Делимость двучленов m ± am на x ± a x
Cледствием теоремы Безу являются следующие признаки делимости двучленов: 1. Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих чисел, Т. е. двучлен хm – am делится на х – а при любом m ∈ N Частное состоит из m членов и имеет следующий вид показатели при х непрестанно убывают на единицу; в то же время показатели при а возрастают на единицу, так что сумма показателей неизменно равна m - 1; все коэффициенты равны 1
Примеры (х2 - а 2): (х - а) = х+а; (х3 - а 3): (х - а) = x 2 + ax + a 2 (x 4 - a 4): (x - а) = x 3 +ax 2 +a 2 x +a 3 (x 5 – a 5): (x - а) = x 4 +ax 3 +a 2 x 2 +a 3 x+a 4
2. Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится не только на разность этих чисел (пункт 1), но и на их сумму, т. е. двучлен хm - аm при четном m делится и на x - а и на х +a. Во втором случае частное имеет вид (знаки плюс и минус чередуются) 2 а. Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел. Например, ни x 3 – a 3, ни x 5 – a 5 не делится на x + a.
Примеры (х2 - а 2): (х + а) = х - а; (х4 – а 4): (х + а) = x 3 – ax 2 + a 2 x – a 3; (x 6 – a 6): (x + а) = x 5 – ax 4 +a 2 x 3 - a 3 x 2+ a 4 x – a 5.
Замечание Так как разность четных степеней делится на х — а и на х + а, то она делится и на х2 - a 2. Примеры. (х4 – а 4): (х2 – а 2) = x 2+a 2; (х6 – а 6): (х2 – а 2) = x 4+a 2 x 2+a 4 (х8 – а 8): (х2 – а 2) = x 6+a 2 x 4+a 4 x 2+a 6
3. Сумма одинаковых степеней двух чисел никогда не делится на разность этих чисел. Двучлен хm – am не делится на x-a Например, ни x 2 +a 2 , ни x 3 +a 3, ни x 4 +a 4 не делится на х – а.
4. Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится на сумму этих чисел (в частном знаки плюс и минус чередуются). Т. е. двучлен xm +am делится на x+a Примеры. (х3 + а 3): (х + а) = x 2 – ax +a 2 (x 5+a 5): (x+a) = x 4 – ax 3 +a 2 x 2 – a 3 x +a 4 4 a. Суммы одинаковых четных степеней двух чисел не делятся не только на разность (пункт 3), но и на сумму этих чисел. Например, x 6 +a 6 не делится ни на x – a, ни на x + a.