Скачать презентацию Децимация и интерполяция сигналов Аналого-цифровое и цифроаналоговое Скачать презентацию Децимация и интерполяция сигналов Аналого-цифровое и цифроаналоговое

Децимация и интерполяция сигналов и вейвлеты12.ppt

  • Количество слайдов: 52

Децимация и интерполяция сигналов Децимация и интерполяция сигналов

Аналого-цифровое и цифроаналоговое преобразование Децимация и интерполяция Уменьшение частоты дискретизации в целое число раз Аналого-цифровое и цифроаналоговое преобразование Децимация и интерполяция Уменьшение частоты дискретизации в целое число раз Для выполнения операции прореживания в L раз из последовательности x(n) берется только каждый L-ый отсчет, т. е. xd (n) = x(n. L). ДПФ прореженного сигнала

Децимация Уменьшение частоты дискретизации в целое число М раз. Эта процедура называется также прореживанием Децимация Уменьшение частоты дискретизации в целое число М раз. Эта процедура называется также прореживанием или децимацией дискретного сигнала x(n). При этом новый дискретный сигнал xd(n), получается прореживанием исходного, т. е. сохранением лишь каждого М-го отсчета сигнала x(n): xd(n)= x(Mn). Такой сигнал может быть получен в результате периодической (с периодом Т 1=МТ) дискретизации сигнала x(t), т. е. с частотой дискретизации Fд 1 =Fд/M. На рис. 1 представлено условное графическое отображение прореживателя в М раз. x(n) M Рисунок 1 x(n. M)

Децимация Соотношение, связывающее спектры дискретного сигнала x(n) и сигнала непрерывного времени xс(t), имеет вид: Децимация Соотношение, связывающее спектры дискретного сигнала x(n) и сигнала непрерывного времени xс(t), имеет вид: (1) Рисунок 2 На рис. 2 на основе (1) представлены графически спектры дискретных сигналов x(n) и xd(n) для М=2. Чтобы гарантировать отсутствие эффекта наложения в связи с расширением спектра в М раз при прореживании дискретного сигнала, необходимо перед прореживанием пропустить его через дискретный фильтр нижних частот (ДФНЧ) с полосой пропускания.

Интерполяция Увеличение частоты дискретизации в целое число L раз. Эту процедуру называют интерполяцией или Интерполяция Увеличение частоты дискретизации в целое число L раз. Эту процедуру называют интерполяцией или восстановлением отсутствующих отсчетов дискретного сигнала. Для интерполяции дискретного сигнала x(n) его сначала удлиняют в L раз путем вставления между каждыми двумя соседними отсчетами L – 1 нулевых отсчетов. Такой сигнал xуд(n) можно записать в виде Следовательно, спектр сигнала xуд(n) примет форму: (2) Из (2) следует вывод о том, что при описанной выше операции удлинения дискретного сигнала, спектр сигнала xуд(n) сжимается по оси частот в L раз в сравнении со спектром исходного сигнала, а период повторения будет равен 2 /L. Если затем пропустить xуд(n) через идеальный ДФНЧ с полосой пропускания и усилением L , то лишние спектральные полосы будут удалены, а выходной сигнал фильтра будет точно соответствовать дискретному сигналу xин(n) с периодом дискретизации T/L, т. е. частота дискретизации его увеличится в L раз, а нужные отсчеты будут восстановлены.

Интерполяция а) б) в) Рисунок 3 а) исходный сигнал и его спектр; б) сигнал, Интерполяция а) б) в) Рисунок 3 а) исходный сигнал и его спектр; б) сигнал, удлиненный добавлением нулевых отсчетов и его спектр; в) интерполиррованный сигнал на выходе ДФНЧ и его спектр.

Структура интерполятора Рисунок 4 - Структура интерполятора (экспандера частоты дискретизации), увеличивающего частоту дискретизации в Структура интерполятора Рисунок 4 - Структура интерполятора (экспандера частоты дискретизации), увеличивающего частоту дискретизации в L раз

Изменение частоты дискретизации в L/M раз Если необходимо изменить частоту дискретизации исходного дискретного сигнала Изменение частоты дискретизации в L/M раз Если необходимо изменить частоту дискретизации исходного дискретного сигнала в L/M (рациональное число) раз, то такая операция может быть выполнена каскадным соединением интерполятора в L раз и дециматора в M раз, как это представлено на рис. 5. Два последовательно включенных дискретных фильтра нижних частот ДФНЧ 1 и ДФНЧ 2 могут быть заменены одним с меньшей частотой среза. Рисунок 5

Таблица z-преобразования Таблица z-преобразования

Таблица z-преобразования Таблица z-преобразования

Таблица z-преобразования Таблица z-преобразования

Картой нулей и полюсов • Как любая дробно-рациональная функция, ПФ характеризуется своими особыми точками Картой нулей и полюсов • Как любая дробно-рациональная функция, ПФ характеризуется своими особыми точками (полюсами) и нулями. • Нулями ПФ называют значения z, при которых H(z) оказывается равной нулю. • Особыми точками (полюсами) ПФ называют значения z, при которых знаменатель H(z) оказывается равным нулю. Картой нулей и полюсов называют изображение координат нулей (кружочками °) и полюсов (звездочками *) на комплексной zплоскости. Такая карта является весьма важной графической характеристикой ЛДС.

Оценка устойчивости по передаточной функции • При описании ЛДС во временной области рассмотрен критерий, Оценка устойчивости по передаточной функции • При описании ЛДС во временной области рассмотрен критерий, позволяющей оценить устойчивость ЛДС по ее импульсной характеристике. В z-области, где основной характеристикой ЛДС является передаточная функция (z-изображение ИХ), существует критерий, позволяющий оценить устойчивость ЛДС по передаточной функции, а именно: для того чтобы ЛДС была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы ее передаточной функции располагались внутри единичного круга комплексной z-плоскости • где k∗z – k-й полюс ПФ. • На практике устойчивость рекурсивных ЛДС обычно оценивают по более удобному критерию – положению полюсов на карте нулей и полюсов.

Вейвлет-преобразования • В основе вейвлет-преобразований, в общем случае, лежит использование двух непрерывных, взаимозависимых и Вейвлет-преобразования • В основе вейвлет-преобразований, в общем случае, лежит использование двух непрерывных, взаимозависимых и интегрируемых по независимой переменной функций: • Вейвлет-функции (t), как psi-функции времени с нулевым значением интеграла и частотным Фурье-образом (ω). Этой функцией, которую обычно и называют вейвлетом, выделяются локальные особенности сигнала. В качестве вейвлетов обычно выбираются функции, хорошо локализованные и во временной, и в частотной области. Пример временного и частотного образа функции приведен на рисунке на следующем слайде. • Масштабирующей функции φ(t), как временной скейлинг-функции phi с единичным значением интеграла, которой выполняется грубое приближение (аппроксимация) сигнала. Phi-функции присущи не всем, а, как правило, только ортогональным вейвлетам. Они необходимы для преобразования нецентрированных и достаточно протяженных сигналов при раздельном анализе низкочастотных и высокочастотных составляющих.

Вейвлетные функции • Вейвлетные функции в двух масштабах. Вейвлетные функции • Вейвлетные функции в двух масштабах.

Понятие вейвлета • Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные копии ψa, b(t) ( «дочерние Понятие вейвлета • Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные копии ψa, b(t) ( «дочерние вейвлеты» ) некоторой быстро затухающей осциллирующей функции ψ(t) ( «материнского вейвлета» ) • Используются для изучения частотного состава функций в различных масштабах и для разложения/синтеза функций в компрессии и обработке сигналов

Понятие вейвлета • Условия, обычно накладываемые на ψ(t): ► Интегрируемость ► Нулевое среднее, нормировка Понятие вейвлета • Условия, обычно накладываемые на ψ(t): ► Интегрируемость ► Нулевое среднее, нормировка ► Нулевые моменты (vanishing moments)

Примеры материнских вейвлетов Хаара Meyer Mortlet Mexican hat Примеры материнских вейвлетов Хаара Meyer Mortlet Mexican hat

Скейлин-функции Вейвлеты используются, как правило, в паре со связанными с ними скейлингфункциями. Скейлин-функции имеют Скейлин-функции Вейвлеты используются, как правило, в паре со связанными с ними скейлингфункциями. Скейлин-функции имеют с вейвлетами общую область задания и определенное соотношение между значениями, но первый момент скейлинфункций по области определения равен 1. Если вейвлеты рассматривать, как аналоги полосовых фильтров сигнала, в основном, высокочастотных при выделении локальных особенностей в сигнале, то скейлин-функции вейвлетов представляет собой аналоги низкочастотных фильтров, которыми из сигнала выделяются в отдельный массив составляющие, не прошедшие вейвлетную фильтрацию. Так, например, порождающая скейлинг-функция вейвлета Хаара задается следующим выражением:

Непрерывное вейвлет-преобразование (CWT) • Скалярные произведения исследуемой функции f(t) с вейвлетами ψa, b(t) Непрерывное вейвлет-преобразование (CWT) • Скалярные произведения исследуемой функции f(t) с вейвлетами ψa, b(t)

CWT • Непрерывное вейвлет-преобразование определяется следующим образом: (1) • Как видно из равенства, преобразованный CWT • Непрерывное вейвлет-преобразование определяется следующим образом: (1) • Как видно из равенства, преобразованный сигнал есть функция двух переменных, τ и s, параметров сдвига и масштаба, соответственно. ψ(t) – функция преобразования, называющаяся материнским вейвлетом. • Слово вейвлет означает маленькая волна. Под маленькой понимается то, что эта функция (окно) имеет конечную ширину (компактный носитель). Слово «волна» отражает тот факт, что вейвлет-функция осциллирует. Термин «материнский» означает, что функции с различной шириной носителя, используемые в преобразовании, порождаются одной базовой функцией – материнским вейвлетом.

Пример непрерывного вейвлетпреобразование сигнала - масштаб - сдвиг На рисунке справа показано непрерывное вейвлет-преобразование Пример непрерывного вейвлетпреобразование сигнала - масштаб - сдвиг На рисунке справа показано непрерывное вейвлет-преобразование сигнала, изображенного слева. Сдвиг материнского вейвлета может рассматриваться, как время, прошедшее с момента t=0. Масштаб же обратен частоте.

Пример непрерывного вейвлетпреобразование сигнала • Малые масштабы соответствуют высоким частотам. Поэтому, на рисунке часть Пример непрерывного вейвлетпреобразование сигнала • Малые масштабы соответствуют высоким частотам. Поэтому, на рисунке часть графика, где масштабы близки нулю, соответствует высоким частотам. Верхняя частота анализируемого сигнала 30 Гц и она появляется на самых малых масштабах при сдвигах от 0 дo 30. Самая низкая частота сигнала – 5 Гц появляется в конце оси сдвигов и на самых больших масштабах, как и ожидалось. • Теперь рассмотрим свойства разрешения: в отличие от оконного преобразования Фурье ОПФ, которое имеет фиксированное разрешение для всех времен и частот, НВП имеет хорошее разрешение по времени и плохое по частоте на высоких частотах. На нижних частотах - наоборот.

ВЕЙВЛЕТ-СИНТЕЗ Непрерывное вейвлет-преобразование является обратимым преобразованием, если выполняется равенство (2) где psi^hat(xi) есть ПФ ВЕЙВЛЕТ-СИНТЕЗ Непрерывное вейвлет-преобразование является обратимым преобразованием, если выполняется равенство (2) где psi^hat(xi) есть ПФ psi(t). Выражение означает, что По счастью, это требование не накладывает серьезных ограничений. НВП будет обратимым при выполнении (2), даже если базисные функции будут неортогональными. Реконструкция выполняется по формуле: (3)

ДИСКРЕТНОЕ ВЕЙВЛЕТПРЕОБРАЗОВАНИЕ (ДВП- DWT) • Истоки ДВП восходят к 1976, когда Croiser, Esteban и ДИСКРЕТНОЕ ВЕЙВЛЕТПРЕОБРАЗОВАНИЕ (ДВП- DWT) • Истоки ДВП восходят к 1976, когда Croiser, Esteban и Galand разработали метод декомпозиции дискретных сигналов. Crochiere, Weber и Flanagan в тот же год опубликовали аналогичную работу по кодированию речевых сигналов. Они назвали свой метод анализа субполосным кодированием. В 1983 Burt разработал похожий метод и назвал его пирамидальным кодированием. Позднее, в 1989, Vetterli и Le Gall разработали некоторые улучшения схемы субполосного кодирования, заключающиеся в устранении избыточности преобразования. Субполосное кодирование будет объяснено ниже.

Дискретное вейвлет-преобразование (DWT) • • • Используются лишь целочисленные сдвиги вейвлета и масштабирование в Дискретное вейвлет-преобразование (DWT) • • • Используются лишь целочисленные сдвиги вейвлета и масштабирование в 2 раза Возможность построения ортогонального преобразования Дискретный вейвлет: 1. Последовательность чисел 2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек 3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр), ортогональная вейвлету

Вейвлет-анализ • Основная идея: • Представить данные в виде грубого приближения и детализирующей информации. Вейвлет-анализ • Основная идея: • Представить данные в виде грубого приближения и детализирующей информации. Детализирующей информации тем больше, чем выше уровень детализации (частота)

Преобразование Хаара • Простейший случай вейвлет-преобразования Дан входной сигнал x[n] Образуем от него последовательности Преобразование Хаара • Простейший случай вейвлет-преобразования Дан входной сигнал x[n] Образуем от него последовательности полусумм и полуразностей: Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить: Такое кодирование избыточно: из одной последовательности получаем две

Преобразование Хаара • Устранение избыточности Проредим полученные последовательности в 2 раза: Легко видеть, что Преобразование Хаара • Устранение избыточности Проредим полученные последовательности в 2 раза: Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления: (интерполяция нулями) (фильтрация) (суммирование)

Дискретное вейвлет-преобразование • Обобщение преобразования Хаара x[n] H 2 ↓ 2 ↑ 2 G Дискретное вейвлет-преобразование • Обобщение преобразования Хаара x[n] H 2 ↓ 2 ↑ 2 G 2 + Коэффициенты H 1 ↓ 2 Декомпозиция (анализ) ↑ 2 G 1 Реконструкция (синтез) Свойство точного восстановления (PR): Количество информации не изменяется. Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное восстановление. x’[n]

Простейший случай преобразование Хаара Обращением малых по абсолютной величине вейвлет-коэффициентов в 0 можно добиться Простейший случай преобразование Хаара Обращением малых по абсолютной величине вейвлет-коэффициентов в 0 можно добиться сокращения объемов информации

Двумерное преобразование Хаара для сжатия изображений • Двумерное преобразование Хаара — это не что Двумерное преобразование Хаара для сжатия изображений • Двумерное преобразование Хаара — это не что иное, как композиция одномерных преобразований Хаара. Пусть двумерный входной сигнал представляется матрицей. После применения одномерного преобразования Хаара к каждой строке матрицы получаются две новые матрицы, строки которых содержат аппроксимированную и детализирующую часть строк исходной матрицы. Аналогично к каждому столбцу полученных матриц применяют одномерное преобразование Хаара и на выходе получают четыре матрицы, одна из которых является аппроксимирующей составляющей исходного сигнала, а три оставшиеся содержат детализирующую информацию – вертикальную, горизонтальную и диагональную.

Пример двумерного преобразования Хаара В приведенном соотношении коэффициенты аппроксимации и коэффициенты различия отделяются точками Пример двумерного преобразования Хаара В приведенном соотношении коэффициенты аппроксимации и коэффициенты различия отделяются точками в каждой строке Таким образом, имеем

Пример двумерного преобразования Хаара • • • У каждой части, показанной в приведенном выше Пример двумерного преобразования Хаара • • • У каждой части, показанной в приведенном выше примере, есть размерность (число строк/2) (число столбцов/2) и эти области называются A, H, V и D соответственно. А (область приближения) включает информацию о глобальных свойствах проанализированного изображения. Удаление спектральных коэффициентов от этой области приводит к самому большому искажению в исходном изображении. H (горизонтальная область), включает информацию о вертикальных строках скрытых в изображении. Удаление спектральных коэффициентов от этой области исключает горизонтальные детали из исходного изображения. V (вертикальная область) содержит информацию о горизонтальных строках скрытых в изображении. Удаление спектральных коэффициентов от этой области устраняет вертикальные детали из исходного изображения. D (диагональная область) охватывает информацию о диагональных деталях скрытых в изображении. Удаление спектральных коэффициентов от этой области приводит к минимальному искажению в исходном изображении.

Однократное и трёхкратное применение двумерного вейвлет-преобразование Однократное и трёхкратное применение двумерного вейвлет-преобразование

Однократное и трёхкратное применение двумерного вейвлет-преобразование. Пример реализации Однократное и трёхкратное применение двумерного вейвлет-преобразование. Пример реализации

Вейвлет-сжатие изображений Вейвлет-сжатие изображений

Вейвлет-сжатие изображений Вейвлет-сжатие изображений

Вейвлет-сжатие изображений Вейвлет-сжатие изображений

Вейвлет-сжатие изображений Вейвлет-сжатие изображений

Вейвлет-сжатие изображений • Существуют способы переупорядочить коэффициенты так, чтобы обеспечилось лучшее сжатие Вейвлет-сжатие изображений • Существуют способы переупорядочить коэффициенты так, чтобы обеспечилось лучшее сжатие

СУБПОЛОСНОЕ КОДИРОВАНИЕ (СУБКОД) И КРАТНОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ (КМА) • Процедура начинается с пропускания сигнала (последовательности) СУБПОЛОСНОЕ КОДИРОВАНИЕ (СУБКОД) И КРАТНОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ (КМА) • Процедура начинается с пропускания сигнала (последовательности) через полуполосный цифровой низкочастотный фильтр с импульсной характеристикой h[n]. Фильтрация сигнала соответствует математической операции свертки сигнала и импульсной характеристики фильтра. Операция свертки для дискретного времени определяется как: Полуполосный НЧ фильтр обрезает все частоты, большие половины верхней частоты сигнала. Например, если верхняя частота=1000 Гц, то все частоты, большие 500 Гц будут удалены из сигнала. Разберемся с единицей измерения частоты. Для дискретных сигналов частота обычно выражается в радианах. Тогда частота дискретизации равна 2π радиан. Поэтому, наибольшая частота, которая будет присутствовать в сигнале, равна π радиан, если сигнал был дискретизирован в соответствии с теоремой отсчетов.

СУБПОЛОСНОЕ КОДИРОВАНИЕ • После пропускания сигнала через НЧ полуполосный фильтр половина отсчетов может быть СУБПОЛОСНОЕ КОДИРОВАНИЕ • После пропускания сигнала через НЧ полуполосный фильтр половина отсчетов может быть удалена из сигнала в соответствии с теоремой отсчетов, так как сигнал теперь имеет наивысшую частоту π/2 радиан, а не π. Удалим каждый второй отсчет, т. е. выполним децимацию в два раза. Масштаб сигнала получился удвоенным. НЧ-фильтрация удаляет ВЧ компоненты, но оставляет масштаб неизменным. Масштаб изменяет операция децимации. С другой стороны, разрешение связано с количеством информации, содержащейся в сигнале, поэтому оно меняется при фильтрации (после полуполосной - уменьшается в два раза). Заметим, что последующая децимация не изменяет разрешения, так как удаляемые отсчеты все равно являются избыточными и не несут информации. • На языке формул эта процедура запишется как:

СУБПОЛОСНОЕ КОДИРОВАНИЕ • Теперь мы понимаем, как вычисляется ДВП: оно анализирует сигнал в различных СУБПОЛОСНОЕ КОДИРОВАНИЕ • Теперь мы понимаем, как вычисляется ДВП: оно анализирует сигнал в различных частотных полосах с различным разрешением путем декомпозиции его на грубую аппроксимацию и детали. В ДВП работают два множества функций - масштабирующие функции и вейвлеты, соответствующие НЧ и ВЧ фильтрам. • Один уровень ДВП можно записать следующим образом (сигнал пропускается через НЧ и ВЧ фильтры и затем децимируется в два раза): где yhigh[k] и ylow[k] есть прореженные в два раза выходы ВЧ и НЧ фильтров, соответственно.

СУБПОЛОСНОЕ КОДИРОВАНИЕ • В результате первого шага ДВП временное разрешение уменьшается в два раза, СУБПОЛОСНОЕ КОДИРОВАНИЕ • В результате первого шага ДВП временное разрешение уменьшается в два раза, так как лишь половина отсчетов характеризует весь сигнал (рассматриваем выход НЧфильтра). Однако частотное разрешение удваивается, так как сигнал занимает теперь половинную полосу частот и неопределенность уменьшается. • Вышеприведенная процедура, известная как субполосное кодирование, повторяется далее. Выход НЧ фильтра подается на такую же схему обработки, а выход ВЧ фильтра считается вейвлет-коэффициентами.

СУБПОЛОСНОЕ КОДИРОВАНИЕ • • • Важным свойством ДВП является взаимосвязь между импульсными характеристиками ВЧ СУБПОЛОСНОЕ КОДИРОВАНИЕ • • • Важным свойством ДВП является взаимосвязь между импульсными характеристиками ВЧ и НЧ фильтров. Эти фильтры ДВП связаны между собой отношением: где g[n] есть ВЧ, h[n] – НЧ фильтр, a L – длина фильтра (число точек). ВЧ фильтр получается из НЧ путем «переворота» вектора его коэффициентов и изменения знака у нечетных коэффициентов. Фильтры, удовлетворяющие этому условию, использовались в цифровой обработке сигналов задолго до вейвлетов и получили название квадратурно-зеркальных фильтров (КЗФ). Операции фильтрации и прореживания могут быть записаны как:

Алгоритм субполосного кодирования • Алгоритм показан на рисунке, где x[n] -исходный сигнал, h[n] и Алгоритм субполосного кодирования • Алгоритм показан на рисунке, где x[n] -исходный сигнал, h[n] и g[n] - НЧ и ВЧ фильтры, соответственно. Полоса сигнала на каждом уровне обозначена здесь как «f» .

Пример анализа • Пусть анализируемый сигнал дискретизирован на частоте 10 МГц и состоит из Пример анализа • Пусть анализируемый сигнал дискретизирован на частоте 10 МГц и состоит из 256 отсчетов. Значит, верхняя частота сигнала 5 МГц. Тогда коэффициенты первого уровня разложения (128) занимают полосу частот [2. 5 5] МГц. Эти коэффициенты отображаются в конце графика вейвлет-коэффициентов. Вейвлет-коэффициенты второго уровня (64) «отвечают» за полосу частот [1. 25 2. 5] МГц. Они отображаются перед вейвлет-коэффициентами первого уровня. • Процедура повторяется до тех пор, пока не останется 1 вейвлет-коэффициент и 1 отсчет аппроксимации на 9 уровне. Всего получается (1+1+2+4+8+16+32+64+128) = 256 коэффициентов. Т. е. число коэффициентов равно числу отсчетов в исходном сигнале. Если основная энергия сигнала была сосредоточена возле частоты 2 МГц, то вейвлет-коэффициенты второго уровня будут большими, а вейвлет-коэффициентами первого уровня можно пренебречь. Кажется странным, что вейвлет-коэффициенты, отвечающие за НЧ область могут также иметь большую величину. Это связано с тем, что они описывают огибающую сигнала.

Реконструкция сигнала • Реконструкция в данном случае тривиальна, так как полуполосные фильтры образуют ортонормальный Реконструкция сигнала • Реконструкция в данном случае тривиальна, так как полуполосные фильтры образуют ортонормальный базис. Синтез выполняется в обратном порядке по сравнению с анализом. Сигналы на каждом уровне интерполируются в 2 раза, пропускаются через фильтры синтеза g’[n] и h’[n] (ВЧ и НЧ, соответственно) и затем складываются. Интересно отметить, что фильтры анализа и синтеза идентичны, за исключением обратного порядка следования коэффициентов. • Поэтому формула реконструкции для каждого уровня ДВП может быть записана в виде: Если фильтры не являются идеальными полуполосными, то полное восстановление может быть и не достигнуто. Идеальные фильтры, конечно же, нельзя сконструировать на практике. Все же налагая дополнительные ограничения на импульсные характеристики фильтров, можно добиться полного восстановления при использовании «реальных» фильтров. Наиболее известными являются, наверное, фильтры Добеши, приводящие к вейвлетам Добеши.

Дискретное вейвлет-преобразование • Квадратурные зеркальные фильтры (QMF) частотные характеристики импульсные характеристики Дискретное вейвлет-преобразование • Квадратурные зеркальные фильтры (QMF) частотные характеристики импульсные характеристики

Дискретное вейвлет-преобразование • QMF: базис Хаара Плохое частотное разделение, но хорошая временная (пространственная) локализация Дискретное вейвлет-преобразование • QMF: базис Хаара Плохое частотное разделение, но хорошая временная (пространственная) локализация

Литература Литература