Дальневосточная государственная морская академия имени адмирала Г И

Дальневосточная государственная морская академия имени адмирала Г. И. Невельского А. П. Герасимов, С. С. Говорухина НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть 1 Изображение точек, прямых и плоскостей. Решение основных позиционных задач Слайд-фильм V z " A y ''' A W A x z o x ' A H 1998 г. y

4 1. 1. Методы проецирования Аппарат проецирования включает в себя проецирующие лучи, проецирумый объект и плоскость, на которой получается изображение оригинала. Изображение точки А на плоскости П' - точка А' получается в пересечении проецирующего луча, проходящего через точку А, с плоскостью П'. Все лучи проецирующие геометрическую фигуру, исходят из одной точки S, называемой центром проекций. Если эта точка находится на определенном расстоянии от плоскости проекций, то такое проецирование называется центральным. C B C' П' S A' A П' B' A B B' C A' C' S

6 Если центр проекций удален в бесконечность, то все проецирующие лучи становятся параллельными и проецирование называется параллельным. В этом случае задается направление проецирования S. Ортогональное (прямоугольное) проецировангие есть частный случай параллельного проецирования, когда все проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций П'. A' s П' A B' C' B C Ортогональная проекция получила наибольшее распространение в технических чертежах. Чертежи, полученные рассмотренными методами проецирования, не обладают свойством обратимости,

7 Основные свойства параллельного проецирования 1. Свойство однозначности. Проекцией точки на плоскость есть точка. 2. Свойство прямолинейности. Проекцией прямой линии на плоскость есть прямая. 3. Свойство принадлежности. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции этой линии. 4. Свойство сохранения параллельности. Проекциями параллельных прямых я вляются параллельные прямые. 5. Свойство деления отрезка в отношении. Если отрезок прямой линии делится точкой в каком-либо отношении, то и проекция отрезка делится проекцией точки в том же отношении. 6. Свойство параллельного переноса. Проекция фигуры не меняется при параллельном переносе плоскости проекций. Три последние свойства обеспечивают более простое построение изображения и меньше искажают форму и размеры оригинала по сравнению с центральной проекцией.

1. 2. Комплексный чертеж точки (эпюр точки) 8 Комплексный чертеж (эпюр) точки состоит из двух или трех ортогональных проекций. Эти проекции получают на взаимно перпен дикулярных плоскостях проекций. Одна из плоскостей проекций П 1 называется горизон тальной плоскостью проекций, вторая П 2 - фронтальной, а третья П 3 - профильной. Линии пересечения плоско. Знаки Окстей проекций называются координат танz VI ты x y z осями координат x, y, z. I + + + Плоскости проекций делят _ + П 2 II + П 2 _ _ пространство на 8 трехгран. II III + _ I IV + ных углов - четверти или + П 3 _ V + + октанты. _ _ + VI o x -x Система знаков соответ_ _ VII _ ствует "правой системе" VIII _ + _ III П 1 координат, принятой в z -y большинстве европейских IV y стран. x 0 -x VIII y -y Зритель, рассматривающий оригинал, находится в пер-z вом октанте. -z y

9 Спроецируем точку А на плоскости проекций П 1, П 2 и П 3. Точка А 1 называется горизонтальной проекцией точки А, точка A 2 - ее фронтальная проекция, точка A 3 - ее профильная проекция. Расстояние AA 1 точки А от плоскости П 1 называется высотой точки A (za- аппликата), ее расстояние AA 2 от плоскости П 2 - глубиной точки А (ya ордината), а расстояние AA 3 от плоскости П 3 - широтой точки A (xa - абсцисса). Таким образом, какая-либо точка пространства А будет определяться тремя ее координатами: A (x, y, z). Чтобы получить плоский чертеж точки А, плоскости П 1 z и П 3 вращают до совмещения П 2 с плоскостью П 2. Прямые A 1 A 2 z A 2 y. A A 2 и A 2 A 3, соединяющие проекции A 3 точки А, называются линиями y A x П 3 связи и соответственно перпенz. A z дикулярны к осям x и z. Проекции o x. A o точки А определяются координаx x тами: A 1 (x, y), A 2 (x, z), A 3 (y, z). y. A A 1 Полученный эпюр точки будет A 1 П 1 y обратимым чертежом. . y

11 2. Прямая линия 2. 1. Задание и изображение на чертеже Прямая линия в пространстве определяется положением двух ее точек, например А и B. Значит, достаточно выполнить комплексный чертеж этих точек, а затем соединить одноименные проекции точек прямыми линиями, получим соответственно горизонтальную и фронтальную проекции прямой. Прямая общего положения называется прямая не параллельная ни одной из плоскостей проекций. Прямуя, параллельная или перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется прямой частного положения. z B A 2 B 3 B 2 П 2 A 3 A x x A 1 П 1 B 1 y

12 2. 2. Прямая уровня Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, называется прямой уровня. Название зависит от того, какой плоскости она параллельна. Различают: горизонтальную прямую уровня (горизонталь) h, фронтальную прямую уровня (фронталь) f, профильную прямую уровня (профиль) p. Все точки прямых уровня имеют равные или высоты (горизонталь), или глубины (фронталь), или широты (профиль). Поэтому соостветствующие проекции прямых параллельны проекциям определенных осей координат П 2 A 2 П 2 h 2 f 2 h f x x x h 1 A 1 p 1 B 1 П 1 z z h 2 f 3 B B 3 p 2 . в. =н f 2 = . н. в p 3 z A 3 A 2 h 3 A 3 p B 2 f 1 П 1 A p 2 B 2 x h 1 = н. в. A 1 f 1 y B 3 x x y Примечание: н. в. - натуральная величина прямой p 1 B 1 y

13 Проецирующая прямая Прямая, перпендикулярная какой- либо плоскости проекции, называется проецирующей. Различают: горизонтально проецирующую (AB), фронтально проецирующую (CD) и профильно проецирующую (EF). У проецирующей прямой одна проекция вырождается в точку, а две другие проекции параллельны самой прямой и совпадают с направлением линии связи. П 2 A 2 _ C 2_ D 2 A D C B 2 x F 2 E F C 2_ D 2 E 2 F 2 E 1 F 1 B 2 x D 1 B _ A 1_ B 1 П 1 _ A 1_ B 1 D 1 C 1 E 1 F 1 C 1

2. 4. Взаимное расположение двух прямых 15 1. Пересекающиеся прямые. В этом случае прямые a и b имеют одну общую точку, проекции которой A 1 и A 2 расположены на одной линии связи. 2. Параллельные прямые. По свойству параллельного проецирования проекции параллельных прямых на юбую плоскость параллельны, т. е. если a // b, то a 1 // b 1, a 2 // b 2. 3. Скрещивающиеся прямые. Если две прямые скрещиваются, то их одноименные прекции могут пересекаться в точках, не лежащих на одной линии связи: две точки А и В - горизонтально конкурирующие точки, две точки C и D - фронтально конкурирующие. Как видно из чертежа , точка А расположена над точкой В; едовательно, прямая a проходит над прямой b. Точка С расположена перед (ближе к зрителю) точкой D, следовательно, прямая b проходит в этом месте впереди прямой a. Правило определения видимости на комплексном чертеже: из двух горизонтально конкурирующих точек на поле П 1 видна та точка, которая расположена выше, а из двух фронтально конкурирующих точек на поле П 2 видна та точка, которая расположе на ближе (по отношению к наблюдателю). a 2 a 2 A 2 b 2 b 2 _ C 2_ D 2 B 2 a 1 b 1 A 1 b 1 D 1 C 1 _ A 1_ B 1 a 1

2. 5. Взаимное расположение точки и прямой 16 Из свойств параллельного проецирования (свойство принадлежности) известно, что если точка лежит на прямой, то ее проекции должны лежать на одноименных проекциях этой прямой. Поэтому, из четырех точек A, B, C и D, приведенных на чертеже, лишь одна точка А лежит на прямой. Точка В находится над прямой, так как она расположена выше, чем горизонтально конкурирующая с ней точка прямой a (фронтальная проекция этой точки прямой a отмечена кстиком). Аналогично, точка С находится перед прямой a, точка D расположена ниже и дальше точки прямой a. Определение взаимного положения точки и профильной прямой выполняется с помощью построения профильной проекции. На чертеже точка С расположена над и перед прямой AB. z B 2 a 2 C 2 A 3 A 2 C 2 D 2 A 2 C 3 p 2 B 3 x A 1 D 1 a 1 A 1 B 1 С 1 B 1 C 1 p 1 y

18 3. Плоскость 3. 1. Задание и изображение на чертеже Положение плоскости в пространстве и на чертеже можно определить: 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой; 2) прямой и точкой вне ее; 3) двумя пересекающимися прямыми; 4) двумя параллельными прямыми; 5) любой плоской фигурой. Плоскость, не перпендикулярная ни одной плоскости проекций, называется плоскостью общего положения. На комплексном чертеже проекции элементов, задающих плоскость, занимают общее положение. Плоскость, перпендикулярная или параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью частного положения. C 2 A 2 B 2 a 2 A 2 a 2 B 2 a 2 b 2 C 2 A 2 b 1 C 1 A 1 a 1 A 1 B 1 1) a 1 A 1 a 1 B 1 b 1 2) C 1 3) 4) 5)

3. 2. Различные положения плоскостей относительно плоскостей проекций Прецирующая плоскость 19 Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей. Различают: a) горизонтально проецирующая плоскость (a ^ П 1 ); b) б) фронтально проецирующая плоскость (b^ П 2); в) профильно проецирующая плоскость (g ^ П 3). У проецирующих плоскостей одна проекция вырождается в прямую. Поэтому проекция фигуры, принадлежащей такой плоскости (треугольнок ABC), вырождается в прямую (A 1 B 1 C 1). Проецирующая плоскость однозначно задается на чертеже своей линейной проекцией (a 1, b 2, g 3 ). П 2 B 2 a A 2 C A x j B 1 П 1 C 1 b 2 g 3 x A 1 a 2 l C B x A 1 z _ _ b 2_ a 2 _ b 2 B 1 a 1 а) y C 1 x b 1 a 1 б) в)

20 Плоскость уровня Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня. Различают: П 2 A 2 B 2 C 2 a 2 A 2 B A B 2 C a x а) горизонтальная плоскость уровня (a // П 1); б) фронтальная плоскость C 2 уровня (b // П 2); a" в) профильная плоскость уровня (g // П 3). Плоскость уровня является частным случаем проецирующей плоскости, поэтому на чертеже задается своей линейной проекцией (a 2', b 1, g 2, g 1). C 1 Фигура, принадлежащая плоскости уровня, проецируется на соответствующую плоскость проекций в натуральную велмчину. x B 1 A 1 C 1 П 1 а) П 2 a 2 g 2 b 2 g x x x _ _ b 1_ a 1_ b 1 g 1 П 1 б) в)

3. 4. Взаимное расположение точки и плоскости 23 Точка лежит в плоскости, если ее проекции находятся на одноименных проекциях какой-либо прямой, принадлежащей данной плоскости. Прозвольно выбирают одну проекцию точки M, например, фронтальную ее проекцию M''. Искомую горизонтальную проекцию M' точки M находят по линиям связи на горизонтальной проекции (A'1') прямой A 1 плоскости. Таких вспомогательных прямых в плоскости можно провести через точку M бесчисленное множество. Одна из них и представлена на эпюре. K" B" M" 1" C" A" B' A' _ M '_ K' 1' C' Если взять точку K горизонтально конкурирующую с точкой M и расположенную над ней, то точка K будет расположена и над плоскостью.

3. 5. Взаимное расположение прямой линии и плоскости 24 Возможны следующие три случая относительного расположения прямой и плоскости: прямая принадлежит плоскости, прямая параллельна плоскости, прямая пересекает плоскость. На основании свойства плоскости: если прямая линия соединяет две точки данной плоскости, то такая прямая всеми своими точками лежит в этой плоскости. Построение прямых, принадлежащих плоскости рассмотрены на слайде (главные линии плоскости). Из стереометрии известно: если прямая параллельна плоскости, то она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости. На эпюре параллельность прямой m и плоскости ABC доказывается тем, что m'' // a'', m' // a' ; прямая принадлежит плоскости ABC. B" K" a" C" m" A" B' A' K' a' m' C'

29 Рассмотрим решение задачи на построение точки К пересечения прямой а с плоскостью a. Возможны три варианта условия данной задачи: - прямая а - общего положения, плоскость a проецирующая (или уровня); - прямая а - проецирующая, плоскость a - общего положения; - прямая а - общего положения, плоскость a - общего положения.

30 C" " A K" a" B" a' C' A' K' B' В первом случае плоскость a (АВС) горизонтально проецирующая. Поэтому горизонтальная проекция К' искомой точки К определяется как точка пересечения линейной проекции А'В'С' плоскости a с горионтальной проекцией а' данной прямой а. Фронтальная проекция К" точки К строится из условия принадлежности точки К прямой а.

31 Во втором случае прямая а - фронтальнопроецирующая. Поэтому фронтальные проекции любой ее точки, а также и искомой К пересечения а с плоскостью a (АВС), совпадает с ее вырожденной проекцией a" º К". Построение горизонтальной проекции К' точки К выполняется из условия принадлежности точки К плоскости a: точка К принадлежит плоскости a, так как она принадлежит ее прямой A 1 (К' находится как точка пересечения прямой A' 1' с прямой а' ). Видимость прямой а в этих задачах решается просто - с помощью реконструкции данных образов (по наглядности).

32 a" c" d" c' d' a' В третьем, общем, случае построение искомой точки К пересечения прямой а с плоскостью a (c//d) выполнено по описанному алгоритму. 1) прямую а заключают во вспомогательную горизонтально проецирующую плоскостьпосредник S(S'); 2) строят прямую m пересечения плоскостей a (c//d) и S(S'). На чертеже это отразится записью (a'º S'º m' ). Фронтальную проекцию m'' строят из условия ее принадлежности данной плоскости a(m и a имеют общие точки 1 и 2); 3) находят точку K'' , как результат пересечения a'' с m'', а K' строят по принадлежности прямой m'. Точка K(K'', K') - искомая точка пересечения прямой a с плоскостью a (c//d).

33 2" a" m" c" 3" K" 1" d" c' 2' d' _ _ 1' _ 3' _ _ a' _ S' _ m' K' Задачу заканчивают определением видимости прямой по правилу конкурирующих точек. Так, на плоскости Н видимость определена с помощью горизонтально конкурирующих точек 1 и 3(1'º 3'), где точка 1 принадлежит плоскости a а точка 3 - прямой a. Точка 3 расположена над точкой 1, поэтому точка 3 и прямая a в этом участке на плоскости Н будет видима. На фронтальной плоскости видимость может быть определена или с помощью пары фронтально-конкурирующих точек, или по реконструкции данных образов (при восходящей плоскости видимость одинаковая на плоскостях Н и V). Данная задача после определения видимости прямой а имеет вид данного рисунка.

35 3. 6. Взаимное расположение двух плоскостей Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельными, либо пересе кающимися. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Искомая плоскость b, параллельная заданной плоскости a, определена прямыми a 1 и b 1 соответственно параллельными a и b заданной плоскости и проходящими через произвольную точку пространства A. Пересекающиеся плоскости. Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие обеим плоскостям. Если одна из пересекающихся плоскостей занимает частное положение, то ее вырожденная проекция b'' включает в себя и проекцию a'' линии a пересечения плоскостей. Горизонтальную проекцию a' прямой a строят по двум общим с плоскостью точкам 1 и 2. B" 1" b" b" 1 2" A" a" b'1 b" º a" B' a'1 a' b' A" a" 1 C" 1' A' A' a' 2' C'

36 Определение линии пересечения двух плоскостей общего положения Для определения точек линии пересечения обе заданные плоскости a и b пересекают двумя вспомогательными (параллельными между собой) плоскостями-посредник. Некоторое упрощение можно достичь, если вспомогательные плоскости проводить через прямые, задающие плоскость. Рассмотрим пример. Плоскость a задана (ABC), плоскость b задана (DEK). Точки M и N, определяющие искомую линию пересечения двух данных плоскостей найдем как точки пересечения каких-либо двух сторон (как две прямые) треугольника ABC с плоскостью другого треугольника DEK, т. е. дважды решим позиционную задачу на определение точки пересечения прямой с плоскостью по рассмотренному алгоритму. Выбор сторон треугольников произволен, так как только построением можно точно определить, какая действительно сторона и какого треугольника пересечет плоскость другого. Выбор плоскости-посредник также произволен, так как прямую общего положения, какими являются все стороны треугольников ABC и DEK, можно заключить в горизонтально проецирующую или во фронтально проецирующую плоскости.

37 Z B 2 V C 2 N 2 D 2 M 2 Здесь вы видите аксонометрическое изображение решения задачи на определение линии MN пересечения двух плоскостей ABC и DEK. E 2 A 2 B K 2 O D M X E N C A K K 1 B 1 M 1 C 1 H E 1 A 1 N 1 D 1 Y

38 D" 1 -й этап решения Для построения точки M использована горизонтально проецирующая плоскость посредник a (a'), в которую заключена сторона AB треугольника ABC (AB Ì a). B" 1" M" E" A" C" 2" K" 2 -й этап решения Строим линию пересечения (на чертеже она задана точками 1 и 2) плоскостипосредника a (a') и плоскости DEK. B' E' 2' K' M' 3 -й этап решения Находим точку M пересечения прямой 1 - 2 с прямой AB. 1' C' A' a' D' Найдена одна точка M искомой линии пересечения.

39 D" Для построения точки N использована горизонтально проецирующая плоскость b (b'), в которую заключена сторона AC треугольника ABC. Построение аналогичны предыдущим. одна точка M искомой линии пересечения. B" 3" 1" 4" M" E" N" C" 5" A" 2" K" B' E' 2' K' M' 1' A' a' N' 4' 3' D' b' C'

40 1" 3" D" B" 4" M" E" Определение видимости на плоскости H выполнено с помощью горизонтально конкурирующих точек 4 и 8 (4' º 8'). Точка 4 расположена над точкой 8 (4" и 8"), поэтому на плоскости H часть треугольника DEK, расположенная в сторону точки 4, закрывает собой часть треугольника ABC, расположенную от линии пересечения в сторону точки 8. С помощью пары фронтально конкурирующих точек 6 и 7 (6"º 7") определена видимость на плоскости V. N" _ _ 6 " _ 7" 5" 8" A" C" 2" K" E' B' 7' 2' K' M' 6' A' a' b' 1' N' _ _ 4' _ 8' 3' D' C'