Действительные числа. Понятие положительного иррационального числа Действия над

Действительные числа. Понятие положительного иррационального числа Действия над положительными действительными числами Отрицательные числа

• Иррациональное число- это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби mn, где m-целое число, nнатуральное число. • Иррациональное число может быть представлено в бесконечной десятичной непериодической дроби.

• Множество иррациональных чисел (I) обычно обозначается таким образом: I=RQ-множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел. √ 2, √ 7, √ 19 Lg 5, π=3, 14… и Е=2, 7828 иррациональные числа.

Несоизмеримость диагонали и стороны квадрата

Действия над положительными действительными числами

• Объединение множества положительных рациональных чисел Q+ и множества положительных иррациональных чисел I+ называют- множеством положительных действительных чисел и обозначают символом R+ R+=Q+ ᴜ I+

Определение. Суммой положительных чисел а и b называется такое число а + b, которое удовлетворяет следующему неравенству: а k + b k ≤ а + b ˂ a’ k + b’ k Определение. Произведением положительных действительных чисел а и b называется число а · b, которое удовлетворяет следующим условиям: а k · b k ≤ аb ˂ a’ k · b’ k

Отрицательные числа • Числа, расположенные на координатной прямой в заданном направлении, называют - положительными, а числа, расположенные на координатной прямой в направлении, противоположном заданному, - отрицательными. • Число 0 не считается ни положительным, ни отрицательным.

• Объединение множества отрицательных действительных чисел с множеством положительных действительных чисел и нулем есть множество действительных чисел. Его обозначают буквой R. • Действительные числа сравнивают, определяя отношения «меньше» и «больше» так: число а меньше числа b, если оно расположено левее на координатной прямой; число а больше числа b, если оно расположено правее на координатной прямой.

• Суммой двух действительных чисел называют число, которое удовлетворяет следующим условиям: • 1) сумма двух положительных чисел есть число положительное и находится по правилам, определенным в множестве положительных действительных чисел; • 2) сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное; чтобы найти модуль суммы, надо сложить модули слагаемых; • 3) сумма двух чисел, имеющих разные знаки, есть число, которое имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем; чтобы найти модуль суммы, надо из большего модуля вычесть меньший.

• Произведением двух действительных чисел называется число, которое удовлетворяет условиям: • 1) произведение двух положительных чисел есть число положительное и находится по правилам, определенным в множестве положительных действительных чисел; • 2) произведение двух отрицательных чисел есть число положительное; произведение двух чисел, имеющих разные знаки, есть число отрицательное; чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули этих чисел.

• Вычитание и деление действительных чисел определяются как действия, обратные соответственно сложению и умножению. Вычитание в множестве действительных чисел выполняется всегда, так же как и деление, за исключением случая деления на нуль.