ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ Нахождение обратной матрицы Обратной матрицей по отношению к данной невырожденной квадратной матрице A n - ного порядка, называется матрица, которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную матрицу, дает единичную матрицу. Обратная матрица обозначается символом А-1. Таким образом, согласно определению: АА-1=А-1 А=Е. Транспонированная матрица Присоединенная матрица получается из матрицы А Если определитель матрицы получается путем замены каждого путем замены строк т элемента матрицы А на равен нулю, то обратная его соответствующими матрица не существует алгебраическое дополнение столбцами
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ Из второй строки вычтем первую строку -2 2 -1 -2 2 2 Разложим определитель по элементам 3 столбца -4 6 -6
1. МЕТОД ГАУССА Этот метод заключается в последовательном исключении переменных из системы уравнений.
Дана система из трех уравнений: Матрица системы будет иметь вид: Если включить в нее столбец свободных членов, то она будет называться расширенной:
Исключим переменную x 1 из всех уравнений, кроме первого. Это эквивалентно получению нулей во 2 -й и 3 -ей строке первого столбца. Для этого умножим первое уравнение на ( -2) и (-3) и сложим соответственно, со 2 -м и 3 -м уравнением:
Теперь исключим переменную x 2 из третьего уравнения (получим ноль в 3 -ей строке 2 -го столбца). Для этого умножим 2 -е уравнение на (-5) и сложим его с третьим:
Запишем полученную уравнений: Последовательно находим: Ответ: систему
2. МЕТОД КРАМЕРА Пусть дана система (1). Рассмотрим частный случай, когда число неизвестных равно числу уравнений. Найдем определитель матрицы системы:
Пусть ΔJ – определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j–го столбца столбцом свободных членов: Тогда, если определитель матрицы системы не равен 0, то система уравнений (1) имеет единственное решение, которое определяется по формулам:
Решим систему из предыдущего примера. Матрица системы имеет вид: Находим ее определитель:
Найдем определители Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 :
Используем формулы Крамера: Ответ:
Замечание: Если Δ=0 при том, что хотя бы один из определителей ΔJ не равен нулю, то система (1) несовместна. Если Δ=0 и все ΔJ тоже равны нулю, то система неопределенная, так как она имеет бесконечное множество решений.
3. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Пусть дана система (1). Снова рассмотрим случай, когда число неизвестных равно числу уравнений. В матричной форме система имеет вид: Пусть существует обратная матрица А-1 к матрице системы А.
Тогда решением матричного уравнения будет матрица-столбец Х: Проверяем:
Решим систему из предыдущего примера. Матрица системы и столбец свободных членов имеют вид: Найдем обратную матрицу А-1 : Ранее был найден определитель матрицы А:
Находим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А :
Составляем матрицу из найденных алгебраических дополнений: Транспонируем определитель. матрицу: ее и делим на Получаем обратную
Находим решение системы уравнений: Ответ:
Скачать презентацию ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ Нахождение обратной матрицы Обратной матрицей
2_2_kramer__nov.ppt