Действия над тензорами 1 = 30 ( скаляр ) 3 = 31 ( вектор ) 9 = 32 27 = 33 81 = 34
Многие физические величины (скорость, ускорение, кинетическая энергия и другие) зависят от выбора системы отсчета, но ни одна физическая величина не зависит от выбора системы координат в данной системе отсчета.
Векторные величины, преобразующиеся при П Л аналогично радиус- векторам, называются истинными или полярными векторами.
Физические величины, характеризуемые численным значением и направлением в пространство и преобразующиеся как векторное произведение двух полярных векторов, называются аксиальными или псевдовекторами.
Пол = Пол Х Акс = Пол Х Пол Акс = Акс Х Акс = Пол Х Пол = (-Пол) Х (-Пол)
Пол ∙ Пол = скаляр Акс ∙ Акс = скаляр Физические величины, характеризуемые только своим численным значением, которое не меняется при преобразованиях координат, называются истинными скалярами или просто скалярами.
Физические величины, характеризуемые только численным значением н преобразующиеся как скалярное произведение полярного вектора на аксиальный, называется псевдоскалярами. Пол ∙ Акс = псевдоскаляр
ДЕЙСТВИЯ НАД ТЕНЗОРАМИ 1. Если все компоненты некоторого тензора умножить на одинаковую скалярную величину, в результате получится новая многокомпонентная величина, являющаяся тензором того же ранга, что и исходный тензор.
ДЕЙСТВИЯ НАД ТЕНЗОРАМИ 2. Покомпонентное сложение двух тензоров одинакового ранга дает компоненты тензора, называемого суммой исходных тензоров и имеющего тот же ранг. Складывать тензоры различных рангов недопустимо.
ДЕЙСТВИЯ НАД ТЕНЗОРАМИ 3. Если каждая компонента одного тензора ранга N умножается на всевозможные компоненты второго тензора ранга M, возникает много-компонентная величина, являющаяся тензором ранга N+M. Данная операция называется операцией внешнего произ-ведения тензоров.
4. Если из компонент тензора ранга N выбрать такие компоненты, у которых нумерующие индексы в двух позициях (скажем k и p) одинаковы , и равны некоторой величине i, после чего сложить выбранные компоненты, отвечающие возможным значениям индекса i, т. е. i = 1, 2, 3, при неизменных нумерующих индексах в других позициях, то полученная многокомпонентная величина:
является тензором ранга N – 2. Такая операция называется сверткой тензора по индексам, занимающими позиции k и p. Например:
5. Многокомпонентная величина, полученная из исходного тензора ранга N путем перестановки его индексов, является тензором того же ранга. Например, из компонент тензора второго ранга aij можно составить новый тензора второго ранга aij = bij.
Симметричным называется тензор, компоненты которого не изменяются при перестановке индексов. aij = aji
Аналогично, если при перестановке любой пары индексов у любой компоненты тензора возникает компонента, равная исходной по величине и противоположной по знаку, тензор называется антисимметричным. aij = – aji
СВОЙСТВА ТЕНЗОРОВ ВТОРОГО РАНГА Свойства тензоров второго ранга эквивалентны свойствам квадратной матрицы aij , построенной из компонент тензора.
Произвольный тензор второго ранга можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров: cij = aij + bij , где aij = ½(cij + cji), bij = ½(cij – cji).
Вектор называется собственным вектором симметричной квадратной матрицы , а l - ее собственным значением, если выполняется условие:
Система уравнений, из которой находятся главные направления и главные значения тензора является системой линейных, однородных уравнений относительно компонент вектора x , которая имеет отличное от нуля решение только при условии :
- единичная матрица. Раскрывая определитель, получаем для нахождения главных (собственных) значений тензора алгебраическое уравнение третьей степени (т. е. кубическое уравнение).
Можно доказать, что в случае симметричного тензора полученное уравнение всегда имеет три вещественных корня. Возможно, что некоторые из них, совпадают по величине. (В этом случае корни называются кратными или вырожденными).
Если все корни различны, каждому из них однозначно соответствуют направления в пространстве, называемые главными направлениями тензора. В случае вырожденных корней возникает неоднозначность в выборе главных направлений.
Так в случае двукратного вырождения корня существует плоскость, проходящая через начало координат, перпендикулярная третьему главному направлению, все направления на которой являются главными.
Если вырождение трехкратное, то любые направления в пространстве являются главными.
В системе главных осей тензор диагонален, а на его главной диагонали стоят главные (собственные) значения.
Для геометрической иллюстрации указанных свойств симметричного тензора второго ранга удобно ввести понятие характеристической поверхности тензора. Ее уравнение имеет вид уравнения, определяющего поверхность второго порядка: Если все главные значения тензора одинаковы , то такой тензор называется шаровым.
Если два главных значения одинаковы, а третье отлично от них , то тензор называется симметрическим. Его характеристическая поверхность является поверхностью вращения.
Если все три собственные значения различны, то такой тензор называется асимметрическим, а его характеристическая поверхность является поверхностью второго порядка общего вида.
Если все главные значения тензора положительны, то тензор называется положительно определенным. Если все главные значения отрицательны, то тензор называется отрицательно определенным. В этих случаях при построении характеристических поверхностей надо выбирать разные знаки в правой части уравнения поверхности (плюс для положительно определенного тензора и минус для отрицательно определенного).