ABC и ACD соответственно. Поэтому из равенства косинусов углов следует равенство и самих углов: α = β. По признаку параллельности прямых имеем: AB||СВ, следовательно, четырехугольник ABCD – трапеция.

Решение задачи 1 (продолжение) 2) В Δ ACD по формуле Герона: S= √ 27· 14· 6· 7 = 126. S = ½ ВС·h, откуда h= (126· 2) : 21 = 12. 3) Из прямоугольного треугольника BCE найдем : ЕC=√ВС 2 -ВЕ 2 = √ 152 -122 = 9; DE = DC-EC = 21 -9 =12. 4) Из прямоугольного треугольника BDE найдем длину искомой диагонали: BD = √ BE 2 +DE 2 = √ 144+144 = 12√ 2 Примечание: Анализируя решение, мы видим, что числовые данные в задаче подобраны весьма удачно. Если попытаться решить эту задачу в общем виде, то очень быстро можно получить непомерно громоздкое решение.

ЗАДАЧА 2 В выпуклом четырехугольнике PQFT стороны PQ = 13, QF = 5, FT = 15, TP = 9, диагональ PF = 12. Найти длину диагонали QT.

Решение задачи 2. 1) Δ PFQ: 52+122=132, Δ TPF: 92+122=152, поэтому Δ PFQ и Δ TPF прямоугольные; по теореме, обратной теореме Пифагора. Следовательно, PT перпендикулярно РF и PF перпендикулярно QF. По признаку параллельности прямых стороны QF и PT четырехугольника PQFT параллельны, поэтому PQFT является трапецией. 2) Из вершины Q трапеции PQFT опустим перпендикуляр на продолжение стороны PT. Очевидно, что QA=FP=12, AP=QF=5 и AT=AP+PT=5+9=14. По теореме Пифагора для прямоугольного ΔATQ: QT 2=QA 2+AT 2= =122+142=340; QT=2√ 85. Ответ: 2√ 85.

ЗАДАЧА 3 В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB = 3, BC = 4, CD = 13, AD = 12, диагональ AC = 5. Найти длину диагонали BD.

Решение задачи 3. 1) Δ ABC: 32+42=52, Δ CAD: 52+122=132, поэтому Δ ABC и Δ CAD прямоугольные по теореме, обратной теореме Пифагора (это намного облегчает решение данной задачи). 2) В прямоугольном Δ ABC из вершины В проведем высоту BM и точку M соединим с вершиной D четырехугольника ABCD. Т. к. BM |_ AC и AD |_ AC, то по признаку параллельности прямых имеем BM|| AD, следовательно, четырехугольник ABMD – трапеция. 3) В прямоугольном Δ ABC: AB 2=AC·AM, отсюда 9=5 AM, AM =9/5. 3) В прямоугольном Δ AMB: BM 2=AB 2 -AM 2 = 32 –(9/5)2 ; BM= 12/5.

Решение задачи 3 (продолжение) 4) Из вершины В четырехугольника ABCD проведем прямую, параллельную диагонали AC, до пересечения с продолжением стороны DA в точке K. 5) В прямоугольном Δ BKD найдем его катеты: BK=AM=9/5 и KD=KA+AD=12/5+12=72/5; найдем его гипотенузу, которая является искомой диагональю: BD 2= BK 2+KD 2 =(9/5)2 + (72/5)2=5265/25, BD=1, 8√ 65. Ответ. BD=1, 8√ 65

ЗАДАЧА 4 В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB = 25, BC = 60, CD = 52, AD = 39, диагональ AC = 65. Найти длину диагонали BD.

Решение задачи 3. 1) Δ ABC и Δ ADC-прямоугольные по теореме, обратной теореме Пифагора: 652=252+602, 652= 392+522. 2) ʟB+ ʟD =90°+90° = 180°. Значит, около четырехугольника ABCD можно описать окружность. 3) Для вписанного в окружность четырехугольника ABCD применим теорему Птолемея: AC·BD = AB·CD +AD·BC, 65·BD =39· 60 + 25· 52, откуда BD = 56. Ответ: BD = 56.

ЗАДАЧА 5 В выпуклом четырехугольнике MEPF стороны ME = 20, EP = 14, PF = 15, MF = 21, диагональ EF = 13. Найти длину диагонали MP. ЗАДАЧА 6 В выпуклом четырехугольнике DCKE стороны DC = 15, CK = 29, KE = 21, ED = 25, диагональ CE = 20. Найти длину диагонали KD.

ЗАДАЧА 7 В выпуклом четырехугольнике MBEC стороны MB = 15, BE = 10, EC = 6, MC = 17, диагональ BC = 8. Найти длину диагонали ME. ЗАДАЧА 8 В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB = 24, BC = 6, CD = 8, AD = 26, диагональ BD = 10. Найти длину диагонали AC.

ЗАДАЧА 9 В выпуклом четырехугольнике AKEM стороны AK = 21, KE = 12, EM = 16, AM = 29, диагональ KM = 20. Найти длину диагонали AE. ЗАДАЧА 10 В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB = 8, BC = 9, CD = 12, AD = 17, диагональ BD = 15. Найти длину диагонали AC.

ЗАДАЧА 11 В выпуклом четырехугольнике AMKC стороны AM = 51, MK = 68, CK = 75, AC = 40, диагональ AK = 85. Найти длину диагонали CM. ЗАДАЧА 12 В выпуклом четырехугольнике MACE стороны MA = 7, AC = 24, CE = 20, ME = 15, диагональ MC = 25. Найти длину диагонали AE.