Демонстрационная презентация курса Лекция 4 ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ РАСЧЕТЫ

Демонстрационная презентация курса Лекция 4 ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ РАСЧЕТЫ. КРИВЫЕ ДОХОДНОСТИ

Средние процентные ставки n Если в финансовой операции размер процентной ставки изменяется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью средней. n Замена всех усредняемых значений ставок на среднюю процентную ставку не изменяет результатов наращения или дисконтирования.

n Простые ставки. Пусть за последовательные периоды n 1, n 2, …, nk начисляются простые проценты по ставкам i 1, i 2, …, ik Искомые средние получают приравнивая соответствующие множители наращения друг к другу:

(1) N – общий срок наращения процентов

n Средняя учетная ставка (2)

n Сложные переменные во времени ставки сложных процентов (3)

n Усреднение ставок, применяемых в нескольких однородных операциях, которые различаются суммами ссуд и процентными ставками (4)

n Усреднение сложных ставок для однородных ссудных операций Сроки операций одинаковы (5)

Эквивалентность процентных ставок n Для процедур наращения и дисконтирования могут применяться различные виды процентных ставок. Определим те их значения, которые в конкретных условиях приводят к одинаковым финансовым результатам, т. е. замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет финансовых отношений сторон в рамках одной операции. n Для участвующих в сделке сторон в общем безразлично, какой вид ставки фигурирует в контракте. Такие ставки назовем эквивалентными.

n Формулы эквивалентности ставок во всех случаях получают приравнивая попарно множители наращения. n Предполагается, что начальные и наращенные суммы применении двух видов ставок идентичны. (6)

n Из равенства получим соотношения эквивалентности: (7) (8)

Эквивалентность простых процентных ставок n При выводе искомых соотношений между ставкой процента и учетной ставкой следует иметь в виду, что применении этих ставок используется временная база К 360 или 365 дней. Если временные базы одинаковы, то из равенства соответствующих множителей наращения следует (9) (10) n где n — срок в годах, i. S — ставка простых процентов, d. S — простая учетная ставка.

Эквивалентность простых и сложных ставок n Рассмотрим соотношения эквивалентности простых ставок is и ds, с одной стороны, и сложных ставок i и j, с другой. Попарно приравняв друг к другу соответствующие множители наращения, получим набор искомых соотношений.

n Эквивалентность is и j (11) (12)

n Эквивалентность ds и i (13) (14)

n Эквивалентность ds и j (15) (16)

Эквивалентность сложных ставок

Финансовая эквивалентность обязательств n На практике нередко возникают случаи, когда необходимо заменить одно денежное обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т. п. Ясно, что такие изменения не могут быть произвольными. Неизбежно возникает вопрос о принципе, на котором должны базироваться изменения условий контрактов. Таким общепринятым принципом является финансовая эквивалентность обязательств.

n Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи "приведенными" к одному моменту времени оказываются равными. n Приведение осуществляется путем дисконтирования или наращения суммы платежа. n Если при изменении условий контракта принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить.

n По существу, принцип эквивалентности в наиболее простом проявлении следует из формул наращения и дисконтирования, связывающих величины Р и S. Сумма Р эквивалентна S принятой процентной ставке и методе ее начисления. n Две суммы денег S 1 и S 2 выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. Замена S 1 на S 2 в этих условиях формально не изменяет отношения сторон.

n Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки и, следовательно, его результат зависит от выбора ее размера. n Эта зависимость не столь жестка. n Допустим, сравниваются два платежа S 1 и S 2 со сроками n 1 и n 2 , причем S 1 < S 2 и n 1 < n 2.

n Соотношение современных стоимостей зависит от размера процентной ставки. n С ростом i размеры современных стоимостей уменьшаются. Результат сравнения зависит от размера ставки, равной i 0. n Эту ставку называют критической или барьерной.

n Если дисконтирование производится по сложной ставке, то

Консолидирование (объединение) задолженности Принцип финансовой эквивалентности платежей применяется при различных изменениях условий выплат денежных сумм: n n их объединении, изменении сроков (досрочном погашении задолженности, пролонгировании срока) и т. то общий метод решения заключается в разработке уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате.

n Для краткосрочных обязательств приведение осуществляется обычно на основе простых ставок, для средне- и долгосрочных — с помощью сложных процентных ставок. n Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является консолидация (объединение) платежей.

Пусть платежи S 1, S 2, …Sm со сроками n 1, n 2, …nm заменяются одним в сумме S 0 и сроком n 0. В этом случае возможны две постановки задачи: если задается срок n 0, то находится сумма S 0 и наоборот, если задана сумма консолидированного платежа S 0, то определяется срок n 0. Рассмотрим обе постановки задачи.

Определение размера консолидированного платежа n Пусть n 1< n 2<…< nm , из уравнения эквивалентности при использовании простых процентных ставок получим Sj – размеры объединяемых платежей со сроками nj < n 0, Sk – размеры платежей со сроками nk > n 0

n Консолидацию платежей можно осуществить на основе сложных процентных ставок. n Если n 1< n 0< nm , то

Определение срока консолидированного платежа n Если при объединении платежей задана величина консолидированного платежа S 0, то возникает проблема определения его срока n 0. В этом случае уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей.

n При применении простой ставки получим

n Очевидно, что решение может быть получено при условии, что размер заменяющего платежа не может быть меньше суммы современных стоимостей заменяемых платежей. n Искомый срок пропорционален величине консолидированного платежа.

n При применении сложной ставки получим

Налоги и инфляция n В рассмотренных выше методах определения наращенной суммы не учитывались налоги и инфляция. n Налог на полученные проценты. В ряде стран полученные (юридическими, а иногда и физическими лицами) проценты облагаются налогом, что, естественно, уменьшает реальную наращенную сумму и доходность депозитной операции. n Пусть S - наращенная сумма до выплаты налогов, S‘ - наращенная сумма с учетом налогов, g - ставка налога на проценты равна, G - общая сумма налога.

n При начислении налога на проценты возможны два варианта: налог начисляется за весь срок сразу, т. е. на всю сумму процентов, n последовательно по периодам, например в конце каждого года. n

n При начислении простых процентов за весь срок: n Учет налога при определении наращенной суммы сводится к соответствующему сокращению процентной ставки — вместо ставки i фактически применяется ставка (1 -g)i. Размер налога пропорционален сроку.

Долгосрочные операции со сложными процентами. Определение налога за весь срок n Сумма налога равна n Наращенная сумма после выплаты налога составит

Долгосрочные операции со сложными процентами. Определение налога за каждый истекший год n В этом случае сумма налога величина переменная - с ростом наращенной суммы растет и сумма налога. Налог на проценты за t-й год составит n За весь срок сумма налогов будет равна

n Замечание: метод взыскания налога не влияет на общую его сумму. Однако, для плательщика налога далеко небезразлично, когда он его выплачивает.

Инфляция n В рассмотренных выше методах наращения все денежные величины измерялись по номиналу, т. е. не принималось во внимание снижение реальной покупательной способности денег за период, охватываемый операцией. n Однако, инфляция в денежных отношениях играет заметную роль, и без ее учета конечные результаты часто представляют собой условную величину. n Инфляцию необходимо учитывать в случае: n n расчета наращенной суммы денег, измерении реальной эффективности (доходности) финансовой операции.

Введем обозначения: S - наращенная сумма денег, измеренная по номиналу, S - наращенная сумма с учетом ее обесценения, Ip - индекс цен, I - индекс, характеризующий изменение покупательной способности денег за период h - темп инфляции

Очевидно, что S = S I Индекс покупательной способности денег равен обратной величине индекса цен - чем выше цены, тем ниже покупательная способность:

n Под темпом инфляции h понимается относительный прирост цен за период, он измеряется в процентах и равен h = 100 (Iр - 1). В свою очередь

n Инфляция является цепным процессом. Следовательно, индекс цен за несколько периодов равен произведению цепных индексов цен: где ht — темп инфляции в периоде t

n Если h - постоянный ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции за один период, то за n таких периодов получим

n Если наращение производится по простой ставке, то наращенная сумма с учетом покупательной способности равна Увеличение наращенной суммы с учетом ее инфляционного обесценения имеет место только тогда, когда 1 + in > Ip

n Если наращение производится по сложным процентам, то наращенная сумма с учетом покупательной способности равна

n Величины, на которые умножаются Р в предыдущих формулах представляют собой множители наращения, учитывающие ожидаемый уровень инфляции.

n Выясним, как совместно влияют сложная ставка i и темп инфляции h на значение множителя наращения. n Если среднегодовой темп инфляции равен процентной ставке, то роста реальной суммы не произойдет - наращение будет поглощаться инфляцией, и следовательно, S = Р. n Если h/100 > i, то наблюдается "эрозия" капитала его реальная сумма будет меньше первоначальной. n Если h/100 < i, то происходит реальный рост, реальное накопление.

n Очевидно, что при начислении процентов ставка, компенсирующая инфляции, соответствует величине простых влияние n Ставку, превышающую критическое значение i’ (при начислении сложных процентов i’=h), называют положительной ставкой процента.

n Владельцы денег, не могут смириться с их обесцениванием и предпринимают различные попытки компенсации потерь. Наиболее распространенным является корректировка ставки процента, по которой производится наращение, т. е. увеличение ставки на величину инфляционной премии. n Итоговую величину можно назвать бруттоставкой.

n Определим брутто-ставку r при условии полной компенсации инфляции. При сложной процентной ставке: наращении по

n На практике скорректированную по темпу инфляции ставку часто рассчитывают проще: n Предыдущая формула по сравнению с данной содержит один дополнительный член, которым при незначительных величинах i и h можно пренебречь. Если же они значительны, то ошибка (не в пользу владельца денег) станет весьма ощутимой.

n При наращении по простым процентам имеем Ip - индекс цен за учитываемый период. При больших темпах инфляции корректировка ставки имеет смысл только для кратко- или среднесрочных операций.

Измерение реальной доходности финансовой операции т. е. доходности с учетом инфляции. n Если r объявленная норма доходности (или брутто-ставка), то реальный показатель доходности в виде годовой процентной ставки i можно определить при наращении сложных процентов

n При начислении простых процентов, реальный показатель доходности в виде процентной ставки i находим как годовой n Реальная доходность здесь зависит от срока операции. Положительной простая ставка i может быть только при условии, что 1 + nr > Ip

n Другой способ компенсации инфляции через индексацию исходной суммы задолженности. В этом случае

Кривые доходности n Процентная ставка является измерителем доходности финансовой операции. Ее значение зависит от многих факторов. Для практика важно представить закономерность изменения величины доходности, в зависимости от некоторых фундаментальных факторов. n Наиболее важным из них является риск невозврата вложенных средств. Очевидно также, что подобного рода риск существенно зависит от срока ссуды. n Так, при всех прочих равных условиях ссуда на 5 лет более рискованна, чем на 2 года.

n Компенсировать риск владельцу денег может повышение ожидаемой доходности, договорной процентной ставки. n Таким образом, зависимость "доходность — риск" приближенно можно охарактеризовать с помощью зависимости "Доходность — срок", получить которую для практических целей существенно проще. n Такую зависимость, представленную в виде графика, называют кривой доходности.

n На графике по вертикали откладывают доходность (Y), по горизонтали - срок (n). Если график охватывает широкий диапазон сроков (как краткосрочные, так и долгосрочные операции), то для измерения срока применяют логарифмическую шкалу. A Б

n Для нормальных экономических условий кривая доходности имеет форму кривой А: доходность (У) здесь растет по мере увеличения срока. Причем каждая следующая единица прироста срока дает все меньшее увеличение доходности. Такую кривую называют положительной, или нормальной кривой доходности.

n Нормальная форма кривой наблюдается в условиях, когда инвесторы в своей массе учитывают такие факторы, как рост неопределенности финансовых результатов (риска) при увеличении срока. n Положительная кривая может интерпретироваться как указание на то, что инвесторы ожидают рост ставок в будущем. Иногда эта же форма кривой считается симптомом относительной стабильности денежно-кредитного рынка.

n Кривая доходности, близкая к горизонтальной прямой (линия Б), указывает на то, что инвесторы не принимают во внимание или в малой степени учитывают риск, связанный со сроком.

n Иногда встречаются "отрицательные" и "сгорбленные" кривые доходности. Первая из названных кривых соответствует уменьшению доходности финансового инструмента по мере роста срока (высокая нестабильность рынка, ожидание повышения процентных ставок), вторая — падению доходности после некоторого ее роста.