Действительные числа Натуральные и целые числа Числа

Действительные числа

Натуральные и целые числа Числа вида N = {1, 2, 3, . . } называются натуральными, они используются для счёта предметов. Числа вида: Z = {. . . -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . } называются целыми числами, т. е. целые числа - это натуральные числа, противоположные натуральным, и число 0.

Рациональные числа Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел: Q = { }, где т – целое число, а n - натуральное число. Рациональные числа - это • целые числа • обыкновенные дроби • десятичные периодические дроби

Иррациональные числа Числа не являющиеся целыми или дробными, называются иррациональными. Каждое иррациональное число представляется в виде непериодической бесконечной десятичной дроби.

Действительные числа Множество всех рациональных и иррациональных чисел или, по другому, периодических и непериодических дробей называется множеством действительных чисел. Обозначается R.

Определите вид числа а б 345 -0, 5 в г 0, (7) д е -4 ж з

Делимость натуральных чисел Натуральное число a делится на натуральное число b, если существует такое натуральное число c, что a=bc. Пишут: a b. В этом случае b называют делителем числа a , а — кратным числа b. Число называется простым, если у него нет делителей, отличных от него самого и от единицы (например: 2, 3, 5, 7 и т. д. ). Число называется составным, если оно не является простым. Единица не является ни простым, ни составным.

Простые числа, не превосходящие 200: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 193, 197, 199.

Наибольшим общим делителем чисел и называется наибольшее число, одновременно являющееся делителем a и делителем b, обозначается НОД (a; b). Пример: НОД (24; 36)=12 Наименьшим общим кратным называют наименьшее число, делящееся и на a, и на b, обозначается НОК (a; b). Пример: НОК (24; 36)=72 Числа и называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Пример: Числа 77 и 15, т. к. их НОД (77; 15)=1

Нахождение НОД (a; b). 1. Разложить на простые множители числа a и b. 2. Подчеркнуть одинаковые множители в каждом разложении и найти их произведение – это и будет НОД (a; b). Пример: НОД (24; 36)-? 24 = 2 · 2 · 3 36 = 2 · 3 · 3 НОД (24; 36)= 2 · 3 = 12 Ответ: НОД (24; 36)=12

НОД (a; b) · НОК (a; b)= a · b

Нахождение НОК (a; b). Пример: НОК (24; 36)-? Ответ: НОД (24; 36)=72

Деление с остатком Если натуральное число n не делится на натуральное число m, т. е. не существует такого натурального числа k , что n = mk, то деление называется с остатком. Формула деления с остатком: n = mk + r, где n - делимое, m делитель, k - частное, r - остаток, причем 0 < r < m • Любое число можно представить в виде: n = 2 k + r , где остаток r = 0 или r = 1 • Любое число можно представить в виде: n = 3 k + r , где остаток r = 0 или r = 1 или r = 2 • Любое число можно представить в виде: n = mk + r, где остаток r принимает значения от 0 до m - 1

Основная теорема арифметики простых чисел. Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел (порядок сомножителей при этом не принимается во внимание). Арифметика простых чисел • Если n составное число, то среди его простых делителей есть хотя бы один делитель p такой, что p 2 ≤ n. • Числа a и b называются взаимно простыми, если наибольший общий делитель этих чисел равен 1. • Для любых натуральных чисел a и b справедлива формула HOD(a; b)∙HOK(a; b)=a ∙ b.

Число делителей t(а) Пример. t(720)= t(2 4 · 3 2 · 5)=(4 +1)(2+1)(1+1)=30. Найдите число делителей чисел А) 12 Б) 240 в) 555 г) 314