Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Точки О 1 – центры нижнего и верхнего оснований. Точка М – середина ребра C 1 D 1. 1. Построить плоскость, проходящую через точку М, перпендикулярно прямой АС 1 2. Построить прямую, проходящую через точку В 1, перпендикулярную плоскости АМС. 3. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми АМ и СВ. 4. Найти угол между прямыми А 1 О и СВ 1. 5. Найти угол между прямой АМ и плоскостью АВВ 1. 6. Найти угол между плоскостями АМС и АВС. 7. Построить плоскость, проходящую через точку А, перпендикулярную плоскости МСВ.
1. Построить плоскость перпендикулярную прямой АС 1, проходящую через точку М – середину ребра C 1 D 1 C 1 B 1 M D 1 A 1 C D B A
1. Построить плоскость перпендикулярную прямой АС 1, проходящую через точку М – середину ребра C 1 D 1 C 1 B 1 Ход выполнения работы: Рассмотрим В 1 CD 1 – это плоскость перпендикулярна АC 1 , если проведем через М плоскость параллельную В 1 CD 1 , то полученная плоскость будет перпендикулярна АC 1 M D 1 A 1 C D B A
1. Построить плоскость перпендикулярную прямой АС 1, проходящую через точку М – середину ребра C 1 D 1 C 1 B 1 N Ход выполнения работы: Рассмотрим В 1 CD 1 – это плоскость перпендикулярна АC 1 , если проведем через М плоскость параллельную В 1 CD 1 , то полученная плоскость будет перпендикулярна АC 1 M D 1 L A 1 C D B A Построение: 1) МN ║ D 1 B 1; 2) ML ║ D 1 C; 3) LN ║ CB 1 → MNL ┴ AC 1
2. Построить прямую, проходящую через точку В 1, перпендикулярную плоскости АМС B 1 C 1 M A 1 D 1 M 1 B C O A D
2. Построить прямую, проходящую через точку В 1, перпендикулярную плоскости АМС B 1 C 1 M K A 1 D 1 M 1 L 1 B C O A D Построение: 1) Провести через точку В 1 плоскость ВВ 1 D 1 D ; 2) ОК пересечение плоскости ВВ 1 D 1 D и АМ 1 МС; 3) Из точки В 1 опустим перпендикуляр к ОК (BL 1 ┴ОК ) BL 1 является высотой АВ 1 М → BL 1 ┴ двум пересекающимся прямым плоскости АМС → BL 1┴ АМС.
2. Построить прямую, проходящую через точку В 1, перпендикулярную плоскости АМС B 1 C 1 K B 1 M K A 1 L 1 D 1 M 1 D 1 L 1 B C B O A D O D
3. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми АМ и СВ B 1 C 1 N M A 1 D 1 B A C D
3. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми АМ и СВ E F B 1 C 1 N M A 1 D 1 B A D Ход выполнения работы: Поместим прямые AM и L BC в параллельные плоскости (AM € ANMD; BC € BEFC). Построение: Прямые DM и CF принадлежат DMFC. Проводим из точки M C перпендикуляр к прямой CF. ML – искомое расстояние.
3. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми АМ и СВ E F B 1 C 1 N M A 1 L D 1 B C A D M D 1 F C 1 β L α β D C Вычисления:
4. Найти угол между прямыми А 1 О и СВ 1 B 1 C 1 O 1 A 1 D 1 B C O A D
4. Найти угол между прямыми А 1 О и СВ 1 B 1 C 1 O 1 A 1 D 1 Построение: Рассмотрим плоскость АСС 1 А 1 = φ. ОА 1 € φ Из точки С проведена прямая параллельная ОА 1. СО 1║ОА 1. Рассмотрим плоскость В 1 D 1 С. Т. к. это равносторонний треугольник → угол В 1 СО 1=30º. B 1 O 1 B C 300 O A D C D 1
5. Найти угол между прямой АМ и плоскостью АВВ 1 C 1 M B 1 O 1 D 1 A 1 C D B A
5. Найти угол между прямой АМ и плоскостью АВВ 1 C 1 M B 1 M’ O 1 D 1 Построение: Из точки М опустим перпендикуляр ММ 1 на плоскость АВВ 1 2) Рассмотрим ∆ АС 1 D 1 : A 1 C B M D 1 D A A
5. Найти угол между прямой АМ и плоскостью АВВ 1 C 1 M B 1 M’ O 1 D 1 A 1 C D B A Построение: 3) Рассмотрим ∆ АМ 1 М :
6. Найти угол между плоскостями АМС и АВС. B 1 C 1 M A 1 D 1 M 1 B C O A D
6. Найти угол между плоскостями АМС и АВС. B 1 C 1 M K A 1 D 1 M 1 B C O A Построение: D 1 B 1 K L D A O L D
7. Построить плоскость, проходящую через точку А, перпендикулярную плоскости МСВ. B 1 C 1 N M A 1 D 1 B A C D
7. Построить плоскость, проходящую через точку А, перпендикулярную плоскости МСВ. B 1 C 1 N M A 1 D 1 A’ D’ K B A C D Построение: 1) Достроим плоскость МСВ 2) Из точки А опустить перпендикуляр к ВМ 1 3) Так как плоскость AA’D’D проходит через перпендикуляр (AK) к плоскости BNMC, то => что AA’D’D ┴ BNMC
