Деревья Изображение графов Дискретная математика Определения Дерево

Деревья. Изображение графов. «Дискретная математика»

Определения: Дерево - это связный граф без циклов. Дерево - это связный граф, в котором при N вершинах всегда ровно N-1 ребро. 3. Дерево - это граф, между любыми двумя вершинами которого существует ровно один путь 4. Дерево — это связный ациклический граф. Связность означает наличие путей между любой парой вершин, ацикличность — отсутствие циклов и то, что между парами вершин имеется только по одному пути. 1. 2. Ориентированное дерево - орграф, в котором между любыми двумя вершинами существует не более одного пути.

Примеры деревьев: Простейшее дерево состоит из двух вершин, соединенных ребром.

Если добавить ребро, то добавляется и вершина. Ребра графа, принадлежащие дереву, называют ветвями, остальные ребра называют хордами.

Дерево Вершины Ребра (дуги) Армия Солдаты и офицеры Иерархия (командир - подчиненный) Династия (родословная по мужской линии) Монархи Отношение "отец - сын"

Связанные определения: С т е п е н ь у з л а — количество исходящих дуг (или, иначе, количество поддеревьев узла). К о н ц е в о й у з е л — узел со степенью 1 (то есть узел, в который ведёт только одно ребро; в случае ориентированного дерева — узел, в который ведёт только одна дуга и не исходит ни одной дуги). У з е л в е т в л е н и я — неконцевой узел. У р о в е н ь у з л а — длина пути от корня до узла. Л е с — множество (обычно упорядоченное), не содержащее ни одного непересекающегося дерева или содержащее несколько непересекающихся деревьев. Если все вершины графа принадлежат дереву, то он называется покрывающим.

Виды деревьев I. Корневое дерево — дерево, в котором выделена одна вершина (корень дерева). Высота корневого дерева - это максимальное количество дуг, отделяющих листья от корня. Если дерево не взвешенное, то его высота - это просто расстояние от корня до самого удаленного листа.

II. Двоичное дерево - древовидная структура данных, в которой каждый узел имеет не более двух потомков (детей). Как правило, первый называется родительским узлом, а дети называются левым и правым наследниками.

III. Двоичное дерево поиска

IV. Двоичная куча, пирамида, или сортирующее дерево структура данных для хранения двоичной кучи

V. АВЛ-дерево — сбалансированное по высоте двоичное дерево поиска: для каждой его вершины высота её двух поддеревьев различается не более чем на 1. VI. Дерево Фибоначчи — АВЛ-дерево с наименьшим числом вершин при заданной высоте (глубине). VII. Суффиксное дерево — бор, содержащий все суффиксы некоторой строки (и только их). Позволяет выяснять, входит ли строка w в исходную строку t, за время O(|w|), где |w| — длина строки w. VIII. N-арные деревья Для них есть ориентированные и неориентированные случаи, а также соответствующие абстрактные структуры данных. N-арное дерево (неориентированное) — это, в котором степени вершин не превосходят N+1. N-арное дерево (ориентированное) — это ориентированное дерево, в котором исходящие степени вершин (число исходящих рёбер) не превосходят N.

X. Минимальное остовное дерево (или минимальное покрывающее дерево) в связанном, взвешенном, неориентированном графе — это остовное дерево этого графа, имеющее минимальный возможный вес, где под весом дерева понимается сумма весов входящих в него рёбер.

XI. Красно-чёрное дерево — это одно из самобалансирующихся двоичных деревьев поиска, гарантирующих логарифмический рост высоты дерева от числа узлов и быстро выполняющее основные операции дерева поиска: добавление, удаление и поиск узла.

Свойства: Дерево не имеет кратных рёбер и петель. Граф является деревом тогда и только тогда, когда любые две различные его вершины можно соединить единственной простой цепью. Любое дерево однозначно определяется расстояниями (длиной наименьшей цепи) между его концевыми (степени 1) вершинами. Любое дерево является двудольным. Любое дерево, множество вершин которого не более чем счётное, является планарным графом. Для любых трёх вершин дерева, пути между парами этих вершин имеют ровно одну общую вершину.

Задачи № 1. Докажите, что граф, в котором любые две вершины соединены ровно одним простым путем, является деревом.

Решение: Очевидно, что данный граф связен. Предположим теперь, что в нем есть цикл. Тогда любые две вершины этого цикла соединены по крайней мере двумя простыми путями. Получили противоречие, значит, наше предположение неверно.

№ 2. Докажите, что в дереве любые две вершины соединены ровно одним простым путем.

Решение: 1) выбрать первую точку, в Предположим противное и которой пути расходятся рассмотрим те две вершины, 2) за выбранной точкой на которые соединены двумя пути 1 найти первую точку, разными простыми путями. На принадлежащую также и пути первый взгляд кажется, что 2 пройдя от одной вершины к Теперь участки первого и другой по первому пути, и второго пути между точками вернувшись по второму, мы A и B образуют простой цикл. получим цикл. К сожалению, это не совсем так. Дело в том, что первый и второй пути могут иметь общие вершины (кроме начала и конца), а по определению цикла вершины в нем не должны повторяться. Для того, чтобы выделить настоящий цикл из уже полученного нужно сделать следующее:

№ 3. Докажите, что при удалении любого ребра из дерева оно превращается в несвязный граф.

Решение: Предположим, что концы удаленного ребра в новом графе соединены простым путем. Тогда этот путь вместе с удаленным ребром образует в исходном графе цикл.