Деление многочленов Методическая разработка Поляковой Е А МОУ

Деление многочленов Методическая разработка Поляковой Е. А. МОУ «Гимназия № 22 г. Белгорода»

Повторение Выполнить деление: 1). 3 х³ : 3 х² 4). х³ : 2 х² 2). − 4 х² : 4 х 5). − 3 х² : 2 х² 3). 6 х³ : 3 х 6). х³ : 3 х Выполнить вычитание: 1). 3 х³ − 5 х² − 6 х ─ 3 х³ + х² − 4 х − 6 х² − 2 х 2). − 4 х² − х + 5 ─ − 4 х² − 5 х 4 х + 5 3). 6 х³ + 11 х² − 1 ─ 6 х³ + 9 х² − 3 х 2 х² + 3 х− 1

Многочлены 5 х² − 6 х − 2; − 4 х³ + 2 х² − 3 х записаны в стандартном виде, и показатели степеней буквы х расположены в порядке убывания. Тогда первый член многочлена − это его старший член; показатель степени буквы х в старшем члене − это степень многочлена; член многочлена, не содержащий буквы х − это свободный член. 5 х² − 6 х − 2 − это многочлен второй степени; − 4 х³ + 2 х² − 3 х − это многочлен третьей степени.

В общем случае многочлен n – й степени записывают так:

Деление многочленов нацело При сложении, вычитании, умножении многочленов получается многочлен, например: 1. (5 х²+3 х+6)+(− 3 х²+4 х− 9)= 5 х²+3 х+6− 3 х²+4 х− 9 = 2 х²+7 х− 3; 2. (− 2 х²+7 х)−(3 х²+х+1)= − 2 х²+7 х− 3 х² − х− 1= − 5 х² + 6 х− 1; 3. (х+5)(х²− 3) = х³ − 3 х + 5 х² − 15. При делении многочлена на многочлен может получиться многочлен, тогда деление выполнено нацело.

Проблема Решить уравнение

Разделить многочлен 3 х³ − 5 х² − 6 х + 8 на многочлен 3 х² + х − 4. Деление можно выполнить уголком, как и деление натуральных чисел: делитель 3 х² + х − 4 делимое 3 х³ − 5 х² − 6 х + 8 ─ частное х− 2 3 х³ + х² − 4 х делимое ─ − 6 х² − 2 х + 8 0 делимое первый остаток Остаток равен нулю, поэтому многочлен 3 х³ − 5 х² − 6 х + 8 делится нацело на многочлен 3 х² + х − 4, т. е. в результате деления многочленов снова получился многочлен.

Алгоритм деления многочленов уголком 1. Расположить делимое и делитель по убывающим степеням переменной х. 2. Разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен записать первым членом частного. 3. Первый член частного умножить на делитель, результат вычесть из делимого; полученная разность является первым остатком. 4. Старший член этого остатка разделить на старший член делителя; полученный одночлен записать вторым членом частного и умножить его на делитель; результат вычесть из первого остатка; получим второй остаток и т. д. Это следует продолжить до тех пор, пока не будет получен остаток, равный нулю.

Как и при делении чисел, результат деления многочленов можно проверить умножением. Если многочлен степени n ≥ 1 делится нацело на степени k ≥ 1, k ≤ n и в результате получается многочлен степени m ≥ 1, m ≤ n, то справедливо равенство Это равенство называют формулой деления многочлена на многочлен называют частным от деления на при этом обязательно, чтобы n = m + k.

№ 1. Найти частное (результат проверить умножением): (х² − 2 х − 35) : (х − 7); х² − 2 х − 35 ─ х² − 7 х 5 х − 35 ─ 5 х − 35 0 х − 7 х +5 № 2 (− 4 х² − х + 5) : (4 х + 5); − 4 х² − х + 5 4 х + 5 ─ −х+1 − 4 х² − 5 х ─ 4 х + 5 0 (х + 5) (х − 7) = х² − 7 х + 5 х − 35 = х² − 2 х − 35; (4 х + 5) ( − х + 1) = − 4 х² − 5 х + 4 х + 5 = − 4 х² − х + 5.

№ 3. Найти частное (результат проверить умножением): 6 х³ + 7 х² − 6 х + 1 3 х − 1 ─ 6 х³ − 2 х² + 3 х − 1 9 х² − 6 х ─ 9 х² − 3 х ─ − 3 х + 1 0 (2 х² + 3 х − 1) (3 х − 1) = 6 х³ − 2 х² + 9 х² − 3 х + 1 = = 6 х³ + 7 х² − 6 х + 1 показать

№ 4. Найти частное (результат проверить умножением): 2 х² + 3 х − 1 6 х³ + 11 х² − 1 ─ 6 х³ + 9 х² − 3 х 3 х + 1 2 х² + 3 х− 1 ─ 2 х² + 3 х − 1 0 (3 х + 1)(2 х² + 3 х − 1) = 6 х³ + 9 х² − 3 х + 2 х² + 3 х − 1 = = 6 х³ + 11 х² − 1 показать

№ 5. Выполнить деление: ─ ─ ─ 0 показать

№ 6. Выяснить, делится ли нацело многочлен Р(х) на многочлен Q(x): ─ 2 х³ + 3 х² ─ 0 Ответ: делится, т. к остаток равен нулю. показать

№ 7. Выяснить, при каком значении а многочлен Р(х) делится нацело на многочлен Q(x): Р(х) = 5 х³ − 9 х² + 13 х + а, Q(х) = 5 х + 1 Выполним деление уголком: 5 х + 1 5 х³ − 9 х² + 13 х + а ─ х² − 2 х +3 5 х³ + х² − 10 х²+13 х ─ − 10 х² − 2 х ─ 15 х + а 15 х + 3 а− 3 Ответ: при а = 3. По смыслу задания остаток а − 3 должен равняться нулю, поэтому а − 3 = 0, а = 3.

№ 8. Найти такой многочлен Q(х), чтобы многочлен Р(х) делился нацело на Q(х) и частное от деления равнялось М(х). 1) Р(х) = 4 х³ − 5 х² + 6 х + 9, М(х) = х² − 2 х + 3. Решение. По формуле деления должно выполняться равенство Р(х) = М(х) ∙ Q(х). Задача свелась к нахождению делителя по известным делимому и частному. Поэтому Q(х) = Р(х) : М(х) 4 х³ − 5 х² + 6 х + 9 х² − 2 х + 3 ─ 4 х³ − 8 х² + 12 х 4 х + 3 ─ 3 х² − 6 х + 9 0 Ответ: Q(х) = 4 х + 3.

Деление многочленов с остатком Покажем деление многочленов в случаях, когда многочлены не делятся нацело. Разделить многочлен х³ − х² − 2 х + 4 на многочлен х² − 3 х + 1. Выполним деление уголком: х² − 3 х + 1 х³ − х² − 2 х + 4 ─ х +2 х³ − 3 х² + х 2 х² − 3 х+ 4 ─ 2 х² − 6 х + 2 3 х + 2 Дальнейшее деление невозможно, так как степень последнего остатка 1 меньше степени делителя 2. Ответ: частное х + 2, остаток 3 х + 2.

Деление многочленов с остатком Формула деления многочлена многочлен степени n ≥ 1 на степени k ≥ 1, k ≤ n с остатком такова: При этом степень частного m = n − k, степень остатка l < k. Многочлен многочлен называют неполным частным, называют остатком.

№ 9. Написать формулу деления многочлена Р(х) на многочлен Q(х): Р(х) = 6 х³ + 3 х² − 4 х + 3, Решение. Q(х) = 2 х + 1 Формула деления: Выполним деление Р(х) на Q(х) с остатком: 2 х + 1 6 х³ + 3 х² − 4 х + 3 ─ 3 х² ─ 2 6 х³ + 3 х² ─ − 4 х + 3 − 4 х ─ 2 5 Р(х) = (3 х² − 2) ∙ Q(х) + 5, показать

№ 10. Найти частное М(х) и остаток R(x) от деления многочлена Р(х) на многочлен Q(х): Р(х) = х³ − 3 х², Q(х) = 2 х² + 5 Решение. Выполним деление Р(х) на Q(х) с остатком R(x) : ─ 2 х² + 5 х³ − 3 х² х³ + 2, 5 х 0, 5 х ─ 1, 5 − 3 х² − 2, 5 х ─ − 3 х² ─ 7, 5 − 2, 5 х + 7, 5 Ответ: частное М(х) = (3 х² − 2); остаток R(х) = − 2, 5 х + 7, 5. показать

№ 11. Найти такой многочлен Q(х), чтобы при делении многочлена Р(х) на Q(х) частное было равно М(х) и остаток был равен R(x). 2) Р(х) = 2 х³ − 3 х + 5, М(х) = 2 х − 4, R(х) = 5 х + 5. Решение. По формуле деления должно выполняться равенство Р(х) = М(х) ∙ Q(х) + R(x). Задача свелась к нахождению делителя по известным делимому, частному и остатку. Поэтому 2 х³ − 3 х + 5 =(2 х − 4)∙Q(х) + 5 х + 5, (2 х − 4)∙Q(х) = 2 х³ − 3 х − 5 х, откуда Q(х) = (2 х³ − 8 х) : (2 х − 4).

2 х − 4 Выполним деление: 2 х³ − 8 х ─ 2 х³ − 4 х² х² + 2 х ─ 4 х² − 8 х 0 Ответ: Q(х) = х² + 2 х.

Задание на дом Пункт 2. 3 ( до НОД) № 2. 27(а, б) № 2. 30(а) № 2. 32(а, б)

Схема Горнера. Существенно сократить и упростить вычисления помогает один несложный приём сокращённого деления, называемый схемой Горнера (Горнер Вильямс Джордж ─ английский математик ). Покажем его практическое применение на конкретном примере.

Многочлен х³ ─ х² ─ 8 х + 6 1) разделить на х ─ 3; 2) представить в виде произведения. а 3 а 2 а 1 а 0 + ─8 +6 1 + ─1 2 ─2 0 b 2 b 1 b 0 R 1 3 ● ● ● Построенная таблица и называется схемой Горнера. В n первых клетках второй её строки мы получаем коэффициенты частного, расположенные в порядке убывания степеней х; в (n + 1) - й клетке получаем остаток от деления. х³ ─ х² ─ 8 х + 6 = (х ─ 3) ∙ (х² + 2 х ─ 2).

Схема Горнера. 1. В верхней строке таблицы записываем коэффициенты при х, располагая их в порядке убывания степеней , если соответствующая порядку степень отсутствует, то соответствующий коэффициент равен 0. 2. Перед таблице записываем известный целый корень многочлена. 3. Нижнюю строку таблицы заполняем по правилу: а) значение первого коэффициента переписываем; б) в каждой следующей клетке записываем число, равное сумме коэффициента, стоящего над ним и произведения числа, расположенного перед таблицей, на число находящееся в соседней слева клетке.

Выполнить деление по схеме Горнера

Решить неравенство

Задание на дом Пункт 2. 4 схема Горнера № 2. 33(а, б, в)2 -е деление